精品解析：广东省深圳市福田区梅山中学2021-2022学年八年级数学下学期第一次月考测试题

广东省深圳市福田区梅山中学2021-2022学年八年级数学下册第一次月考测试题

一．选择题（共36分）

1. 若a＜b，则下列不等式正确的是(   )

A. a﹣2＞b﹣2 B. a﹣b＞0 C.  D. ﹣2a＞﹣2b

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案．

【详解】解：A、∵a＜b，∴a﹣2＜b﹣2，错误；

B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，错误；

C、∵a＜b，∴，错误；

D、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，正确；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键．

2. 在平行四边形中，的值可能是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D，

∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是2：5：2：5，

故选C．

【点睛】本题考查了平行四边形性质，掌握平行四边形的对角相等是解本题的关键.

3. 下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；      

C. ，不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；   

D. ，属于因式分解，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

4. 已知不等式组，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．

【详解】解：，

解①得，，

解②得，，

则不等式组的解集为，

故选：C．

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

5. 如图，某公园的三个出口、、构成.想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等.则公共厕所应该在(   )

A. 三条边的垂直平分线的交点

B. 三个角的角平分线的交点

C. 三角形三条高的交点

D. 三角形三条中线的交点

【答案】A

【解析】

【分析】根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答．

【详解】解：∵公共厕所到出口A、B的距离相等，
∴公共厕所到在线段AB的垂直平分线上，
同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点，
故选A．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

6. 若分式的值为0，则等于 （   ）

A. 1 B. 1或-3 C. -1或1 D. -1

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式的值为零的条件是：分子为零且分母不等于零进而得出答案．

【详解】解：若分式的值为0，

则|x|-1=0且（x+3）（x-1）≠0，
解得：x=-1．
故选D．

【点睛】本题考查分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．

7. 下列说法正确的是（    ）

A. 平行四边形的对角线相等

B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

D. 有两对邻角互补的四边形是平行四边形

【答案】C

【解析】

【分析】由平行四边形的判定和性质，依次判断可求解．

【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故A选项不合题意；

B、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故B选项不合题意；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项符合题意；

D、有两对邻角互补的四边形可能是等腰梯形，故D选项不合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．

8. 如果不等式组解集是，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据求解规律是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解可得a≥5．

【详解】∵不等式组的解集是x＞5，

∴a≤5，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组确定公共解集的方法．

9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（　　）

A. 12 B. 3+3 C. 6+3 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】利用垂直平分线的性质可得∠DAB＝∠B＝15°，可得∠ADC＝30°，易得AD＝BD＝2AC，CD＝AC，然后根据BC=BD+CD可得出结果．

【详解】解：∵AB的垂直平分线l交BC于点D，

∴AD＝DB，

∴∠B＝∠DAB＝15°，

∴∠ADC＝30°，

∵∠C＝90°，AC＝3，

∴AD＝6=BD，CD＝3．

∴BC＝BD+CD＝6+3．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、含30°直角三角形的性质以及勾股定理，综合运用各性质定理是解答此题的关键．

10. 学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度，若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（　　　）

A.  B. =2

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出实际施工时每天铺设跑道的长度为米，再根据结果提前2天完成任务建立方程即可．

【详解】解：由题意得：实际施工时每天铺设跑道的长度为米，

则可列方程为，

故选：C．

【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．

11. 如图，函数与函数的图象相交于点，则不等式的解集是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直线y=kx-3落在直线y=2x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．

【详解】解：∵函数y=2x+b与函数y=kx-3的图象交于点P（4，-6），

∴不等式kx-3＞2x+b的解集是x＜4．

故选：C．

【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将矩形沿AE折叠，点B落在点B'处，当△B'EC是直角三角形时，BE的长为（　　）

A. 2 B. 6 C. 3或6 D. 2或3或6

【答案】C

【解析】

【分析】分以下两种情况求解：①当点B′落在矩形内部时，连接AC，先利用勾股定理计算出AC＝10，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△B′EC为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝6，可计算出CB′＝4，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时．此时四边形ABEB′为正方形，求出BE的长即可．

【详解】解：当△B′EC为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，

在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝＝10，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E＝∠B＝90°，

当△B′EC为直角三角形时，得到∠EB′C＝90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，

∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，

∴CB′＝10﹣6＝4，

设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，

在Rt△B′EC中，

∵EB′2+CB′2＝CE2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴BE＝3；

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．

此时ABEB′为正方形，

∴BE＝AB＝6．

综上所述，BE的长为3或6．

故选：C．

【点睛】本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、矩形的性质，正方形的判定等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

二．填空题（共12分）

13. 分解因式：= ______.

【答案】

【解析】

【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．

【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．

故答案为2（x+y）（x-y）．

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

14. 若一个等腰三角形的顶角等于70°,则它的底角等于________度，

【答案】55

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

【详解】解：一个等腰三角形的顶角等于，

它的底角，

故答案为55．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

15. 如果，那么=_____．

【答案】-3

【解析】

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．

【详解】∵a-b=3ab，

∴原式=-=-3，

故答案为-3

【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最小公倍数．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为____．

【答案】．

【解析】

【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，根据垂线段最短即可解决问题．

【详解】∵∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,

∴BC=2AB=2,AC=．

∵四边形APCQ是平行四边形,

∴PO=QO,CO=AO=．

∵PQ最短也就是PO最短,

∴过O作BC的垂线OP',

∴则PQ的最小值为2OP'=2OC•sin30°=．

故答案为：．

【点睛】本题考查平行四边形的动点问题,关键在于理解PQ最小值时的图形．

三．解答题（共52分）

17. 因式分解：ab2﹣4ab+4a．

【答案】a（b﹣2）2．

【解析】

【分析】首先提公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．

【详解】原式＝a（b2﹣4b+4）＝a（b﹣2）2．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

18. 解不等式组： ，并写出它所有整数解．

【答案】﹣2，﹣1，0，1，2；

【解析】

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集；再确定解集中的所有整数解即可．

【详解】解：解不等式（1），得

解不等式（2），得x≤2

所以不等式组的解集：－3＜x≤2

它的整数解为：－2，－1，0，1，2

19. 先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可．

【详解】解：原式

，

当时，原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．

20. 解下列方程：

（1）

（2）

【答案】（1）x=-3；（2）方程无解

【解析】

【分析】（1）根据分式方程的解法，去分母，去括号，移项合并，系数化为1即可求解；

（2）根据分式方程的解法，去分母，去括号，移项合并，系数化为1即可求解.

【详解】(1)解：去分母得

解得 

检验：当时，    

∴原方程的解为

（2）解：去分母得  

解得   

检验：当时，  

∴不是原方程的解

∴原方程无解

【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知其解法.

21. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶．比亚迪油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为96元；若完全用电做动力行驶，则费用为36元．已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．

（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲乙两地的距离是多少千米？

（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过60元，则至少需要用电行驶多少千米？

【答案】（1）0.3元， 120千米   

（2）72千米

【解析】

【分析】（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，由题意可得，解方程并检验得，从而求得甲乙两地的距离即可；

（2）设汽车用电行驶ykm，由题意可得：，解得：，故至少需要用电行驶72千米．

【小问1详解】

解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，

可得：，

解得：，

经检验是原方程的解，

∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是千米；

答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是120千米．

【小问2详解】

解：汽车行驶中每千米用油费用为元，

设汽车用电行驶ykm，

可得：，

解得：，

答：至少需要用电行驶72千米．

【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题时注意解分式方程需要检验方程的解是否使得原分式方程的分母为零．

22. 如图：、是锐角的两条高，M、N分别是、的中点，若，．

（1）证明；

（2）判断与的位置关系，并证明你的结论；

（3）求的长．

【答案】（1）见解析    （2）垂直平分；见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余，即可求证；

（2）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论；

（3）先根据题意求出的长度，再用勾股定理求解即可．

【小问1详解】

证明：∵、是锐角的两条高，

∴，，

∴；

【小问2详解】

垂直平分．

证明：如图，连接、，

∵、是锐角的两条高，M是的中点，

∴，

∵N是的中点，

∴垂直平分；

【小问3详解】

∵，，

∴，，

由勾股定理得，．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的相关内容，解题的关键是掌握直角三角形两个锐角互余，直角三角形斜边上的中中线等于斜边的一半，以及勾股定理．

23. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．

（1）求证：四边形BECF平行四边形；

（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．

【答案】（1）见解析；（2）△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC

【解析】

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED=FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；

（2）利用三角形的面积解答即可．

【详解】解：（1）证明：在△ABF与△DEC中，

∵D是BC中点，

∴BD=CD，

∵BE⊥AE，CF⊥AE，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在△ABF与△DEC中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴ED=FD，

∵BD=CD，

∴四边形BECF是平行四边形；

（2）∵四边形BECF是平行四边形，

∴DE=DF，S△BDE=S△CDF，S△BDF=S△CDE，

∵AF=FD，

∴AF=DF=DE，

∴AD=EF，

∴与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出ED=FD．