2022北京五十中高一12月月考数学（教师版）

2022北京五十中高一12月月考

数    学

本试卷共3页，满分100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题  共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，集合，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知为奇函数，且当时，，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 设，，则“”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，则

A.  B.  C.  D.

5. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 函数的单调递增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数的图象和函数的图象的交点个数是

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，给出下列结论：

①，是奇函数；   

②，不是奇函数；

③，方程有实根；   

④，方程有实根．

其中，所有正确结论的序号是

A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ②③④

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题5小题，每小题4分，共20分．

11. 函数的定义域是____________．

12. 已知幂函数，它图象过点，那么的值为________．

13 已知函数，则________，如果，那么等于________．

14. 已知函数是指数函数，若，则____.(用“”“”“”填空）

15. 年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 或，.

（1）求，；

（2）若，求实数m的取值范围.

17.

已知函数，

（1）求函数定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；

（3）求不等式的解集.

18. 某公司为改善营运环境，年初以万元价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．

（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；

（2）该车若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；

②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．

问：哪一种方案较为合算？并说明理由．

19. 已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．

（3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题  共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】A

【解析】

分析】

求得集合，集合交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，，所以.

故选：A.

2. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数为奇函数可知，然后根据时的解析式可求解出的值，则的值可求.

【详解】因为为奇函数，所以，

又因为，所以，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算的值转化为计算的值，从而根据已知条件完成求解.

3. 【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可.

【详解】设，，显然有，但是不成立；

若，因为，所以有成立.

所以，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：C.

4. 【答案】B

【解析】

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

5. 【答案】C

【解析】

分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【详解】解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

6. 【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为函数是上的减函数，，

A选项，，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；

B选项，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；

C选项，时，，则，所以C不成立；

D选项，，则；所以，即D一定成立.

故选：D.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.

【详解】由对数的定义可知：或，

二次函数的对称轴为，所以该二次函数的单调递增区间为，

所以的单调递增区间是，

故选：D

8. 【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示：

由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.

考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．

9. 【答案】A

【解析】

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

10. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据奇偶性判断①②，由时方程有实根判断③④.

【详解】的定义域关于原点对称，且，则，是奇函数，故①正确，②错误；

，则，要使得该方程有解，即

所以，方程有实根，故③错误，④正确

故选：B

二、填空题5小题，每小题4分，共20分．

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

详解】由题意得，

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

12. 【答案】

【解析】

【分析】待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，即可求出函数解析式，求出即可.

【详解】设幂函数解析式为，则，所以.

，则.

故答案为：.

13. 【答案】    ①. ##0.5    ②. 或

【解析】

【分析】直接计算得到，考虑和两种情况，计算得到答案.

【详解】，则；

，当时，，解得；

当时，，解得或（舍去），

综上所述：或.

故答案为：；或

14. 【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，设且，结合题中条件，确定，根据指数函数单调性，即可得出结果.

【详解】因为是指数函数，所以可设且，

又，所以，则，

即函数是减函数，所以.

故答案为：.

15. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；

（2）令，解方程求得即可.

【详解】当时，    经过年后，碳的质量变为原来的

令，则   

    良渚古城存在的时期距今约在年到年之间

故答案为；

【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 【答案】（1）或，；（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据集合的交集、并集和补集的概念及运算，即可求解；

（2）先求得或，在根据，得出或，即可求解.

【详解】（1）由题意，集合或，

根据集合的交集的概念及运算，可得或，

由集合的并集概念及运算，可得，所以.

（2）由集合，可得或，

又由集合，且，

所以或，解得或，

即实数的取值范围是或.

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及根据集合的运算求解参数的取值范围，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

17. 【答案】（1）；（2）函数奇函数；（3）.

【解析】

【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.

【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，

解得,

函数定义域为.

（2）函数为奇函数，

证明：由第一问函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数.

（3）解不等式，

即

即，

从而有，

所以.

不等式的解集为.

【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.

18. 【答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果；

（2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算．

【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则，

即，，，

该车营运第年开始赢利．

（2）方案①赢利总额，

时，赢利总额达到最大值为万元．

年后卖出客车，可获利润总额为万元．

方案②年平均赢利总额（当且仅当时取等号）．

时年平均赢利总额达到最大值万元．

年后卖出客车，可获利润总额为万元．

两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，方案②合算．

【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.

19. 【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）原不等式等价于，讨论与的大小分三种情况即可求解；

（2）函数在区间上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的根，结合二次方程根的分布即可求解；

（3）分离参数，构造函数结合基本不等式求解即可.

【小问1详解】

由，即，

即，即，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为.

【小问2详解】

由函数在区间上有两个不同的零点，

即方程在上有两个不同的根，

所以，解得，

实数的取值范围为.

【小问3详解】

由题意，对任意的，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

令，，则，

又，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即的取值范围.