2022北京怀柔一中高二12月月考数学（教师版）

这是一份2022北京怀柔一中高二12月月考数学（教师版），共13页。试卷主要包含了 如图，在长方体中，化简， 已知向量，，则等于等内容，欢迎下载使用。
2022北京怀柔一中高二12月月考数    学一､单选题（每题4分，共32分）1. 如图，在长方体中，化简（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知点，直线的斜率为2，则a的值为（    ）A.  B. 7 C.  D. 53. 已知向量，，则等于（   ）A.  B.  C.  D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则m的值为（    ）A.  B. 1 C.  D. 25. 如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）A.  B. C.  D. 6. 已知圆，过点作圆的切线，切点为，则等于（   ）A. 2 B.  C. 6 D. 7. 若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（    ）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二､填空题（每题5分，共20分）9. 双曲线的渐近线方程是___________．10. 已知圆与圆外切，那么_____11. 为抛物线上一动点，当点到直线的距离最短时，点的坐标是___________.12. 如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿对角线折成三棱锥，使平面平面，在下列结论中：①直线平面；②平面平面；③与成角的大小为；④棱上存在一点到顶点、、、的距离相等；⑤点到平面的距离为；所有正确结论的编号是___________.三､解答题（共48分）13. 如图，在长方体，点在上，且.（1）求；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）求到的距离.14. 已知圆上有两个点，且为直径（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，求长度；（3）已知，求过点且与圆相切的直线方程.15. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．16. 已知椭圆C：（a>b>0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A、B，当P不与A、B重合时，直线AP， BP分别交直线x=4于点M、N，证明：以MN为直径的圆过右焦点F ．
参考答案一､单选题（每题4分，共32分）1. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：如图： ，故选：A.2. 【答案】D【解析】【分析】利用两点的斜率公式即可求解【详解】因为点，直线的斜率为2，所以，解得，故选：D3. 【答案】A【解析】【分析】由空间向量减法和数量积的坐标运算可直接求得结果.【详解】，.故选：A.4. 【答案】B【解析】【分析】求出圆心坐标代入直线方程可求得参数值．【详解】由已知圆的标准方程是，圆心坐标为，所以，．故选：B．5. 【答案】D【解析】【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解.【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：D.6. 【答案】C【解析】【分析】求出圆心与半径，然后求出，再利用勾股定理即可求出答案.【详解】解：由圆，得圆心，半径，则，所以.故选：C.7. 【答案】B【解析】【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B8. 【答案】C【解析】【分析】对于（1）（2），代入即可判断曲线的对称情况；对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断；对于（4），利用（3）中的结论容易判断.【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误；对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且显然是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确；综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.故选：C.二､填空题（每题5分，共20分）9. 【答案】【解析】【分析】直接根据渐近线方程公式计算得到答案.【详解】，，，故渐近线方程为：.故答案为：.10. 【答案】4【解析】【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和，从而可求出【详解】因为，，圆的半径为1，圆的半径为，所以，因为两圆外切,所以，得．故答案为：411. 【答案】## 【解析】【分析】设，则点到直线的距离为，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】设，则点到直线的距离为所以当时，点到直线的距离最短，此时故答案为：12. 【答案】①②④【解析】【分析】利用面面垂直的性质可判断①的正误；利用面面垂直的判定定理可判断②的正误；利用直角三角形的几何性质可判断④的正误；以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断③⑤的正误.【详解】对于①，因为，，则，所以，，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，①对；对于②，，，则，则，平面，平面，则，，平面，平面，故平面平面，②对；以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，对于③，，，，所以，直线与成角的大小为，③错；对于④，因为平面，平面，则，同理，所以，线段的中点到顶点、、、的距离相等，④对；对于⑤，，，，设平面的法向量为，则，取，则，所以，点到平面的距离为，⑤错.故答案为：①②④.三､解答题（共48分）13. 【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得.（2）利用向量法求得直线与所成角的余弦值.（3）利用向量法求得到的距离.【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系，，所以.【小问2详解】，，设直线与所成角为，则.【小问3详解】设到的距离为，则.14. 【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径后可求圆的方程；（2）求出圆心到直线的距离后可求弦长；（3）可判断在圆上，求出的斜率可得切线的斜率，从而可求切线的方程.【小问1详解】因为圆的直径为，故其圆心为，其半径为，故圆.【小问2详解】圆心到直线的距离为，故.【小问3详解】因为，故在圆上，连接而，故圆在处的切线的斜率为，故所求切线的方程为：.15. 【答案】（1）证明见解析    （2）    （3）相交，【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可证明；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出；（3）根据可判断，再利用空间距离公式求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．【小问2详解】证明：因为平面，平面，所以，又，所以两两互相垂直.   如图以A为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.由，可知，，，，，则，， ，设为平面的一个法向量，则，即， 令，则，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，则，易知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【小问3详解】由，  得，因为，所以与平面不平行，所以直线与平面相交，在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点，易知，所以.16. 【答案】（1）；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件，列出关于的式子，即可求解；（2）解法一：首先设，利用相似关系，求得坐标间的关系，并且证明；解法二：首先设直线方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，可用表示，最后利用坐标表示数量积.【小问1详解】由题干可得，，所以，即椭圆的方程；【小问2详解】解法一：设，因为直线交直线于点，所以，则，同理，则，由于异于轴两侧，因此异号，所以，又因为，所以，即，以为直径的圆过右焦点；解法二：设直线方程，，，，得，即，因为直线交直线于点，即，因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即，所以，即，以为直径的圆过右焦点.