2023北京陈经纶中学高一10月月考数学（教师版）
展开这是一份2023北京陈经纶中学高一10月月考数学（教师版），共7页。试卷主要包含了解答题共5小题，共70分等内容，欢迎下载使用。
2023北京陈经纶中学高一10月月考
数 学
本试卷共8页，150分。考试时长90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数，且，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．设全集，集合，，则图中阴影部分对应的集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数、、满足，那么“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
8．已知函数，若，则（ ）
A． B．0 C．或0 D．
9．若存在，有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果．例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为________．
12．已知，，且，则的取值范围是________．
13．已知不等式的解集为或，则不等式的解集是________．
14．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是________．
15．若，则实数的一个取值为 .
16．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：
①
②若，则
③函数的值域是
④函数在上单调递增
其中所有正确说法的序号是________．
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．设全集为，集合，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）当时，是否满足？说明理由；
（Ⅲ）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
18．设.
（Ⅰ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）已知，解关于的不等式．
19．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：
①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：）与游玩时间t（单位：小时）满足关系式：；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50．
（Ⅰ）当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；
（Ⅱ）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数的零点；
（Ⅱ）证明：函数在区间上单调递增；
（Ⅲ）若时，恒成立，求正数a的取值范围．
21．设集合为非空数集，定义，，，．
（Ⅰ）若集合，，直接写出集合及；
（Ⅱ）若集合，，，，，且，求证；
（Ⅲ）若集合，且，求中元素个数的最大值．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】C
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：
第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射
设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选：B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（答案不唯一）
16．【答案】①②④，对1个给3分，对2个给4分，全对给5分，有错不得分
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．解：（Ⅰ）全集为，集合或（1分），
所以（2分）；
又时，集合（3分），
所以；（5分，若结果开闭区间错扣1分）
（Ⅱ）当时，不满足，（6分）
理由如下：，，故（8分）．
（Ⅲ）选择①作为已知条件．（选择②③的解法同①）
因为，所以（9分），又由或得，
当时，（10分），解得；（11分）
当时，或，（12分）
所以或，所以或．（13分）
综上，可得的取值范围为，，．（14分）
18．（Ⅰ）解：由对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，（1分）
当时，，不满足题意；（2分）
当时，则满足（4分），解得（5分），
综上所述，实数的取值范围为（6分）.
（2）解：由不等式，即，（8分）
方程的两个根为，（9分，此步骤不写不扣分）
①当时，不等式的解集为（10分）
②当时，不等式的解集为（12分）
③当时，不等式的解集为.（14分）
若①②合并讨论，结果正确也给分
19．【详解】（1）当时，，，（1分）
当时，（2分），故当时，，（3分）
当时，，（5分，列式1分，化简1分）
所以，（6分）当时，.（7分）
（2）当时，，（9分）
整理得：恒成立，（10分）
令函数的对称轴是，
当时，取得最小值（12分），即，.
所以实数a的取值范围是.（14分）
用其他方法酌情给分.
20．（1）解：因为，所以，（1分，若结果正确，此步不写不扣分）
令，则有，
即，解得或；（3分）
（2）证明：任取，（4分）
则,（6分）
因为，所以，（7分）
即，（8分）
所以函数在区间上单调递增；（9分）
（3）解：若时，恒成立，即恒成立（10分）
因为，所以，
又函数在区间上单调递增，
所以“恒成立”等价于“恒成立”（12分）
即在上恒成立，
故的取值范围为.（14分，开闭区间错扣1分）
21．解：（Ⅰ），0，，，；（4分，每个2分）
（Ⅱ）由于集合，，，，，且，
所以中也只包含四个元素，即，，，，（6分）
剩下的，所以；（8分）
（Ⅲ）设，， 满足题意，其中，
则，
所以，，所以，
因为，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
所以，所以，所以，
实际上当，676，677，，时满足题意，证明如下：
设，，，，，，
则，，，，，，1，2，，，
依题意有，即，
故的最小值为675，于是当时，中元素最多，
即，676，677，，时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1349．（14分）
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