四川省成都市青羊区玉林中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年四川省成都市青羊区玉林中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

1.下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

4.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是(    )

A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量四个内角是否相等
C. 测量两条对角线是否互相垂直 D. 测量四条边是否相等

5.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为一边作正方形，则点的坐标为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6.某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是(    )

A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“”
B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上
C. 不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 三张扑克牌，分别是，，，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是

7.如图，矩形的两对角线相交于点，，，则矩形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在正方形外取一点，连接，，过点作的垂线交于点若，，则点到直线的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

9.某工厂一月份生产机器台，计划二、三月份共生产机器台，设二、三月份的平均增长率为，则根据题意列出方程是______．

10.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为______ ．

11.已知：、是方程的两根，则 ______ ．

12.一个菱形的周长是，一条对角线长，则这个菱形另外一条对角线的长度为______ ，菱形的面积为______ ．

13.；
；
；
．

14.已知关于的一元二次方程．
试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
设，为方程的两个实数根，且，求的值．

15.如图，矩形中，对角线，交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，这两条平行线交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

16.年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率；
从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？

17.年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的同学共有______人；
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

18.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴、轴于两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根．
求直线的解析式；
点从点出发沿射线方向运动，运动的速度为每秒个单位，设的面积，点运动的时间为，写出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
点是轴上的点，点是第一象限内的点，若以、、、为顶点的四边形是菱形请求出点的坐标．

 

19.若关于的方程是一元二次方程，则 ______ ．

20.已知，是方程的两个实数根，则的值为______ ．

21.有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为______ ．

22.对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为        ．

23.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______．

24.如图，已知直线交轴于点，交轴于点，，的长是一元二次方程的两个根，设点的坐标为，的面积为．
求直线的解析式；
求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若点在直线的上方，，求出点的坐标．

25.“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件．
当销售量为件时，产品售价为______ 元件；
直接写出日销售量件与售价元件的函数关系式；
该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利元？

26.如图，在坐标系中的，点、在轴，点在轴，且，，，是的中点．
求直线的表达式；
如图，若、分别是边，的中点，矩形的顶点都在的边上，若，，将矩形沿射线向右平移，设矩形移动的距离为，矩形与重叠部分的面积为，当时，请直接写出平移距离的值；
如图，在的条件下，在矩形平移过程中，当点在边上时停止平移，再将矩形绕点按顺时针方向旋转，当点落在直线上时，此时矩形记作，由向轴作垂线，垂足为，请计算的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据一元二次方程的定义可得出方程为一元二次方程，
故选：．
根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
在，，，，，这六个数中，满足不等式的有、这两个，
所以满足不等式的概率是．
故选C．
找到满足不等式的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式．

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
，即且，
当时，
此时方程为，满足题意，
．
故选：．
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．

4.【答案】 

【解析】解：、测量一组对边是否平等且相等，能判定是否为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、测量四个内角是否相等，能判定是否为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量两条对角线是否互相垂直，不能判定是否为平行四边形，更不能判定为菱形，故选项C不符合题意；
D、测量四条边是否相等，能判定是否为菱形，故选项D符合题意；
故选：．
由菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，四边形是正方形，
点可能在第一象限，也可能在第二象限，
点的坐标为或，

故选：．
根据正方形的性质以及坐标与图形的性质，分两种情况讨论，即可求解．
本题考查了坐标与图形的性质，分情况讨论是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：从表格中数据可以看出，这个事件的频率稳定在左右，所以事件的概率为．
A.掷一个质地均匀的骰子，向上的面的点数是“”的概率为：，不符合题意；
B.掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；
C.不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，符合题意；
D.三张扑克牌，分别是，，，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是的概率为，不符合题意．
故选C．
利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，这个固定数值就可以近似地看作是这个事件的概率．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
矩形的面积为：．
故选：．
根据矩形的对角线相等且互相平分，以及可得是等边三角形，进而在中可得，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌
，
，
，
，
在中，，
在中，，
过作于，如图：

，
是等腰直角三角形，
，
即点到直线的距离为．
故选：．
先根据题意说明≌，从而得出，再结合题意说明，进而求出，，再运用勾股定理即可求解．
本题考正方形的性质和全等三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线并说明是等腰直角三角形是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：设二、三月份的平均增长率为，则二月份的生产量为，三月份的生产量为，
根据题意，得：．
故答案为：．
设二、三月份的平均增长率为，根据一月份生产机器台，二月份的生产量三月份的生产量台，可列出方程．
本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即．

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
即图中的值为，
故答案为：．
由题意：剩余绿地的面积为，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：、是方程的两根，
，，，，
，，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，，，变形后代入，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解．

12.【答案】   

【解析】解：如图，设菱形的一条对角线，另外一条对角线交于点，

四边形是菱形，
，，，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：，．
设菱形的一条对角线，另外一条对角线交于点，由菱形的性质得，，，，求出，再由勾股定理求出，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．

13.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
，
；
，
，
，即．
，
，． 

【解析】根据直接开平方法求解即可；
方程利用因式分解法求解即可；
方程利用因式分解法求解即可；
整理后，方程利用配方法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法和因式分解法是解答本题的关键．

14.【答案】证明：，，．
．
，
，即，
无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
解：，为方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，结合可得出，进而可证出：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
利用根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．

15.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质推出，即可得出结论；
易证，再由，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、三角形面积和菱形面积计算等知识；熟练掌握菱形的判定与菱形的面积计算是解题的关键．

16.【答案】解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 

【解析】设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

17.【答案】解：；
；
列表如下：

共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 

【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：根据题意得：
人，
答：这次被调查的学生共有人；
故答案为：；
根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
见答案．

18.【答案】解：，则或，故点、的坐标分别为、，则；
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；

过点作轴于点，

则，即，解得：，
，
故；

点、的坐标分别为、，
设点、的坐标分别为、，
当是菱形的边时，
点向上平移个单位向左平移个单位得到点，同样点向上平移个单位向左平移个单位得到点，
即，且，
解得：，，
故点的坐标为；
当是菱形的对角线时，
由中点公式得：，且，即，
解得：，，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或 

【解析】，则或，故点、的坐标分别为、，即可求解；
，即可求解；
分是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质等，其中、，都要注意分类求解，避免遗漏．

19.【答案】 

【解析】解：方程是一元二次方程，
，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．

20.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，可得，可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

21.【答案】 

【解析】解：画树状图为：


，
解得：，
当，
解得：，
根据不等式组的解集中有且只有个非负整数解，
则时符合要求，
故，
即，符合要求，
当，
解得：，
根据不等式组的解集中有且只有个非负整数解，
则时符合要求，
故，
即，舍
故所有组合中只有种情况符合要求，
故使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数解的概率为：，
故答案为：．
首先根据题意可求得所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法．注意概率所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键．

22.【答案】或 

【解析】解：当时，方程为：，
即，
解得：舍去，；
此时，
当时，方程为：，
解得：舍去，，
．
故答案为：或．
分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．

23.【答案】 

【解析】解：如图，以为边在右侧作等边三角形，
，
连接并延长交轴于点，过点作于点，

在矩形中，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，
是等边三角形，
，
，
，
，
当点与不重合时，，
当点与重合时，，
综上所述：，
的最小值为，
故答案为：．
以为边在右侧作等边三角形，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

24.【答案】解：，
，
，，
，
，．
设直线的解析式为，代入坐标得，
；解得，
直线的解析式为：．
如图，作，交于点．
，
，
，
与的函数关系式为：，或，
，
，
点在直线的上方，即，
，
，
． 

【解析】解出方程的解得到点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
作，交于点求出点坐标，得到，根据求值范围写出函数关系式即可；
根据点在直线的上方，利用关系式，求出点的坐标即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法，熟练十字相乘法分解因式是解本题的关键．

25.【答案】 

【解析】解：
元件，
当销售量为件时，产品售价为元件．
故答案为：；
根据题意得：，
该产品的进货价为元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，
日销售量件与售价元件的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该产品的售价每件应定为元．
利用售价，即可求出结论；
利用日销售量售价，即可找出日销售量件与售价元件的函数关系式；
利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

26.【答案】解：在中，
，，，
，
，，
，，
，
，，
直线的解析式为：．
是的中点，
，，
又是的中位线，
，
在中，，，
，
在中，，
故答案为：；；
当时，如图，

，．
，
，
令，
解得负值舍去；
当时，如图，

，，
重叠部分的面积；
令，
解得，舍去；
当时，如图，

，
解得不合题意，舍；
当时，如图，

，
解得不合题意，舍；
当时，如图，

，
解得不合题意，舍；
当时，如图，

，
解得或舍；
综上，符合题意的的值为或．
当点在线段上时，如图，

设，则，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
解之得负的舍去，
，，
．
当点在的延长线上时，如图，

设，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
解之得负的舍去，
，
．
故答案为：或． 

【解析】根据含直角三角形的三边关系和待定系数法可得出直线的解析式；
根据已知，由直角三角形的性质可知，从而求得，，利用中位线的性质可得，，利用三角函数可得；
首先利用分类讨论的思想，分析当，当，当，当，当，当，当列出方程解得；
根据题意，需要分两种情况：当点在线段上时，作于，设，则，又，，利用勾股定理可得，在中，利用三角函数解得当点在的延长线时，方法同上．
本题是一次函数背景下四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．