江苏省苏州市相城区相城区蠡口中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

2023-2024学年蠡口中学初二年级10月份月考数学试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.下列博物院的标识中是轴对称图形的是（    ）

A. B. C. D.

2.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ）

A.三边垂直平分线的交点 B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点  D.三条高所在直线的交点

3.已知四个实数：3，，，，是有理数的是（    ）

A.3 B. C. D.

4.若一个正数a的平方根是与，则a的值是（    ）

A.5 B.3 C. D.9

5.如图，中，，，的垂直平分线与相交于点D，则的周长为（    ）

第5题图

A. B. C. D.

6.下列对的判断，错误的是（    ）

A.若，则是直角三角形

B.若，，则

C.若，，则是等边三角形

D.若，，则是等腰三角形

7.如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点，且，则的长为（    ）

第7题图

A.3 B.4.5 C.6 D.7.5

8.如图，在中，，，，是的平分线，若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ）

第8题图

A. B. C.12 D.15

二、填空题（每空3分，共30分）

9.在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是______.

10.已知等腰三角形的两边长为4和6，则它的周长为______.

11.四舍五入得到的近似数6.49万，精确到______位.

12.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______.

第12题图

13.如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为______（度）.

第13题图

14.如图，在中，，，分别是的中线和角平分线.若，则的度数是______.

第14题图

15.如图，点O在内部，，分别平分和，于点D，若的周长为30，且，则的面积为______.

第15题图

16.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有.例如，那么______.

17.如图，在中，平分，平分的外角，且平行交于M，若，则的值为______.

第17题图

18.已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：

①；②；③是等边三角形.其中正确的是______.（填序号）

第18题图

三、解答题（本大题共9小题，共76分）

19.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；

（2）在直线上找一点Q，使得；

20.计算.

（1） （2）.

21.求下列各式中的值.

（1）； （2）.

22.如图，点D在的边上，且.

（1）作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，，判断直线与直线的位置关系.

23.已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分.

（1）求a，b，c的值；

（2）求的平方根.

24.如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点.

（1）若的周长为，求的长；

（2）若，可求出的度数为______.

25.如图，于E，于F，若、.

（1）求证：平分；

（2）已知，，求的长.

26.如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，.

（1）求证：平分；

（2）连接交于点G，若，求证：；

（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长.

27.如图，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B点以的速度移动，点Q从B点出发沿边向A点以速度移动.P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟.

备用图

（1）请用t的代数式表示和的长度：______，______.

（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线把的周长分成两部分?

（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与的一个顶点构成等边三角形?

2023-2024学年蠡口中学初二年级10月份月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共24分）

1.【答案】B

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：B.

2.【答案】A

【解答】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，

∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，

∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点.

故选：A.

3.【答案】A

【解答】解：3，，，有理数有：3.

故选：A.

4.【答案】D

【解答】解：∵正数a的平方根是与，

∴

解得：，

∴

故选：D.

5.【答案】C

【解答】解：∵的垂直平分线与相交于点D，

∴，

∴的周长，

故选：C.

6.【答案】B

【解答】解：A.若，则，，，

所以是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；

B.若，，

则，，故此选项错误，符合题意；

C.若，，则，，

所以是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；

D.若，，则，，

所以是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意.

故选：B.

7.【答案】C

【解答】解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∵，，

∵平分交于点，

∴，

∴.

故选：C.

8.【答案】B

【解答】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示.

在中，，，，

∴.

∵是的平分线，

∴，

在和中，

，

∴，

∴.

∵，，

∴，

∴，即，

∴.

故选：B.

二、填空题（每空3分，共30分）

9.【答案】见试题解答内容

【解答】解：线段是轴对称图形，有2条对称轴：

圆是轴对称图形，有无数条对称轴；

等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；

正方形是轴对称图形，有四条对称轴；

角是轴对称图形，有1条对称轴；

故在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是圆.

故答案为：圆.

10.【答案】14或16.

【解答】解：分两种情况：

当腰长为4，底边长为6时，这个等腰三角形的周长；

当腰长为6，底边长为5时，这个等腰三角形的周长；

综上所述：这个等腰三角形的周长等于14或16，

故答案为：14或16.

11.【答案】百.

【解答】解：6.49万，精确到百位，

故答案为：百.

12.【答案】19.

【解答】解：∵是的垂直平分线，，

∴，，

∵的周长为，

∴，

∴，

∴，

∴的周长，

故答案为：19.

13.【答案】60.

【解答】解：∵是等边三角形，

∴，

∵，

又，

∴，

故答案为：60.

14.【答案】35°.

【解答】解：∵，是的中线，

∴，，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

故答案为：35°.

15.【答案】见试题解答内容

【解答】解：作于E，于F，连接，如图，

∵，分别平分和，

∴，，

∵，

∴，

而的周长为30，即，

∴.

故答案为45.

16.【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题中的新定义得：.

故答案为：29

17.【答案】100.

【解答】解：∵平分，平分，

∴，，

即，

又∵，平分，平分，

∴，，

∴，

∴，

由勾股定理得：.

18.【答案】①③.

【解答】解：（1）连接，如图1所示：

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∴，

故①选项正确；

②由①可知，，，

∵点O是线段上一点，

∴与不一定相等，

∴与不一定相等，

故②选项不正确；

③∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

故③选项正确，

故答案为：①③.

图1

二、解答题（本大题共9小题，共76分）

19.【答案】见解析.

【解答】解：（1）如图，即为所求；

（2）如图，作线段的垂直平分线交于点Q，则Q点即为所求点；

20.【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）原式；

（2）原式.

21.【答案】（1）；

（2）：或.

【解答】解：（1），

∴

∴，

解得：；

（2），

∴，

解得：或.

22.【答案】（1）见解答；

（2）.

【解答】解：（1）如图，为所作；

（2）∵平分，

∴，

∵，，

∴.

∴，

∴.

23.【答案】（1），，；

（2）.

【解答】解：（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）将，，，

代入得：，

∴的平方根是.

24.【答案】（1）；

（2）40°.

【解答】解：（1）∵，分别垂直平分和，

∴，，

∵的周长为，

∴，

∴；

（2）∵，，

∴，

同理可知，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：40°.

25.【答案】（1）证明过程见解答；

（2）4.

【解答】（1）证明：∵于点E，于点F，

∴，

在和中，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴平分.

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴.

26.【答案】（1）（2）见解答；

（3）7.5.

【解答】（1）证明：∵是的角平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵为边上的高，

∴，

∴，

∴，

∴平分；

（2）证明：过点F作于点M，于点N，

∵平分，，，

∴，

∵，

即，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴.

27.【答案】（1），；

（2）；

（3）或或.

【解答】解：（1）∵是等边三角形，

∴，

∵点P的速度为，时间为，

∴，

则；

∵点Q的速度为，时间为，

∴；

故答案为：，；

（2）当点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，设时，直线把的周长分成两部分，如图，

备用图

第1部分周长为：，

第2部分周长为：，

①，

解得（A到C的运动过程，所以舍去），

②，

解得，

答：t为时，直线把的周长分成两部分；

（3）①若为等边三角形，

则有，即，

解得，

所以当时，它们第一次相遇前，点P、Q能与的顶点B构成等边；

②若为等边三角形，

则有，即，

解得，

所以当时，它们第一次相遇前，点P、Q能与的顶点C构成等边；

③当Q在上，P在上，若为等边三角形，

则有，即.

解得，

所以当时，它们第一次相遇前，点P、Q能与的顶点B构成等边；

综上所述：当或或，点P、Q能与的一个顶点构成等边三角形.