数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案

第二章　一元二次函数、方程和不等式

         2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）

（第1课时）

1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；

2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.

1. 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是      

2.二次函数、二次方程、二次不等式的联系：

（一）、情境导学

问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？

问题2：二次函数y=x2-5x的函数图像如下，

思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？

当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？

当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？

思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。

（三）典例解析  

例1：解不等式:  x2－2x－15≥0

例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0

结合以上例题总结：

1、求解一元二次不等式的步骤是什么？

2、解一元二次不等式中常见的错误是什么？应如何避免？

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0)的步骤：

(1)二次项的系数变为正 (a>0)

(2)  看能否因式分解，不能分解的计算△，

 (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像）

 (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.

1.不等式2x2－x－1>0的解集是

2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是

3.解下列一元二次不等式：

（1）x 2-2x-3＞0.

（2）4x 2+4x+1＞0.

（3）-x 2+2x-6＞0.

4.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，求a的值。

5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.

一、知识上我收获了什么？

二、方法上我收获了什么？

1.“三个二次”的关系

2.一元二次不等式解法的步骤：

3.数学思想方法：

参考答案：

学习过程

问题1.设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．

由题意，得:（１２－x）x＞２０，

其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝． 整理得

x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝． ①

求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．

三、典例解析

例1解：原不等式变形为（x+3）(x-5) ≥  0

方程(x+3)(x-5)＝0的两根为: x＝－3，或x＝5

∴  不等式的解集为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。

例2.解：整理，得   x2 - 2x + 3 < 0

因为△= 4 - 12 = - 8 < 0，方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根，所以原不等式的解集为ф

例3.解：

达标检测

1.解得x>1或x<－，∴不等式的解集为.选D

2.解析：∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴ .选B

3. （1）解：因为Δ＞0，x2-2x-3=0的解是x1=-1,x 2=3.

所以不等式的解集是{x|x＜-1或x＞3}.

（2）解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是{x|x≠}.

（3）解：整理化简，得x2-2x+6＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+6=0无实数解，所以不等式的解集是.

4.解析：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.

∴－7×(－1)＝     ，故a＝3.

5.当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时解集为R.

当a－2≠0时，由题意得综上所述，a的取值范围为(－2,2].

2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）

1. 巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；

2.能根据现实情境，建立一元二次不等式并正确求解；

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

难点：深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.

1.二次函数、二次方程、二次不等式的联系：

（一）小试牛刀

1.解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；

(3)－4x2＋18x－≥0；(4)－x2＋3x－5＞0；

(5)－2x2＋3x－2＜0.

（二）典例解析  

例1　一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y＝－２x２＋２２０x．

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收６０００元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

跟踪训练1．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

例2　某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：ｍ）和汽车刹车前的车速（单位：ｋｍ／ｈ）之间有如下关系：+，刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离．

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于３９．５ｍ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到１ｋｍ／ｈ）？

跟踪训练2. 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？

1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为(　　)

A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}            B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}

C．{x|x≤－2或x＞3}                   D．{x|x＜－2或x≥3}

2．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．

3．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．

4．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形

吗？

1．解一元二次不等式的一般步骤是：

(1)化为标准形式；

(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；

(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；

(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．

2.用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：

(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中

的一元二次不等式问题；

(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．

参考答案：

一.知识梳理

二、学习过程

（一）小试牛刀

[解析]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜－3}．

(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．

(3)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.

(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，

所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

（二）、典例解析

例1解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，

得－２x２＋２２０x＞６０００．移项整理，得x２ －１１０x＋３０００＜０．

对于方程x２ －１１０x＋３０００＝０，

Δ＝１００＞０，方程有两个实数根x１＝５０，x２＝６０．

画出二次函数y＝x２ －110x＋3000的图象，结合图象得不等式x２ －110x＋3000＜0，

的解集为｛x｜５０＜x＜６０｝，从而原不等式的解集为｛x｜５０＜x＜６０｝．

因为狓只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车

数量在５１～５９辆时，这家工厂能够获得６０００元以上的收益．

跟踪训练1解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，

宽为(600－2x) m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．

故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.

例2.解：根据题意，得+>39.5

移项整理，得，对于方程

，Δ＞０，方程有两个实数=, =

根画出二次函数的图象,

结合图象得不等式的解集为｛v｜v＜v１，或v＞v２｝，

从而原不等式的解集为｛v｜v＜v１，或v＞v２｝，因为车速v＞０，所以v＞ v２ ．

而７９．９＜v２＜８０，所以这辆汽车刹车前的车速至少为８０ｋｍ／ｈ．

跟踪训练2解　由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，

即x2＋10x－1200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，

这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，

由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.

对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0，

解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，

这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任．

达标检测

1.解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}

∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．

答案：A

2解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3

答案：(1,3)

3.解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.综上，

所求实数a的取值范围为.

4.解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，

且0＜x＜50，由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30，所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．