山西省部分名校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（月考）

2023~2024学年山西省高二10月联合考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为

A. B. C. D.

2.直线：的倾斜角为

A. B. C. D.

3.已知向量，，若，则

A. B.4 C.或1 D.4或

4.已知点，，则经过线段的中点，且与直线平行的直线的方程为

A.  B.

C.  D.

5.若直线：的倾斜角为，则“”是“不是钝角”的

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

6.已知点，，，若是直线：和：的公共点，则直线的方程为

A.  B.

C.  D.

7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后平面与平面的夹角的余弦值为

A. B. C. D.

8.正方体的棱长为2，是空间内的动点，且，则的最小值为

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则

A.在方向上的投影向是为

B.在方向上的投影向还为

C.在方向上的投影向是为

D.在方向上的投影向是为

10.经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为

A.  B.

C.  D.

11.直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是

A. B. C. D.

12.已知正方体的棱长为2，是正方体所在空间内一点，下列结论正确的是

A.若，则的最小值为

B.若，则平面截正方体所得截面积的最大值为

C.若，则三棱锥的表面积为

D.若，则直线与所成角的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点，，，则______.

14.已知直线：的倾斜角为，则______.

15.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则______.

16.某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米.若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知直线：经过第一、二、四象限.

（1）求的取值范围；

（2）若直线：与直线垂直，求的值.

18.（12分）

《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，.

（1）设，，，用，，表示；

（2）若，求.

19.（12分）

已知直线：.

（1）证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标；

（2）若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值.

20.（12分）

如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，.

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求点到平面的距离.

21.（12分）

已知的三个顶点是，，.

（1）过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；

（2）求的角平分线所在直线的方程.

22.（12分）

如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，为的中点.

（1）证明：.

（2）若二面角的平面角为，是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值.

2023~2024学年山西省高二10月联合考试

数学参考答案

1.A  点关于平面对称的点的坐标为.

2.D  设的倾斜角为，则.因为，所以.

3.C  因为，所以，解得或1.

4.B  线段中点的坐标为，过点且与直线平行的直线的方程为.

5.A  若，则的斜率，则不是钝角.若或，则.故“”是“不是钝角”的充分不必要条件.

6.B  由点在：上可知，，同理，故点与均满足方程，因此直线的方程为.

7.D  以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

设平面的法向量为，则

得，取，则，，

得平面的一个法向量为，

易得平面的一个法向量为，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

8.D  取的中点，连接（图略），则，则，即，故动点的轨迹为以为球心，为半径的球.

由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为，

即动点的轨迹为正方体的外接球.

取的中点，连接（图略），

则.

由题可知，，则，

则.

9.ACD  由图可知，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为.故选ACD.

10.AC  若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确.若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为，将代入方程得，则直线的方程为，C正确.

11.BC  对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确.对于B选项，当时，符合题意，B正确.对于C选项，当或时，符合题意，C正确.对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确.

12.ABD  对于A选项，在上取点（图略），使得，

在上取点，使得，则由，得，即，

故是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，

当，，三点共线时，取得最小值，A正确.

对于B选项，由，可知是线段上一点.

连接并与交于点（图略）.当与重合时，平面与平面重合，不符合题意.

当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，

且当与重合时，截面面积最大，最大值为.

当在线段（不含点，）上时，延长并与交于点，作并与交于点，则截面为等腰梯形，

设，则，.

梯形的高，面积为.

当与重合时，截面为矩形，面积为.

故平面截正方体所得截面积的最大值为，B正确.

对于C选项，因为，所以为的中点，三棱锥的表面积为，C不正确.

对于D选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

则，，.

因为，所以，所以直线与所成角的最小值为，D正确.

13.2  因为，，，所以，，.

14.  由题可知，因为，所以.

15.  因为，所以.

又二面角的平面角大小为，四边形，均为边长为4的正方形，

所以，，，

所以，则.

16.  以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

娱乐健身区域为矩形.

由题可知，直线的方程为，直线的方程为.

设，其中，则，，

则，，

四边形的面积.

当时，取得最大值.

17.解：（1）将直线的方程转化为.

因为经过第一、二、四象限，所以

解得，即的取值范围为

（2）将直线的方程转化为，

因为，所以

解得或.

又，所以.

18.解：（1）连接，（图略）.

因为为的中点，，所以

所以.

（2）因为，

所以

.

因为平面，平面，

所以，，.

又，所以，

即.

19. （1）证明：将直线的方程转化为，

令，解得，

故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为.

（2）解：依题意可设该直线的方程为，

令，得，令，得，

则的面积，

当且仅当时，等号成立，

故面积的最小值为4.

20.解：（1）连接，因为底面是菱形，所以

因为，分别为，的中点，所以，则平面.

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由，，得，，，，

则，.

，

故直线与所成角的余弦值为.

（2）由（1）知.设平面的法向量为，

则

令，得.

点到平面的距离为.

21.解：（1）设，则，

因为的面积是面积的3倍，所以

则解得

故直线的方程为，即.

（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，

则过点且与垂直的直线的方程为.

设点关于直线对称的点为，

因为直线的方程为，

所以

整理得.

因为，所以，解得或.

又，，所以，

故直线的方程为，即.

22.（1）证明：如图，取的中点，连接，.

∵底面是正方形，，∴，，

∵，，平面，∴平面

又∵平面，∴

（2）解：如图，由（1）可知，二面角的平面角为，且，

过点作垂直于直线，垂足为.

以为原点，，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易得，，，，

则，，，，，

，，，

设平面的法向量为，则

得取，则

设，，则

设直线与平面所成的角为，

则.

令，则，.

当时，，；

当时，

当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时

所以直线与平面所成角的最大值为