湖南省名校联考联合体2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试题（月考）

名校联考联合体2023年秋季高二年级第一次联考

数学

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合，.若.则（    ）

A. B. C. D.

2.“”是“直线和直线平行”的（    ）

A.充要条件  B.必要不充分条件

C.充分不必要条件  D.既不充分也不必要条件

3.已知点，分别为平面内、外一点，平而的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

4.若方程表示的曲线为一个圆，则（    ）

A.  B.或

C.  D.或

5.若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ）

A. B.1 C.0 D.

6.在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为（    ）

A.一个定点  B.一个平面上任意一点

C.一条直线上任意一点  D.一个圆上任意一点

7.已知，，，若，则的值为（    ）

A. B. C. D.

8.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ）

①存在轴上的唯一点对，，使得为常数

②存在轴上的无数个点对，，使得为常数

③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数

④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

二、选择题：本题共4小题.每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，都分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知复数，满足，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10.已知直线：，则（    ）

A.不过原点  B.的落截距为

C.的斜率为  D.与坐标轴所围成三角形的面积为

11.若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（    ）

A.0.6 B.2 C.3.41 D.3.42

12.袋中装有大小完全相同的6个红球，3个白球，其中有2个红球和1个白球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件“第一次取到的是红球”，事件“第一次取到了标记为数字1的球”，事件“第一次取到了标记为数字2的球”，事件“第二次取到了标记为数字1的球”，则（    ）

A.与互斥  B.与互斥

C.  D.与相互独立

选择题答题卡

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从2，3，4，6这4个数中随机取出2个不同的数，，则，互质的概率为______.

14.已知空间中，，三个点的坐标分别为，，，则到直线的距离为______.

15.在平面直角坐标系中，若圆：（）上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围为______.

16.在三棱柱中，已知各棱长都为2，侧面底面，且，则三棱柱的侧面积为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在长方体中，已知，为的中心.

（1）求异面直线，所成角的余弦值；

（2）求证：平面.

18.（本小题满分12分）

在中，设角，，的对边长分别为，，.

（1）若点是边上一点，且，，，求的长；

（2）若，且，求的而积.

19.（本小题满分12分）

已知圆关于轴对称，且与直线：相交于、两个不同的点，过、分别作直线的垂线与轴交于，，且梯形的中位线长与面积分别为，15.

（1）求的值；

（2）求圆的标准方程.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，，.

（1）判断直线与平面的位置关系，并证明；

（2）求平面与平面所成二面角余弦值的绝对值.

21.（本小题满分12分）

甲、乙两位同学参加某种科学知识比赛进入了决赛阶段，决赛规则如下：最多进行两轮比赛，每人每轮比赛在规定时间内答两道选择题，答对一道得3分，不作答得1分，答错得分。第一轮结束总得分高的胜出，得分相同则进行第二轮比赛。对于一道选择题，假设甲选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为，乙选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为.又假设甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响.

（1）若，，，，，，求：

①第一轮比赛结束甲得分为2分的概率；

②第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的概率；

（2）若，求第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率.

22.（本小题满分12分）

已知过原点的直线与圆：交于，两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）当直线转动时，在轴上是否存在定点（原点除外），使得为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.

名挍联考联合体2023年唩季高二年级第一次联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. A  【解析】因为，所以.

2. A  【解析】当时，“直线和直线平行”或，当时，两直线不平行，所以选A.

3. C  【解析】因为，，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

4. B  【解析】因为方程表示的曲线为一个圆，所以，所以或.

5. A  【解析】因为不能构成空间的一个基底，

所以存在实数、使得，

即，即，

因为是空间的一个基底，则解得

6. C  【解析】在正方体中，因为，所以在过点且与垂直的一个平面内，即为平面的一个法向量，又平面的法向量为，与不平行，所以平面与平面一定相交于直线，所以点在直线上运动.

7. D  【解析】因为，，所以.

因为，，所以，

因为，所以不可能是锐角，

所以，

所以.

8. B  【解析】圆心坐标为，圆心在轴上，

设，（），，则

，

即对恒成立，

所以，所以所以，

所以且，所以且且，

即有无数组解，所以①错误，②正确；

由圆关于直线（）对称及以上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关，所以③错误，④正确.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. ABD  【解析】因为，，所以，，

所以，，所以选ABD.

10. AD  【解析】因为，所以不过原点，所以A正确；令得，，所以的横截距为，所以B错误；把化为，所以的斜率为，所以C错误；把化为，所以直线与坐标轴所围成三角形的面积为，所以D正确.

11. ABC  【解析】圆：化为标准方程得，半径，，所以的取值区间为.

12. BD  【解析】若第一次取到的是标记为数字1的红球，即、同时发生了，所以、不互斥，所以A错误；显然第一次取到的球不可能同时标记为数字1和2，所以与互斥，所以B正确；“第一次取到的是红球”的概率，“第一次取到的是标记为数字2的球”的概率，所以，所以C错误；“第二次取到了标记为数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，，“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率，又，所以成立，所以事件与事件相互独立，所以正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.  【解析】从2，3，4，6这4个数中随机取出2个不同的数共有6组，其中互质的有2、3；3、4，所以，互质的概率为.

14.  【解析】，，则到直线的距离为.

15.  【解析】圆：关于原点的对称圆为：，由已知得，只需要与无公共点，所以或，所以或，又，所以.

16.  【解析】取的中点为，

连，，，，，，.

因为三角形为正三角形，所以，

因为侧面底面，所以侧面，

所以，，

由已知得，，所以，

在四边形中，，所以，

所以，

在三角形中，，

同理得，，，所以三棱柱的侧面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）以射线，，为，，轴建立空间直角坐标系，

由已知得，，，，，

所以，，

所以.

（2），，

所以，，

设平面的法向量为，所以

不妨设，

又，所以，

又平面，所以平面.

18.【解析】（1）设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得，

，，

即，①

，②

①×②＋②得，，

因为，所以，解得，

即的长为1.

（2）设，因为，所以，，

在中，由正弦定理得，，所以，

因为，所以，所以，

可得，，，

因为，所以，所以的面积为

.

19.【解析】（1）过作直线：的垂线，垂足为，则为的中点，

所以也是的中点，其坐标为，为梯形的中位线，，

即到直线：的距离为，所以，

解得或7.

（2）因为梯形的面积为15，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以圆的标准方程为.

20.【解析】（1）判断：平面.

证明如下：如图，延长、交于，

因为，所以三角形为正三角形，

因为，所以为三角形的中位线，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）在平面内，过点作射线垂直于，

因为平面，所以可以为坐标原点，射线、，分别为、、轴建立空间直角坐标系，

由已知条件得，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则

不妨设，

由平面几何得，平面的一个法向量为，

所以.

21.【解析】（1）①因为甲答不同的题互不影响，，

所以第一轮比赛结束甲得分为2分的概率为.

②由已知得，第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的情形只可以是甲、乙都是选择作答2题，一题答对一题答错，

因为甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响，

所以第一轮比赛结束甲、乙得分相等且概率相等的概率为

.

（2）因为，故在第一轮比赛时甲、乙都选择作答每道题，

所以在第一轮比赛结束时每个人的得分可以是6分，2分和分，

因为甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响，

所以第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率即甲乙得分不相同的概率为

.

22.【解析】（1）设，，

①当的斜率存在时，设的方程为，

代入圆的方程，整理得，

所以，，

由题知，因为，所以，

所以，

所以，无解；

②当的斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程得，

设，，所以，，

所以，符合题意，

综上，的方程为.

（2）当直线转动时，在轴上假设存在定点，，使得为定值，

不妨设，当的斜率存在时，

由（1）得，，，，

所以

，

令为定值，

所以，

所以，

所以

因为，所以关于，的方程无解，

故当直线转动时，在轴上不存在定点（原点除外），使得为定值.