福建省部分名校2023-2024学年高二上学期入学联考数学试题

新学期高二开学检测

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册1.1-1.3．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数，则的实部为（    ）

A．13     B．11     C．     D．1

2．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，则的坐标为（    ）

A．     B．     C．     D．

3．某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（    ）

A．125     B．100     C．150     D．120

3．抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件表示“掷出的点数大于2”，则与互斥且不对立的事件是（    ）

A．掷出的点数为偶数     B．掷出的点数为奇数

C．掷出的点数小于2     D．掷出的点数小于3

5．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）

A．     B．

C．     D．

6．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，母线长为2，则该圆台的体积为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．若数据的平均数为10，则新数据的平均数为（    ）

A．11     B．12     C．13     D．14

8．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知向量，则（    ）

A．         B．

C．     D．在上的投影向量为

10．已知甲、乙、丙、丁四组（每组均含100个数据）数据的方差分别为6.7，8.9，3.6，5.5，关于这四组数据的波动性，下列判断正确的是（    ）

A．乙组数据的波动性最大     B．丙组数据的波动性最大

C．乙组数据的波动性最小     D．丙组数据的波动性最小

11．分别为内角的对边．已知，则的值可能为（    ）

A．     B．     C．     D．

12．已知一个正八面体如图所示，，则（    ）

A．平面                      B．点到平面的距离为1

C．异面直线与所成的角为     D．四棱锥外接球的表面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．截至2021年末，福建省南平市辖2个市辖区、3个县级市、5个县，南平市总面积为2.63万平方公里，其中的5个县为顺昌县、浦城县、光泽县、松溪县、政和县，它们的面积（单位：平方公里）分别为1991.95，3374.73，2232.17，1040.25，1735.01，则这5个县的面积的分位数为________平方公里．

14．已知复数满足，则________．

15．在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则________．

16．已知函数若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面为的中点，且．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出四点的坐标；

（2）求．

18．（12分）

分别为内角的对边，已知．

（1）求；

（2）若，求的面积．

19．（12分）

在如图所示的斜三棱柱中，．

（1）设，用表示；

（2）若，求的长．

20．（12分）

小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．

（1）求的值；

（2）求通话时间在区间内的通话次数；

（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

21．（12分）

投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．

（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率。

22．（12分）

如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．

（1）证明：平面平面．

（2）设与平面交于点，作出点（说明作法），并求的长．

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数学参考答案

1．A  因为，所以的实部为13．

2．B  由题意得的坐标为．

3．A  由图可知高三年级学生人数占总人数的，抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为．

4．C  “掷出的点数为偶数”与不互斥，“掷出的点数为奇数”与不互斥，“掷出的点数小于2”与互斥且不对立，“掷出的点数小于3”与对立．

5．C  因为，所以共面．

6．C  因为圆台的上底面和下底面的面积分别为，所以该圆台上底面和下底面的半径分别为，所以该圆台的高为，故该圆台的体积．

7．B  因为数据的平均数为10，所以，所以新数据的平均数为．

8．C  如图，因为，所以．又，所以，．即异面直线与所成的角，．

9．AC  ，A正确．因为，所以，则，所以，B错误．因为，所以，C正确．在上的投影向量为，D错误．

10．AD  数据的方差越大，数据的波动性越大；数据的方差越小，数据的波动性越小．

因为，所以乙组数据的波动性最大，丙组数据的波动性最小．

11．BCD  由余弦定理得．

12．ABD  将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，由图可知，，因为平面平面，所以平面，A正确．连接（图略）．由图可知，点到平面的距离为，B正确．

由图可知，，则直线与所成角即与所成角，因为为正三角形，所以，C错误．

四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，故四棱锥外接球的表面积为，D正确．

13．1735.01  将这5个数据按照从小到大的顺序排列为1040.25，1735.01，1991.95，2232.17，3374.73，因为，所以这5个县的面积的分位数为1735.01平方公里．

14．  设，则，

所以得故．

15．  ，因为四边形为平行四边形，所以，所以，则．

16．  由，得，当时，的最小值为．

由，得，即，因为，

所以．而，当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2；当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2；当时，方程，的实数解的个数均为2．所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为．

17．解：（1）依题意可得为正三角形，因为，所以，

所以．

（2）因为，

所以．

18．解：（1）因为，

所以，

即，

又，所以．

（2）由余弦定理得，

即，解得（负根舍去）．

因为，所以，

所以的面积．

19．解：（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形，

所以，

则．

（2）依题意可得，

则

，

所以的长为．

20．解：（1）由，

得．

（2）因为通话时间在区间内的频率为，

所以通话时间在区间内的通话次数为．

（3）这100次通话的平均时间的估计值为分钟．

21．解：将甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件，

则．

（1）设只有一人投中为事件，则

．

（2）若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．

设丁获胜为事件，则．

22．（1）证明：因为为的中点，所以．

又因为平面平面，所以，

因为，所以，

所以平面，则，

又，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）解：如图所示，延长与并交于点，连接，则与的交点即点．

过作交于，因为，所以，根据相似可得，则，过作交于，根据相似可得，

因为，所以．