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山东省济宁市邹城市王村中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷
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这是一份山东省济宁市邹城市王村中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济宁市邹城市王村中学八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC中AC边的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．桥梁上的拉杆，电视塔的底座，都是三角形结构，而活动挂架是四边形结构，这是分别利用三角形和四边形的（ ）
A．稳定性，稳定性 B．稳定性，不稳定性
C．不稳定性，稳定性 D．不稳定性，不稳定性
4．在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
6．如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
8．如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．5cm D．无法确定
9．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ）
A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝29°，则∠E＝ ．
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
13．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝ 度．
14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 度．
15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为 ．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是AC、BD，CE的中点，且S△ABC＝6平方厘米，则S△AEF的值为 平方厘米．
17．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
18．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
21．已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
23．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°，求∠ACB是多少度？
24．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝ ；
②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝ ；
（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】两条较小的边的和大于最大的边即可
解：能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故选A．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC中AC边的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由BE⊥AC，BE过AC所对顶点B，得A图形中，线段BE是△ABC中AC边的高．
解：由BE⊥AC，BE过AC所对顶点B，
得A图形中，线段BE是△ABC中AC边的高．
故选：A．
【点评】本题主要考查了钝角三角形的高的画法，解题关键是三角形高的条件的正确掌握．
3．桥梁上的拉杆，电视塔的底座，都是三角形结构，而活动挂架是四边形结构，这是分别利用三角形和四边形的（ ）
A．稳定性，稳定性 B．稳定性，不稳定性
C．不稳定性，稳定性 D．不稳定性，不稳定性
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性进行解答即可．
解：桥梁上的拉杆，电视塔的底座，都是三角形结构，而活动挂架是四边形结构，这是利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
4．在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【分析】分两种情形：当△ABD的周长大时，当△ADC的周长大时，分别求解即可
解：∵AD为BC边的中线，
∴BD＝CD．
①当△ABD的周长大时，
△ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴AB﹣7＝5，解得AB＝12．
②当△ADC的周长大时，
△ADC与△ABD的周长差＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴7﹣AB＝5，解得AB＝2．
故AB＝2或12．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的中线，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
【分析】利用三角形内角和定理及各角之间的关系，求出三角形最大角的度数，取最大角的度数不为90°的选项即可得出结论．
解：A、设∠C＝2x，则∠B＝3x，∠A＝6x，
∴2x+3x+6x＝180°，
∴x＝°，
∴最大的角∠A＝6x＝°≈98.18°，
∴该三角形不是直角三角形，选项A符合题意；
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴最大的角∠C＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180°，
∴最大角＝180°﹣90°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项C不符合题意；
D、设∠A＝2y，则∠B＝3y，∠C＝5y，
∴2y+3y+5y＝180°，
∴y＝18°，
∴最大角∠C＝5y＝5×18°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定义、余角以及直角三角形的判定，根据各角之间的关系及三角形内角和定理，求出各选项三角形中最大的角的度数是解题的关键．
6．如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝80°，
∵∠1﹣∠2＝20°，
∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°．
8．如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．5cm D．无法确定
【分析】根据全等三角形的性质推出AD＝BC即可．
解：∵△ABC≌△CDA，
∴AD＝BC＝8cm．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，关键是找出全等时的对应的线段．
9．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角＝360÷5＝72°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ）
A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝29°，则∠E＝ 16° ．
【分析】根据平行线的性质求出∠DOE，根据三角形的外角性质求出即可．
解：如图，∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠DOE＝∠A＝45°，
∵∠C＝29°，
∴∠E＝∠DOE﹣∠C＝45°﹣29°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题考查了对平行线的性质和三角形外角性质的应用，解此题的关键是求出∠DOE的度数，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ．
【分析】首先证明∠FMC＝∠A+∠B，∠MFC＝∠D+∠E；结合△MFC的内角和等于180°，即可解决问题．
解：延长BE，交AC于点M；
由三角形外角的性质得：∠FMC＝∠A+∠B，∠MFC＝∠D+∠E，
∵∠FMC+∠MFC+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°．
【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将分散的角集中，为运用三角形外角的性质创造条件．
13．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝ 165 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或者根据四边形的内角和等于360°得出．
解：本题有多种解法．
解法一：∠α为下边小三角形外角，∠α＝30°+135°＝165°；
解法二：利用四边形内角和，∠α等于它的对顶角，故∠α＝360°﹣90°﹣60°﹣45°＝165°，
故答案为：165．
【点评】本题通过三角板拼装来求角的度数，考查学生灵活运用知识能力．
14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 58 度．
【分析】利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．
解：如图，∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故答案为：58．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，掌握对应边所对的角即为对应角是解题的关键．
15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为 110° ．
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是AC、BD，CE的中点，且S△ABC＝6平方厘米，则S△AEF的值为 1.5 平方厘米．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．
解：∵D是AC的中点，
∴S△BAD＝S△BCD＝S△ABC＝×6＝3cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝×3＝cm2，
∴S△AEF＝（S△ADE+S△CDE）＝（+）＝1.5cm2．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
17．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 120 米．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10＝120米．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．
18．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 18°或36° ．
【分析】根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1+3）＝18°，由此比较得出答案即可．
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1+3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠BCD，利用平行线的性质可得结论．
解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE．
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴AC＝ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出∠B＝∠ECD是证明三角形全等的关键．
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
23．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°，求∠ACB是多少度？
【分析】先根据题意得出∠BAC的度数，由AE∥DB可得出∠DBA的度数，进而可得出∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
解：根据题意，得
∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE
＝45°+30°
＝75°．
∵AE∥DB，
∴∠DBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA
＝60°﹣45°
＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC
＝180°﹣15°﹣75°
＝90°．
故∠ACB为：90°．
【点评】本题考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
24．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝ 30° ；
②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝ 45° ；
（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE＝30°，可求∠E的度数；
②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE＝45°，可求∠E的度数；
（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE＝α，可求∠E的度数；
（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G＝∠HAC﹣∠ACG＝∠FAC﹣∠ACE＝（∠FAC﹣∠ACE），可求∠G的度数．
解：（1）①∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝30°；
②∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝45°；
（2）∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝α；
（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，
∴∠G＝∠HAC﹣∠ACG＝∠FAC﹣∠ACE＝（∠FAC﹣∠ACE）＝×∠B＝α．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
2023-2024学年山东省济宁市邹城市王村中学八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC中AC边的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．桥梁上的拉杆，电视塔的底座，都是三角形结构，而活动挂架是四边形结构，这是分别利用三角形和四边形的（ ）
A．稳定性，稳定性 B．稳定性，不稳定性
C．不稳定性，稳定性 D．不稳定性，不稳定性
4．在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
6．如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
8．如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．5cm D．无法确定
9．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ）
A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝29°，则∠E＝ ．
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
13．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝ 度．
14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 度．
15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为 ．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是AC、BD，CE的中点，且S△ABC＝6平方厘米，则S△AEF的值为 平方厘米．
17．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
18．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
21．已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
23．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°，求∠ACB是多少度？
24．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝ ；
②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝ ；
（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】两条较小的边的和大于最大的边即可
解：能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故选A．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC中AC边的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由BE⊥AC，BE过AC所对顶点B，得A图形中，线段BE是△ABC中AC边的高．
解：由BE⊥AC，BE过AC所对顶点B，
得A图形中，线段BE是△ABC中AC边的高．
故选：A．
【点评】本题主要考查了钝角三角形的高的画法，解题关键是三角形高的条件的正确掌握．
3．桥梁上的拉杆，电视塔的底座，都是三角形结构，而活动挂架是四边形结构，这是分别利用三角形和四边形的（ ）
A．稳定性，稳定性 B．稳定性，不稳定性
C．不稳定性，稳定性 D．不稳定性，不稳定性
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性进行解答即可．
解：桥梁上的拉杆，电视塔的底座，都是三角形结构，而活动挂架是四边形结构，这是利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
4．在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【分析】分两种情形：当△ABD的周长大时，当△ADC的周长大时，分别求解即可
解：∵AD为BC边的中线，
∴BD＝CD．
①当△ABD的周长大时，
△ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴AB﹣7＝5，解得AB＝12．
②当△ADC的周长大时，
△ADC与△ABD的周长差＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴7﹣AB＝5，解得AB＝2．
故AB＝2或12．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的中线，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
【分析】利用三角形内角和定理及各角之间的关系，求出三角形最大角的度数，取最大角的度数不为90°的选项即可得出结论．
解：A、设∠C＝2x，则∠B＝3x，∠A＝6x，
∴2x+3x+6x＝180°，
∴x＝°，
∴最大的角∠A＝6x＝°≈98.18°，
∴该三角形不是直角三角形，选项A符合题意；
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴最大的角∠C＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180°，
∴最大角＝180°﹣90°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项C不符合题意；
D、设∠A＝2y，则∠B＝3y，∠C＝5y，
∴2y+3y+5y＝180°，
∴y＝18°，
∴最大角∠C＝5y＝5×18°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定义、余角以及直角三角形的判定，根据各角之间的关系及三角形内角和定理，求出各选项三角形中最大的角的度数是解题的关键．
6．如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝80°，
∵∠1﹣∠2＝20°，
∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°．
8．如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．5cm D．无法确定
【分析】根据全等三角形的性质推出AD＝BC即可．
解：∵△ABC≌△CDA，
∴AD＝BC＝8cm．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，关键是找出全等时的对应的线段．
9．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角＝360÷5＝72°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ）
A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝29°，则∠E＝ 16° ．
【分析】根据平行线的性质求出∠DOE，根据三角形的外角性质求出即可．
解：如图，∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠DOE＝∠A＝45°，
∵∠C＝29°，
∴∠E＝∠DOE﹣∠C＝45°﹣29°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题考查了对平行线的性质和三角形外角性质的应用，解此题的关键是求出∠DOE的度数，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ．
【分析】首先证明∠FMC＝∠A+∠B，∠MFC＝∠D+∠E；结合△MFC的内角和等于180°，即可解决问题．
解：延长BE，交AC于点M；
由三角形外角的性质得：∠FMC＝∠A+∠B，∠MFC＝∠D+∠E，
∵∠FMC+∠MFC+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°．
【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将分散的角集中，为运用三角形外角的性质创造条件．
13．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝ 165 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或者根据四边形的内角和等于360°得出．
解：本题有多种解法．
解法一：∠α为下边小三角形外角，∠α＝30°+135°＝165°；
解法二：利用四边形内角和，∠α等于它的对顶角，故∠α＝360°﹣90°﹣60°﹣45°＝165°，
故答案为：165．
【点评】本题通过三角板拼装来求角的度数，考查学生灵活运用知识能力．
14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 58 度．
【分析】利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．
解：如图，∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故答案为：58．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，掌握对应边所对的角即为对应角是解题的关键．
15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为 110° ．
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是AC、BD，CE的中点，且S△ABC＝6平方厘米，则S△AEF的值为 1.5 平方厘米．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．
解：∵D是AC的中点，
∴S△BAD＝S△BCD＝S△ABC＝×6＝3cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝×3＝cm2，
∴S△AEF＝（S△ADE+S△CDE）＝（+）＝1.5cm2．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
17．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 120 米．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10＝120米．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．
18．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 18°或36° ．
【分析】根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1+3）＝18°，由此比较得出答案即可．
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1+3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠BCD，利用平行线的性质可得结论．
解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE．
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴AC＝ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出∠B＝∠ECD是证明三角形全等的关键．
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
23．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°，求∠ACB是多少度？
【分析】先根据题意得出∠BAC的度数，由AE∥DB可得出∠DBA的度数，进而可得出∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
解：根据题意，得
∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE
＝45°+30°
＝75°．
∵AE∥DB，
∴∠DBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA
＝60°﹣45°
＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC
＝180°﹣15°﹣75°
＝90°．
故∠ACB为：90°．
【点评】本题考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
24．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝ 30° ；
②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝ 45° ；
（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE＝30°，可求∠E的度数；
②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE＝45°，可求∠E的度数；
（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE＝α，可求∠E的度数；
（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G＝∠HAC﹣∠ACG＝∠FAC﹣∠ACE＝（∠FAC﹣∠ACE），可求∠G的度数．
解：（1）①∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝30°；
②∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝45°；
（2）∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝α；
（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，
∴∠G＝∠HAC﹣∠ACG＝∠FAC﹣∠ACE＝（∠FAC﹣∠ACE）＝×∠B＝α．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
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