2023-2024学年四川省达州市万源中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省达州市万源中学九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1.如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分含边界一定有公共点，则实数的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

2.如图，二次函数的图象交轴于点，则下列结论中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为块时，白色瓷砖块数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，如果，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.下列是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.一元二次方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.长方形的周长为，其中一边为其中，面积为，则这样的长方形中与的关系可以写为(    )

A.  B.  C.  D.

8.二次函数的图象如图，以下结论正确的是(    )

 

A.
B. 方程有两个实数根分别为和
C.
D. 当时，的取值只能为

9.如图，直线与抛物线交于、两点，点是抛物线上的一个动点，过点作直线轴，交直线于点，设点的横坐标为，则线段的长度随的增大而减小时的取值范围是(    )

 

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

10.抛物线和在同一坐标系内，下面结论正确的是(    )

A. 顶点坐标不同 B. 对称轴相同 C. 开口方向一致 D. 都有最低点

二、填空题（本题共5小题，共20分）

11.已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，则的值为______．

12.甲用 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给了乙，获利，乙而后又将这手股票返卖给了甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲获利______ 元．

13.把方程用配方法化为的形式，则的值是______．

14.已知关于的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，则为______ ．

15.将二次函数化成顶点式为______ ．

三、解答题（本题共7小题，共70分）

16.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是元，超市规定每盒售价不得少于元根据以往销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元，每天要少卖出盒．
试求出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式；
当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？

17.如图，抛物线交轴的正半轴于点，交轴于点，将此抛物线向右平移个单位得抛物线，两条抛物线相交于点．
请直接写出抛物线的解析式；
若点是轴上一动点，且满足，求出所有满足条件的点坐标；
在第四象限内抛物线上，是否存在点，使得中边上的高有最大值？若存在，请求出点的坐标及的最大值；若不存在，请说明理由．

18.已知二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点．
求此二次函数的解析式及点的坐标；
点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，设点的运动时间为．
当为何值时，点恰好落在二次函数的图象的对称轴上；
设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出当为何值时，的值最大．

19.如图，在矩形中，，，点是的三等分点，且，过点作交于，并作射线和，点、分别是射线和射线上动点，点以每秒个单位的速度向右平移，且始终满足，设点运动的时间为秒．
当点与点重合时，求的长度；
设的中点为，与线段相交于点，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出时间的值；若不存在，请说明理由．
设与四边形的重叠部分的面积为，试求与的函数关系式和相应的自变量的取值范围．
 

20.随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为万元和万元，三月份销售额甲店比乙店多万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？

21.【发现】是一个一元四次方程．
【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
设，那么______，于是原方程可变为______．
解得：，______．
当时，，；
当______时，______，______；
原方程有个根，分别是______．
【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：

22.下表给出了代数式与的一些对应值：

根据表格中的数据，确定，，的值；
设，直接写出时的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的交点为，
，
对称轴时，二次函数的图象与阴影部分含边界一定有公共点，
．
故选：．
对称轴时，二次函数的图象与阴影部分含边界一定有公共点．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征来求的取值范围．

2.【答案】 

【解析】解：、二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，
，故本选项不符合题意；
B、二次函数的图象与轴的交点为、，点的坐标为，
当时，，故本选项不符合题意；
C、二次函数的图象与轴有两个交点，
，
，故本选项不符合题意；
D、二次函数的图象的对称轴是直线，
，
即，故本选项符合题意；
故选：．
根据图象得出图象与轴的交点在轴的正半轴上，图象与轴的交点点的坐标为，图象与轴有两个交点，图象的对称轴是直线，再逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系和抛物线与轴的交点等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖块；
第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖块；
第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖块；

第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖，
则第个图形中黑色瓷砖有，
当，即时，白色瓷砖块数为，
故选：．
根据题意得出第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖据此得出第个图形中黑色瓷砖有，再求出时的值，代入计算可得答案．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出第个图形中白色和黑色瓷砖的块数．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，知，则，，
即，，
将、坐标入解析式，则有，
由得：
．
故选：．
根据题意，知，则，，即，再进一步把两点的坐标代入解析式进行求解．
此题要利用抛物线与轴的交点和已知条件表示出抛物线与轴的两个交点的横坐标，进一步借助解析式进行解方程．

5.【答案】 

【解析】解：、该方程是分式方程，故本选项不符合题意．
B、该方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、由已知方程得到，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且．

6.【答案】 

【解析】解：
，
解得：，．
故选：．
直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：长方形的周长为，其中一边为其中，
长方形的另一边长为，
．
故选：．
先得到长方形的另一边长，那么面积一边长另一边长．
考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的关键点．

8.【答案】 

【解析】解：、根据图象知道：，，对称轴在轴的右边，，，故选项错误；
B、抛物线与轴的交点的横坐标为和，方程有两个实数根分别为和，故选项正确；
C、当时，，而根据图象知道当时函数值，，故选项错误；
D、抛物线是轴对称图形，当时，有两个对应的自变量的取值，故选项错误．
故选：．
A、根据抛物线的开口方向、与轴的交点坐标及抛物线的对称轴即可判定；
B、根据抛物线与轴的交点的横坐标即可判定；
C、当时，，然后结合图象即可判定；
D、根据抛物线的对称性和图象即可判定．
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点的方法，以及数形结合的思想．
联立两函数解析式求出交点、的坐标，结合的范围求出线段关于的函数解析式，结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：联立
解得
所以，，，
所以，
当时，，
当时，线段的长度随的增大而减小；
当或时，，
当时，线段的长度随的增大而减小；
线段的长度随的增大而减小时的取值范围是或．
故选D．

10.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
则，
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，把代数式变形，代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：，．

11.【答案】 

【解析】解：依题意，甲的成本元，
甲第一次交易，甲收入元，
第二次交易，甲收入元，
第三次交易，甲收入元．
甲的实际收入：元．
故答案为：．
把甲的付出记为“”，收入记为“”，分步计算每一次甲的收入，再合并，得出甲的实际收入．
此题和实际生活结合比较紧密，要学会用正负数表示甲在每一次交易中的收益情况，再把每一次的收益相加．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，
故答案为：
根据配方法可求解，值，再代入计算即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

13.【答案】 

【解析】解：抛物线和的顶点坐标都是、对称轴是轴、开口方向相反，一个有最大值、另一个有最小值，
故选：．
根据二次函数的图象和性质求解可得．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键．

14.【答案】或 

【解析】解：
方程的一个实数根的倒数恰是它本身，
方程有一实数根为或，
当时，代入可得，解得；
当时，代入可得，解得；
的值为或，
故答案为：或．
由倒数是它本身可知方程有一个根为或，代入即可求得的值．
本题主要考查一元二次方程的解，由条件确定出方程的一个实数根为或是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用配方法求解即可．
本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方；熟记完全平方公式是解题的关键．

16.【答案】解：由题意得，；
，
，，
当时，元，
即当每盒售价定为元时，每天销售的利润元最大，最大利润是元． 

【解析】根据“当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，每盒售价每提高元，每天要少卖出盒”即可得出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式；
根据利润盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，列出与的函数关系式是解题的关键．

17.【答案】解：抛物线向右平移个单位的顶点坐标为，
所以，抛物线的解析式为；

时，，
时，，解得，，
所以，点，，
，
联立，
解得，
点的坐标为，
，
点在点的左边时，坐标为，
在点的右边时，坐标为，
所以，点的坐标为或；

存在．
点，
直线的解析式为，
设与平行的直线，
联立，
消掉得，，
当，方程有两个相等的实数根时，中边上的高有最大值，
此时，
此时，
存在第四象限的点，使得中边上的高有最大值，
此时，
解得，
过点与平行的直线解析式为，
令，则，解得，
设直线与轴的交点为，则，
过点作轴于，根据勾股定理，，
则，
解得． 

【解析】写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；
根据抛物线解析式求出点、的坐标，然后求出，再联立两抛物线解析式求出交点的坐标，再根据分点在点的左边和右边两种情况求解；
先求出直线的解析式为，设与平行的直线，与抛物线联立消掉得到关于的一元二次方程，再根据与的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式列式求出的值，从而得到直线的解析式，再求出与轴的交点的坐标，得到的长度，再过点作轴于，然后根据的正弦值求解即可得到的值．
本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，判断出与平行的直线与抛物线只有一个交点时边上的高最大是解题的关键，也是本题的难点．

18.【答案】解：二次函数的图象与轴交于点，
，
，
二次函数的解析式为，
，
对称轴为直线，
点，
点；
设直线与轴交于点，交轴于点，

抛物线与轴交于点，
点，
，
，
，
，
，
将四边形沿翻折，
，，，
，
轴，
即点的横坐标为点的横坐标，
点恰好落在二次函数的图象的对称轴上，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
，
；
如上图，当时，，
，
当时，的最大值为，
当，
，
当时，的最大值为．
综上所述：，当时，的最大值为． 

【解析】将点坐标代入解析式，可得，即可求解；
先证，由等腰直角三角形的性质列出等式，即可求解；
分两种情况讨论，由面积关系和二次函数的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．

19.【答案】解：如图，过点作垂直于，

，，
，
，
；
存在存在点，使为等腰三角形
如图，当时，连接，

，，点是的三等分点，且，的中点为，
，
，

作，交于点，，
，
，
，
∽，
，即，解得，
同理，
，
，
、在一条直线上，即点与点重合，点与点重合，
时，存在点，使为等腰三角形，
如图，当时，过点作，交于点，于点，

，
，，
，，
，
，
，
，
当时，存在点，使为等腰三角形，
如图，当时，过点作，交于点，于点，

，
，，
，，
，
，
，
，
当时，存在点，使为等腰三角形，
综上所述：，，时，存在点，使为等腰三角形，
设与四边形的重叠部分的面积为，
如图，，在点的左侧或重合时，为的中点，连接，

；
如图，当时，即点在点的左侧或重合时，为的中点，连接，

与四边形的重叠部分的面积
；
如图，当，即点在点的右侧，点在点的左侧时，

与四边形的重叠部分的面积；
如图，当，即点在点的右侧，

与四边形的重叠部分的面积，
综上所述与四边形的重叠部分的面积． 

【解析】过点作垂直于，特殊含的直角三角形求出，再求即可，
分三种情况当时当时当时分别求解即可，
分三种情况当时，在点的左侧或重合时，当时，即点在点的左侧或重合时，当，即点在点的右侧，分别求解即可．
本题主要考查了四边形综合题，涉及相似三角形的性质，动点问题，平行四边形的性质及三角形，四边形的面积公式，解题的关键是正确的画出图形，分情况讨论，难度较大．

20.【答案】解：设乙店销售额月平均增长率为，由题意得：
，
解得 ，舍去．
．
答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是、． 

【解析】设乙店销售额月平均增长率为，根据等量关系“三月份销售额甲店比乙店多万元列出方程即可求解．
此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力．

21.【答案】            ， 

【解析】解：【探索】设，那么，于是原方程可变为．
解得：，．
当时，，；
当时，，；
原方程有个根，分别是，．
故答案为：，，，，，，，，

【应用】，
设，方程变形得：，
解得：或，
可得或无解，
解得：．
【探索】利用换元的思想求出所求方程的解即可．
【应用】利用换元的思想求出所求方程的解即可．
此题考查了换元法解一元二次方程，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．

22.【答案】解：根据表格数据可得，
解得，
，
当时，，即；
当时，的最大值是． 

【解析】根据表格数据可得到关于、的方程组，然后解方程组即可得到、的值，然后计算时的代数式的值即可得到的值；
利用二次函数的性质即可得．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值．
解：见答案；
由知，，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，的最大值是．