2023-2024学年江西省赣州三中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江西省赣州三中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一元二次方程可化成一般形式为(    )

A.  B.  C.  D.

2.抛物线的解析式为，则它的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

4.将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点(    )

A.  B.  C.  D.

6.用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面图中阴影部分的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知函数，，则两个函数在同一坐标系中的图象可能为(    )

A.  B.
C.  D.

9.已知二次函数其中是自变量的图象上有两点，，满足，当时，的最小值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
存在实数、，使得；
其中正确的(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.方程的解为______ ．

12.请写出一个过，开口向下的二次函数表达式______．

13.已知抛物线的对称轴为，若点，，，请比较，，的大小______ 用“”连接

14.一元二次方程的两个根为，，则 ______ ．

15.已知关于的方程的解是，，则关于的方程的解是______ ．

16.已知而成函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线有三个不同公共点时的值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分

已知二次函数．
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据图象，直接写出当时的取值范围．

19.本小题分
已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当为最大正整数时，求方程的根．

20.本小题分
抛物线过点与，且抛物线最大值是．
求此抛物线的解析式；
通过计算，判断点是否在此函数图象上？

21.本小题分
抛物线的图象如图所示，点为原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为正方形，求点的坐标．

22.本小题分
为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为千元吨时，每天可售出吨，每吨涨千元，每天销量将减少吨，据测算，每吨平均投入成本千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于千元，不高于千元，请解答以下问题：
求每天销量吨与批发价千元吨之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
当批发价定为多少千元吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？

23.本小题分
根据以下素材，探索完成任务，

24.本小题分

如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为，当点运动到点时，两点停止运动．
当点在线段上运动时，、两点之间的距离______用含的代数式表示
在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的若存在，求的值；若不存在，说明理由．

25.本小题分
抛物线，交轴于，两点在的左边，是抛物线的顶点．

当时，直接写出，，三点的坐标；
如图，点是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度；
如图，将抛物线平移使其顶点为，点为直线上的一点，过点的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程整理得：．
故选：．
方程整理为一般形式即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为为常数且．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的解析式为，
它的顶点坐标是，
故选：．
根据抛物线的顶点式写出顶点坐标即可．
此题考查了抛物线的顶点式，准确写出顶点坐标是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：在一元二次方程中，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先求出的值，再根据根的判别式即可得出答案．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为．
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．

5.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为轴，
若图象经过点，则该图象必经过点．
故选：．
先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
即．
故选：．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，
依题意，得：，
故选：．
设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，抛物线与轴交于负半轴，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，抛物线与轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，抛物线与轴交于负半轴，故本选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象开口向上，抛物线与轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
故选：．
可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误．
考查一次函数及二次函数的图象与性质．熟练运用函数图象与系数的关系是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴是直线，
由，，满足知，
当时，的最小值为，
二次函数图象过，
，
，
故选：．
二次函数的对称轴是直线，根据题意可得二次函数图象过，即可得到答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象过．

10.【答案】 

【解析】解：若，则方程必有一个根为，
，正确；
若方程有两个不相等的实根，则，可知，
方程必有两个不相等的实根，正确；
若是方程的一个根，则，
若时，不成立，错误；
．
．
．
当时，．
存在实数、，使得正确．
故选：．
说明原方程有根是，即可判断；
判断方程的根的情况，根据根的判别式的值的符号即可判断；
是方程的一个根，则，整理后即可判断；
根据得到当时，于是得到结论．
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．

11.【答案】， 

【解析】解：，
或，
解得：，．
故答案为：，．
把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：可设顶点坐标为，
抛物线解析式为，
图象开口向下，
，
可取，
抛物线解析式为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由开口向下可知二次项系数小于，由顶点在可设其为顶点式，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．

13.【答案】 

【解析】解：设关于对称轴的对称点为，
则，
解得：，

抛物线图象的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小．
，
．
故答案为：．
先求出关于对称轴的对称点，再根据二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小，即可得出答案．
本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

15.【答案】， 

【解析】解：关于的方程的解是，，
关于的方程的解满足或，
解得，．
故答案为：，．
把关于的方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．整体的思想的应用是解决问题的关键．

16.【答案】或 

【解析】解：函数与轴有两个交点，
，
解得，
当取最小整数时，，
抛物线为，
将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为或．
因为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有个交点时它一定过把代入得所以，
与相切时，图象有三个交点，
，
，
解得．
故答案为：或．
根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况：
过交点，根据待定系数法，可得的值；不过点，直线与相切，根据判别式，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．

17.【答案】解：方程可化为，
直接开平方，得，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】先方程两边乘以，得，再根据直接开平方法即可；
将方程右边化为，移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程：直接开平方法和因式分解法，本题的关键是利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为，转化为两个一元一次方程来求解．

18.【答案】解：列表：

描点、连线如图；

由图象可知：当时的取值范围是． 

【解析】利用列表，描点，连线作出图形即可；
写出函数图象在轴下方的部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象，注意：二次函数的解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：

19.【答案】解：由题意，得：，
，
；
，
最大正整数的值为，
方程化为：，
即，
，． 

【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可；
根据的结论，求出最大正整数的值，代入方程，再解方程即可．
此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系．

20.【答案】解：因为抛物线过点与，
所以抛物线的对称轴为直线．
又抛物线的最大值是，
所以抛物线的顶点坐标为．
则令抛物线的解析式为，
将代入得，
，得．
所以抛物线的解析式为．
将代入抛物线解析式得，
．
又，
所以点不在此函数图象上． 

【解析】根据题意可得出关于，，的方程，进而解决问题．
将点的坐标代入验证即可．
本题考查二次函数的图象与性质，由抛物线经过和得出抛物线的对称轴是解题的关键．

21.【答案】解：连接交于点，

点在抛物线上，
可设点坐标为，
四边形为正方形，
，，
，，
，
不合题意，舍去或，
，
，
点的坐标为：． 

【解析】连接交于点，设点坐标为，四边形为正方形，则，，得到，，则，解得，即可得到点的坐标．
此题考查了正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握正方形的性质和数形结合是解题的关键．

22.【答案】解：根据题意可得，，
所以每天销量吨与批发价千元吨之间的函数关系式为，
自变量的取值范围是；
设每天获得的利润为千元，根据题意得，
，
当时，取最大值；时，随的增大而增大；
，
当时，有最大值，最大值为，
将批发价定为千元吨时，每天获得的利润最大，最大利润是千元． 

【解析】根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
根据销售利润销售量批发价成本价，列出销售利润千元与批发价千元吨之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

23.【答案】解：任务：
万个，
条生产线的最大产量是万个；
任务：
设增加条生产线，
根据题意得：，
解得或，
要节省投入，
，
增加条生产线；
任务：
每天生产一次性注射器不能达到万个，理由如下：
设增加条生产线，每天生产一次性注射器个，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，即每天生产一次性注射器最多万个，
，
每天生产一次性注射器不能达到万个． 

【解析】任务：根据题意列式计算即可；
任务：设增加条生产线，根据生产线条数乘以每条生产线产量可得：，可解得答案；
任务：设增加条生产线，每天生产一次性注射器个，可得：，根据二次函数性质可得答案．
本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．

24.【答案】解：
的面积为，
当时，，，
，
，
即，
，
该一元二次方程无实数根，
该范围下不存在；
当时，，，
，
，
即，
解得或舍去，
综上所述，存在，当时，的面积是面积的． 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
依据，，即可得到：当点在线段上运动时，、两点之间的距离；
分两种情况：当时，当时，分别依据的面积是面积的，列方程求解即可．
【解答】
解：中，，，，
中，，
又点从点开始沿射线向点以的速度移动，
，
当点在线段上运动时，、两点之间的距离；
故答案为：；

见答案

25.【答案】解：当时，
抛物线的表达式为：，
令，
解得：或，
点、、的坐标分别为：、、；

延长交轴于点，过点作于点，

，
点的坐标为，
设的解析式为，则有：
，
，
直线的解析式；
，
，，
点是、的中点，则点，
设的解析式为，把点代入得：
，
解得：，
，
由得，
，
点的坐标为，
设直线的解析为，则有：
，
解得：，
，
由，得：
，，
的坐标为；
；
即的长为；

抛物线平移后的顶点坐标为，
平移后的抛物线的解析式为．
点为直线上一点，
．
设过点的直线的解析式为，
，
．
过点的直线解析式为．
．
即：．
过点的直线、与抛物线只有一个公共点，
．
．
，．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
，
．
设点的横坐标为，则是方程的根，
过点的直线与抛物线只有一个公共点，
．
同理可求：，
，，
，是方程的两根，
整理得：，
即：点，的坐标满足方程组，
点，点是抛物线与直线的交点，
，
直线一定经过定点． 

【解析】当时，抛物线的表达式为：，即可求解；
延长交轴于点，过点作于点，则三角形是等腰三角形，所以，，然后利用交点坐标特征，先后求出点、、的坐标，再由两点之间的距离公式求得的长即可；
先根据平移变换，求出平移后的抛物线的解析式为再由直线与抛物线的交点个数写出对应的函数解析式，最终把方程整理成是解决问题的关键所在．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．