江西省抚州市2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份江西省抚州市2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时长：120分钟 分值：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
解析：、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
、是一元二次方程，符合题意；
、中当时，不是一元二次方程，不符合题意；
、是一元三次方程，不符合题意；
2. 直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（ ）
A. 5B. 6C. 6.5D. 12
解析：解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，∴斜边==13，∴第三边上的中线长为×13=6.5．故选C．
3. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 6D.
解析：解：四边形是菱形，且对角线交于原点O，
∴点与点关于原点成中心对称
，
故选：D
4. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
解析：解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
故选：C
5. 若a，b是方程的两根，则（ ）
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
解析：解：由题意，，，
∴．
∴．
故选：D.
6. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④存在实数，使得；
其中正确的（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
解析：解：∵
∴是一元二次方程的一个解，即方程有解，
∴，①正确；
方程有两个不相等的实根，则，即
方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根，②正确；
若c是方程的一个根，则，即
∴或，③错误；
由可得，
即
∵
∴
∴
所以只需要满足即可得到，④正确；
故选：B
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. 平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形，可以添加一个条件．你添加的一个条件是________．
解析：解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点，
∴当时，平行四边形是矩形；
当时，平行四边形是矩形；
故答案为：或（答案不唯一）．
8. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为________．
解析：解： 关于的一元二次方程的一个根是1，


故答案为：
9. 某商场销售一款恤，进价为每件元，当售价为每件元时，平均每周可卖出件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件恤每降价元，平均每周可多卖出件，若要使每周销售该款恤获利元，设每件降低元，则可列方程为____．
解析：解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降价元后，利润为每件元，每降价元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为，
根据题意得：，
故答案为：．
10. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5，从中随机连续抽取2张卡片，其编号都是偶数的概率是______．
解析：解：列出表格如下：
由表可知，一共有20种情况，连续抽取2张卡片，其编号都是偶数的有2种情况，
∴随机连续抽取2张卡片，其编号都是偶数的概率为，
故答案为：．
11. 已知关于的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解，若关于的一元二次方程有两个相等的实数解，则的值为________．
解析：解：解方程得，
关于的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解，
为方程的解，
，
关于的一元二次方程有两个相等的实数解，
，
把代入得，解得，
当时，，
．
故答案为：．
12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ．

解析：解：①如图，当在上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；

②如图，当在上时，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在四边形中，
，
∴；

③如图当和重合时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数是或或．
故答案为：或或．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13. 解方程：
（1）；
（2）．
【小问1解析】
，
，
，
∴ ；
【小问2解析】
，
，
，
，
∴．
法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法是解题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求AF的长度．
【小问1解析】
证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
∴（AAS）
∴CF=AF
【小问2解析】
设AF=CF=x
∴BF=8-x
在Rt△BCF中有
解得x=5．
即
15. 在正方形ABCD中，E为AB的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹；
（1）在图1中将△ABD绕点D逆时针旋转90°，
（2）在图2中作以E为顶点的正方形；
【小问1解析】
解：△DCF即为所求．
【小问2解析】
解：四边形EBFO即为所求．
16. 已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根．
（1）若的长为，求的值；
（2）当为何值时，是菱形？
【小问1解析】
解：当时，
将代入方程得：
，
解得：；
【小问2解析】
∵是菱形，
∴，
∴关于方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故当时，是菱形．
17. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求菱形的面积．
【小问1解析】
解：在△AOB中，，
∴，
∴△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
又∵四边形ABCD四平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
【小问2解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每涨价元，每星期少卖出个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．
（1）请直接写出（个）与（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是元？
【小问1解析】
由题意可得，，
∴；
【小问2解析】
由题意可得，，
整理得：，
解得，，，
∴当销售单价是元或元时，该网店每星期的销售利润是元，
答：当销售单价是元或元时，该网店每星期的销售利润是元．
19. 为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图．

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中___________，___________；
（2）若该校学生共有人，则该校参加羽毛球活动的人数约为___________人；
（3）该班参加乒乓球活动的位同学中，有位男同学（分别用，，表示）和1位女同学（用表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率．
【小问1解析】
解：总人数 (人)，(人)，
，
∴，
故答案为：，；
【小问2解析】
(人)，
故答案为：；
【小问3解析】
如图所示：

共有种可能，一男一女有种可能，则恰好选到一男一女的概率．
20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．

（1）求证：四边形矩形；
（2）若，，求四边形面积．
【小问1解析】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形；
【小问2解析】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21. 已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．

（1）求证：；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【小问1解析】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2解析】
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
22. 已知关于的方程．
（1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
（2）当时；
①若该方程有实数解，求的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
【小问1解析】
解：圆圆的结论正确，理由如下：
，
该方程一定为一元二次方程，
故圆圆的结论正确．
【小问2解析】
当时，则方程为，
①若该方程有实数解，则，
解得，
若该方程有实数解，的取值范围是；
②若该方程的两个实数解分别为和，则，，
，
，
，
，
整理得，
解得或，
，
的值为．
六、解答题（本大题12分）
23. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．

（1）［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）；
（2）［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
【小问1解析】
解：，理由如下：
如图，取中点，连接，
∵四边形是正方形，平分，
∴，，，
∵是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2解析】
解：成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3解析】
解：成立．
证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
某班参加球类活动人数统计表
项目
篮球
足球
排球
羽毛球
乒乓球
人数