湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

这是一份湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题，共12页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁，已知为坐标原点，，则的最小值为，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

2024年邵阳市高二联考试题卷
数学
本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A.8 B.9 C.10 D.100
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（ ）
A.21 B.35 C.70 D.126
6.已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.2
7.已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知为坐标原点，，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.2
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的有（ ）
A.的展开式的第4项的系数是280
B.对于随机变量，若，则
C.已知随机变量，若，则
D.一组数据的第60百分位数为14.5
10.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（ ）
A.椭圆的离心率为
B.若，则
C.直线的斜率与直线的斜率之积等于
D.符合条件的点有且仅有2个
11.已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（ ）
A.点的轨迹关于轴对称
B.点的轨迹关于原点对称
C.若且，则恒成立
D.若且，则恒成立
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起.已知甲､乙两个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为__________.
13.已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为__________.
14.祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.由曲线共同围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为，则__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若是边的中点，且，求.
16.（15分）如图所示，是的直径，点是上异于的动点，平面，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的正弦值为，求.
17.（15分）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程.
18.（17分）已知函数，其中.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，令函数，证明：.
19.（17分）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.
例如：
后项与前项的差值：
这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
（2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；
（3）若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求.
2024年邵阳市高二联考参考答案与评分标准
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
7.D【解析】根据题意，设，
若为奇函数，则，则函数为偶函数.
.
又当时，，则函数在上为减函数，
故在上为增函数.
则，且，则有；故选D.
8.B【解析】设，点的轨迹方程为0.又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，.选B.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
11.BC【解析】因为直线的斜率存在，所以.
因为，即，整理可得.
所以点在函数上.
如图，选BC.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.或（） 13. 14.
13.【解析】.又.
又，又.
设角的对边为，则
，当且仅当时等号成立.
面积最大值为.
14.令，分别代入和中解得：.记点绕轴旋转一周得到的圆的半径分别为，此圆环的面积，恒为定值.根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为，高为6的圆柱的体积相等，所以.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步䯅）
15.（13分）解：（1），
由正弦定理得，
.
，又，
.
（2），
，
.
由余弦定理得，
，由勾股定理得.
16.（15分）解：（1）由平面，知.
由是的直径，知.
，
平面.
由分别是的中点，知.
平面.
（2）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，且.
易知平面的一个法向量.
设平面的一个法向量，则
则
取，得，则，
二面角的正弦值为，则其余弦值为，
，
又，解得.
故.
17.（15分）解：（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1，知动点到直线的距离等于它到定点的距离，
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
故的方程为：.
（2）由题意，可设直线，
代入，消去得：.
显然有，设，
则.
由，知.
得或，
解得.
当时，直线不合题意；
当时，直线符合题意；
综上，所求直线的方程为：.
18.（17分）解：（1），
.
切线方程为：，即.
（2）由题意得函数的定义域为.
①当时，在上单调递减；
②当时，时，在上单调递减.
时，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：当时，，
.
令，则.
构建函数.
当时，函数单调递增.
当时，函数单调递增.
在内有唯一零点.
当函数单调递减.
当函数单调递增.
当时，函数取最小值.
.
.
构造函数.
令.
当时，函数单调递增.
当时，函数单调递增.
.
19.（17分）解：（1），
是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”.
（2）由题意是“一阶等差数列”，又首项为1，公差为3.
满足上式，.
“二阶等差数列”的通项公式为.
（3）是“三阶等差数列”，是“二阶等差数列”，
设是“一阶等差数列”.
由题意得，
，
.
满足上式，.
.
满足上式，.
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
C
A
B
D
B
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
BC