（备战24高考数学）11.（回归教材）新教材中的距离公式与最值问题

这是一份（备战24高考数学）11.（回归教材）新教材中的距离公式与最值问题，共4页。试卷主要包含了两点间距离公式，点到直线距离公式，三角不等式，其他形式的将军饮马模型，的最大值与最小值；等内容，欢迎下载使用。

1.两点间距离公式：间距离：.
2.点到直线距离公式：点到直线的距离：.
3.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.
3.将军饮马模型：如图，动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么
的最小值即为做点关于的对称点，然后连接后其长度.
4.其他形式的将军饮马模型：若动点为曲线上一点，为曲线所在平面内的两个定点，那么如何求的最值.
5.若动点为函数图象上任一点，直线与图象相离，则到距离的最小值为函数图象在点处的切线与平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线的距离.
二．典例分析
例1.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求：
(1).的最大值与最小值；
(2).的最大值与最小值.
解析：（1）如图：，等号成立当在一侧，且三点共线以及当在一侧，且三点共线.故的最大值与最小值为：.
由椭圆定义可知：，由（1）可知：的最大值与最小值为：，故的最大值与最小值为：与
.
例2.已知动点为抛物线上任意一点，其焦点为，点，试求：
（1）的最小值；
（2）的最大值.
解析：（1）过向做垂线，垂足为，则，故当三点共线时，
取最小值，最小值为.
（2）当在一侧且三点共线时，有最大值.
例3.（2020四川预赛）设函数，则的最大值是_________.
解析：，故设，于是函数表示直线上的动点到两个定点的距离之差.另一方面，由于点关于直线的对称点，则，那么当三点共线时.
例4.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______.
解析：代数式表示点到点间的距离，即求下列两函数图象之间距离的最小值.
设函数图象上处的切线斜率为，则，故最小距离为到直线的距离，由距离公式可知为，故.
例5.（2012全国卷）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
解析：函数与函数互为反函数，图象关于对称，函数上的点到直线的距离为.
设函数，由图象关于对称得：最小值为.
三．习题演练
习题1．已知P是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
解析：设，点在直线上，当取最小值时，垂直于直线. 此时
记，最小时，最小.
，当时，最小时，最小. 故选：C
习题2．已知，则y的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解析：y的最小值即为上的点与上的点的距离的平方的最小值.
，令，解得：，又，故图象上与平行的切线在图像上的切点为.
于是图像上的点与上的点的最短距离为点到的距离，即最短距离，则，y的最小值为.故选：B.