江西省南昌市青山湖区心远中学教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江西省南昌市青山湖区心远中学教育集团九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.已知抛物线，下列结论错误的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大

6.如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重台，轴，交轴于点将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

7.点关于原点对称的点的坐标是______．

8.如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______．
 

9.若点、和是二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为______．

10.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______

11.如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接当为______度时，是等腰三角形？

 

三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）

12.解方程：．

四、解答题（本大题共11小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.本小题分
如图，在等边三角形中，，点是边上的一点，且，点在外，且≌，求的长度．

14.本小题分
已知抛物线经过点．
求的值；
求顶点坐标；
该抛物线上有两点、，则______．

15.本小题分

如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结．
说明为等边三角形；
求的周长．

16.本小题分
如图，在的方格纸中，已知格点，请按要求画格点图形顶点均在格点上．
在图中画一个锐角三角形，使为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移个单位后的图形．
在图中画一个以为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点旋转后的图形．

 

17.本小题分
如图，已知一次函数与二次函数的图象交于、两点．
求二次函数的表达式．
当时，直接写出自变量的取值范围．

18.本小题分

如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．
求证：≌；
试说明四边形为菱形．

19.本小题分
为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数，且为整数构成一种函数关系．每平方米种植株时，平均单株产量为千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克．
求关于的函数表达式．
每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

20.本小题分

如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
求证：；
若，，求弦的长．

21.本小题分
某矩形工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
若丝绸花边的面积为，求丝绸花边的宽度．
已知该工艺品的成本是元件，如果以单价元件销售，那么每天可售出件，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，设销售单价降低元件为偶数，每天的销售量为件．
直接写出与的函数关系式．
设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？

22.本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
观察猜想：
 图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 
探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； 
拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

 

23.本小题分
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“阶方点”．
在；；三点中，是正比例函数图象的“阶方点”的有______填序号；
若关于的一次函数图象的“阶方点”有且只有一个，求的值；
若函数图象恰好经过“阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动阶方点”，若关于的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动阶方点”，且当时，的最小值为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图形重合．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】
解：、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
平移后抛物线的顶点坐标为，
平移后抛物线的解析式为．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：，是的两条半径，点在上，，
．
故选：．
根据圆周角定理即可求解．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．

5.【答案】 

【解析】解：选项，，
抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的对称轴为直线，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
选项，当时，随的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：．
根据抛物线时，开口向上，时，开口向下判断选项；
根据抛物线的对称轴为判断选项；
根据抛物线的顶点坐标为判断选项；
根据抛物线，时，随的增大而减小判断选项．
本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：正六边形边长为，中心与原点重合，轴，
，，
：．
第次旋转结束时，点的坐标为；
第次旋转结束时，点的坐标为；
第次旋转结束时，点的坐标为；
第次旋转结束时，点的坐标为．，
次一个循环，
．
第次旋转结束时，点的坐标为．
故选：．
首先确定点的坐标，再根据次一个循环，推出经过第次旋转后，点的坐标即可．
本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

7.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故答案是：．
利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
根据已知条件证得≌，则．
【解答】
解：，且为的中点，
，
，
，，
在和中，
≌，
．
故答案为：．
【点评】
本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理的内容．

9.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
点、和是二次函数图象上的三点，
而三点横坐标离对称轴的距离按由远到近为：、、，
．
故答案为：．
二次函数抛物线向上，且对称轴为根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．

10.【答案】 

【解析】解：令函数式中，，
，
解得，舍去，
即铅球推出的距离是．
故答案为：．
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．

11.【答案】、、 

【解析】解：绕点按顺时针方向旋转得，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
为等腰三角形，
当时，，
即，
解得，
当时，，即，
解得，
当时，，
解得
所以当为、、时，是等腰三角形；
故答案为：、、．
根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形是等边，从而表示出与，进而求出，再根据等腰三角形的性质，分别假设，，，从而求出．
此题主要考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．

12.【答案】解：

，
，． 

【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．属于基础题．
利用因式分解法解出方程．

13.【答案】解：在等边三角形中，，
，
，
，
绕点旋转后得到，
≌，
． 

【解析】由在等边三角形中，，是上一点，且，根据等边三角形的性质，即可求得的长，然后由旋转的性质，即可求得的长度．
此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关系．

14.【答案】 

【解析】解：将代入可得：，
；
由可知：，
，
将式子变形成顶点式可得：，
顶点坐标为：；
根据抛物线的性质可知：，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，
随的增大而减小，即．
故答案为：．
将代入抛物线即可求出的值；
将抛物线的一般形式转化成顶点式，即可求出顶点坐标；
根据函数图象的性质解答即可．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，顶点坐标，解题的关键是理解二次函数图象及性质，会将一般形式转化成顶点式．

15.【答案】解：绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
，，，
，，
为等边三角形；
解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
，，
为等边三角形，
，
的周长为，
故答案为：． 

【解析】根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形；
推出，证明，求出，，然后判断为等边三角形，从而得到的长，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质及勾股定理．

16.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；
根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
本题考查作图旋转变换、作图平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．

17.【答案】解：将点、代入，
，，
；
由图象可得，时，． 

【解析】将点、代入，求解即可；
由图象可得，时，．
本题考查二次函数与不等式组，二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

18.【答案】证明：是由在平面内绕点旋转而得，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
由得≌，
是由旋转而得，
≌，
，，
又，
，
四边形为菱形． 

【解析】根据旋转的性质可得，，，然后根据垂直可得出，继而可根据证明≌；
根据以及旋转的性质可得，≌≌，继而得出四条棱相等，证得四边形为菱形．
本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大．

19.【答案】解：每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克，
，
答：关于的函数表达式为，，且为整数；
设每平方米小番茄产量为千克，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为，
答：每平方米种植株时，能获得最大的产量，最大产量为千克． 

【解析】由每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克，即可得，
设每平方米小番茄产量为千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

20.【答案】证明：为的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
，，
在中，，
． 

【解析】先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用得到；
先根据垂径定理得到，再计算出，，则利用勾股定理可计算出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．

21.【答案】解：设丝绸花边的宽度为 ，
由题意得：，
即，
解得或舍去，
答：丝绸花边的宽度为；
根据题意得，；
依题意得每天的销售利润为，
故当时，最大销售利润为，
为偶数，
当或时，有最大利润，
为了让利于顾客，
，符合题意，此时，
故销售单价定为，
答：每件商品的销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
根据题意即可得到结论；
依题意得每天的销售利润，根据二次函数的性质即可得到结论．
此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

22.【答案】解：；；
是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知，，
，，
在和中，
≌，
，，
利用三角形的中位线定理得，，，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
面积的最大值为． 

【解析】【分析】
本题主要考查三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质．
首先判断出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出，，得出，，最后用互余即可得出结论；
先判断出≌，得出，同的方法即可得出结论；
先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：点，分别是，的中点，
，，
点，分别是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
见答案；
如图，

同可得三角形为等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
当且在顶点上面，、、共线时，最大，此时，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．

23.【答案】 

【解析】解：到轴距离为，不符合题意，
到两坐标轴的距离都等于，符合题意，
到轴距离为，到轴距离为，符合题意，
故答案为：．
，
函数经过定点，
在以为中心，边长为的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“阶方点”有且只有一个，

由图可知，，，
一次函数图象的“阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“阶方点”有且只有一个，

综上所述：的值为或．
点在直线上，
的图象上存在唯一的一个“不动阶方点”时，方程有两个相等实数根，
，
，
当时，的最小值为，
若，则的最小值为，则，
解得，不符合题意．
当时，若，则取最小值，即
解得舍或，
当时，若，则取最小值，即
解得舍或，
综上所述，或．
根据定义进行判断即可；
在以为中心，边长为的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“阶方点”有且只有一个，结合图象求的值即可；
在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．