山东省济南市历城区华山中学 2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷 （月考）

2023-2024学年山东省济南市历城区华山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若是关于的方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.用配方法解方程时，配方后得的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D.

5.一个袋子里有个除颜色外其他完全相同的球，若摸到红球的机会为，则可估计袋中红球的个数为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.下列说法中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分

7.如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，小树在路灯的照射下形成投影若树高，树影，树与路灯的水平距离则路灯的高度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形图中阴影部分，如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接以下四个结论：
；∽；；．
其中正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知，则的值是______．

12.若是方程的根，则的值为______．

13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是          ．

14.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则菱形的面积为______．

15.漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为______．

16.矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接若，，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：
；
．

18.本小题分
解下列一元二次方程：
；
．

19.本小题分
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

 

20.本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.本小题分

如图，在矩形，，于点求证：．

22.本小题分
为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：家乡导游；艺术畅游；体育世界；博物旅行学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目，学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：

求该班学生总人数为______ ；
项目所在扇形的圆心角的度数为______ ；
将条形统计图补充完整；
该校有名学生，请你估计选择“博物旅行”项目学生的人数．

23.本小题分
如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？
围成养鸡场的面积能否达到？请说明理由．

24.本小题分
如图，，与交于点，且，，．
求的长；
求证：∽．

25.本小题分
在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为秒求：
当时，这时，，两点之间的距离是多少．
当为多少时，的长度等于？
当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？

26.本小题分
在等腰中，，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接．
当时．
如图，当顶点在边上时，请直接写出与的数量关系是______线段与线段的数量关系是______；
如图，当顶点在边上时，中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰底边上的高，并取的中点，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取的中点，连接，，并把绕点逆时针旋转，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
当时，如图，当顶点在边上时，写出线段与线段的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，得当时，，
解得，；
故选：．
利用一元二次方程的解的定义，将代入关于的方程，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，即一元二次方程的根，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求得的值．

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断选项的正确性．
本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握判断轴对称图形和中心对称图形的方法．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选C．
先移项，再配方，即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式有关知识，利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故选B．

5.【答案】 

【解析】解：一个袋子里有个除颜色外其他完全相同的球，若摸到红球的机会为，
袋中红球的个数为个．
故选：．
根据红球红球球的总数计算．
本题考查概率公式，解答此题关键是熟知概率的计算方法．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．
由矩形和正方形的判定方法容易得出、不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出不正确，D正确．
【解答】
解：对角线相等的平行四边形是矩形，
不正确；
对角线互相垂直的矩形是正方形，
不正确；
平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
不正确；
矩形的对角线互相平分且相等，
D正确；
故选D．

7.【答案】 

【解析】解：直线，
，即，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
故选：．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】
解：依题意，在矩形中截取矩形，

则矩形∽矩形，
则，
设，得到：，
解得：，
即，
所截矩形的面积：．
故选B．

10.【答案】 

【解析】解：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
，故正确；
，，
，
，
，
∽，故正确，
，
延长交于，

，，
，
，故正确，
，，
∽，
，
，
又
，故正确，
故选：．
由正方形的性质可得，，，，可得，可判断；由，，可证∽，可判断；通过证明∽，可得，可判断；由相似三角形的性质可得，可得，可判断；即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了比例的性质，在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．已知，可设，则，代入所求的式子即可求解．
【解答】
解：
设，则．
．

12.【答案】 

【解析】解：实数是关于的方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
把代入已知方程，可以求得，然后整体代入所求的代数式求值即可．
本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，共种等可能的结果，两次正面都朝上的结果数有种，
所以两次正面朝上的概率是．
故答案为：．

画树状图得所有等可能的结果数，看两次正面都朝上的结果数占总结果数的多少即可．
本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求结果数与总结果数之比．得到所求事件的结果数是解决本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，则，
菱形周长为，则，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，，
故菱形的面积．
故答案为．
菱形对角线互相垂直平分，所以，已知，，即可求得，即可求得的长，根据、即可求菱形的面积，即可解题．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设一次函数的表达式为，
将代入得，，
解得，，
，
当时，，
当时，，
由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
将代入得，
．
故答案为：．
先利用待定系数法求出与的关系式，再把和分别代入解析式，可判断哪个数据错误，最后将代入即可．
本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
延长交于点，证明≌，得到，在中利用勾股定理求出长即可解决问题．
【解答】
解：延长交于点，

四边形和四边形均为矩形，且点，，共线，
，，，
，
在和中，
≌．
，．
四边形是矩形，
，，
在中，，
．

17.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】先去根号与绝对值符号，再进行加减即可；
先去根号与绝对值符号，再进行加减即可；
本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质与去绝对值的方法以及指数幂的性质是解题的关键．

18.【答案】解：，
，
，
或，
，．
，
，
或，
，． 

【解析】移项，提取公因式分解因式，转化为两个式子的积是的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；
分解因式，转化为两个式子的积是的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

20.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
利用矩形和直角三角形的性质得到、，从而证得两个三角形全等，可得结论．

22.【答案】；
；
解：人，补全条形统计图如图所示：

解：人，
答：该校有名学生中选择“博物旅行”项目的大约有人． 

【解析】解：人，
故答案为：；
，
故答案为：；
见答案．
从两个统计图中可知，选择“家乡导游”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；
“艺术畅游”的占，因此相应的圆心角的度数占的，计算可得答案；
求出“体育世界”的人数即可补全条形统计图；
样本估计总体，样本中选择“博物旅行”的占调查人数的，因此估计总体人的是选择“博物旅行”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，用样本估计总体，理解两个统计图中的数量关系是正确解答的关键．

23.【答案】解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
当时，舍去，
则养鸡场的宽是，长为．
设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到． 

【解析】先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意；
先设养鸡场的宽为 ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．

24.【答案】解：，
；
，
∽；
，
；
证明：，，
，
，
∽． 

【解析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽．
根据相似三角形的判定和性质解答即可；
利用相似三角形的判定解答即可．

25.【答案】解：由运动知，，，
，
，
点在上运动，
，
，
点在运动，
，
，
，
当时，，，
在中，根据勾股定理得，；

在中，根据勾股定理得，，
，
，
解得，或舍去，
即当为时，的长度等于；

以点，，为顶点的三角形与相似，且，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
即当为或时，以点，，为顶点的三角形与相似． 

【解析】先由运动知，，，再确定出；
先求出，，最后用勾股定理求出，即可得出结论；
利用勾股定理得出，解方程，即可得出结论；
分∽和∽，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

26.【答案】解：如图中，设交于．

，，
，
，
，，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，，
，
．
，，
．
故答案为：，．
结论不变．
解法一：如图，取的中点，的中点，连接，．
    
，，，
，，
设，，，则，
，
，
，即，
，，
，，
，，
，
≌，
，
，
．
解法二：如图，取的中点，连接，，并把绕点逆时针旋转得到，连接，，．

，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
与互相平分，
点是的中点，
与交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
．
结论：．
理由：如图中，取的中点，连接，．

，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图中，设交于首先证明，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
解法一：如图，取的中点，的中点，连接，证明≌可得结论．
解法二：如图，取的中点，连接，，并把绕点逆时针旋转得到，连接，，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得结论．
结论：如图中，取的中点，连接，证明∽可得结论．