安徽省安庆市宿松县2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年安徽省安庆市宿松县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  一元二次方程化为一般形式后，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  估计的运算结果应在(    )

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

5.  若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为 (    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在四边形中，，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点若点是的中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某厂家年月份的自行车产量统计图如图所示，月份自行车产量不小心被墨汁覆盖若月份到月份该厂家自行车产量的月增长率都相同，则月份自行车产量为(    )

A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆

8.  如图，点是内一点，点是边的中点，交边于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知三个实数，，满足，，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

10.  设，，，为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点，，，的距离之和最小，则称点为点，，，的一个“最佳点”，例如，线段上的任意点都是端点，的“最佳点”，现有下列命题：
若三个点，，共线，在线段上，则是，，的“最佳点”；
若四个点，，，共线，则它们的“最佳点”存在且唯一；
直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的“最佳点”；
平行四边形对角线的交点是其四个顶点的唯一“最佳点”．
其中的真命题是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.  若有意义，则的取值范围是______ ．

12.  我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，那么该三角形的面积为，现已知的三边长分别为，，，则的面积为______ ．

13.  设，分别是方程的两个实数根，则的值是______．

14.  如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，且四边形是菱形．
若点在边上时，则菱形的边长为______ ；
连接，则的长的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：

将如表的表格补充完整：

根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为在第一象限内有以为底的等腰，且腰长为．
在图中画出，并写出点的坐标：
在轴上找一点，使得点、、、围成一个平行四边形，在图中画该四边形，并写出点坐标．

19.  本小题分
如图，点、是▱对角线上的两点，且．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求四边形的面积．

20.  本小题分
年月开始，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，安庆市某中学提前尝试建立劳动教育实践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了个花圃对管理情况进行了评分满分分，数据分组为组，，组：，组：，组：，表示评分的分数，现将评分情况绘制成了不完整的统计图：

补全图中的条形统计图；图中组所对应的圆心角为______ ；
若八年级组得分情况为，，，，，．
八年级组得分的方差为______ ；
八年级个花圃得分的中位数为______ 分；
若分以上为“五星花圃”，七、八年级各有个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共多少个？

21.  本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
若每件售价为元，则日销量是______ 件
若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

22.  本小题分
为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一段平直的岸堤岸堤长米为一边，用总长为米的围网，在水库中围成了如图所示的三块不同的矩形区域用于不同水产的养殖，且这三块矩形区域的面积相等．
设的长度为米，则______ 米，______ 米；用含的代数式表示；
当矩形面积为米时，求的长度；
矩形的面积能不能等于米，为什么？

23.  本小题分
【问题提出】
如图，在中，可知______ ；填“”“”或“”
【问题探究】
如图，在菱形中，，是对角线上一点，延长至点，使得，连接，求证：；
【问题解决】
如图，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点，分别在边和对角线上，为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值路面宽度忽略不计

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：、不是最简二次根式，不符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

解析：解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

3.【答案】 

解析：解：方程整理得：，
则常数项为．
故选：．
方程化为一般形式后，找出常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为：为常数且．
 

4.【答案】 

解析：

解：，而，
原式运算的结果在到之间；
故选：．  

5.【答案】 

解析：

解：关于的一元二次方程有实数根，

且，
且，
整数的最大值为．
故选B．
 

6.【答案】 

解析：解：如图，连接，
由题可得，点和点在的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，．
在中，
，
，
即，
解得．
故选：．
连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出然后在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定垂直平分是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

解析：解：设月份到月份该厂家自行车产量的月增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
月份自行车产量为辆．
故选：．
设月份到月份该厂家自行车产量的月增长率为，利用月份自行车产量月份自行车产量每个月自行车产量的月增长率，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

解析：解：点是边的中点，，
为的中位线，
又，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据三角形中位线的性质可得，进而求得，再在中，根据“直线三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求出的长．
本题主要考查了三角形中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
 

9.【答案】 

解析：解：若，则，即，代入第二个等式得，所以A错误；
若，则，代入后得到，于是解得或，所以选项错误；
同选项，可得或，故C选项错误；
若，则，，所以选项正确．
故选：．
根据等式的性质进行判断即可．
本题考查等式的性质，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．
 

10.【答案】 

解析：解：若三个点、、共线，若在线段上，则线段上任一点都为“最佳点”，也不例外，则是、、的最佳点，是真命题；
若四个点、、、共线，则它们的最佳点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的最佳点存在但不唯一，故是假命题；
举一个反例，如边长为，，的直角三角形，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为，而直角顶点到三个顶点的距离之和为，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的最佳点，故是假命题．
在平行四边形中，对角线的交点，是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得，所以平行四边形对角线的交点是该平行四边形四个顶点的唯一最佳点，故是真命题．
故选：．
对于若三个点、、共线，在线段上，利用两点之间线段最短，则是、、的最佳点，是真命题；
对于若四个点、、、共线，则它们的最佳点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一；
对于举一个反例，如边长为，，的直角三角形，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为，而直角顶点到三个顶点的距离之和为，据此进行判断即可；
在平行四边形中，对角线的交点，是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得平行四边形对角线的交点是该平行四边形四个顶点的唯一最佳点．
本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
 

11.【答案】 

解析：解：若有意义，
则，
解得，
故答案为．
根据二次根式有意义，则被开方数不小于，于是令，解得的取值范围．
本题主要考查二次根式有意义的条件，代数式的意义一般从三个方面考虑：当代数式是整式时，字母可取全体实数；当代数式是分式时，分式的分母不能为；当代数式是二次根式时，被开方数为非负数，此题比较简单．
 

12.【答案】 

解析：解：由题意可得，的面积为：，
故答案为：．
把、、的值代入三角形的面积公式，结合二次根式的性质化简得出答案．
本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：，分别是方程的两个实数根，
，，
，
故．
故答案为：．
根据题意得，即，利用根与系数的关系得到，代入整理后的代数式求值．
此题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

14.【答案】   

解析：解：当点在边上时，如图，

设菱形的边长为，则，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得：；
故答案为：．
连接，如图，

四边形为菱形，
为的平分线，
点始终为平分线上的点，
根据“垂线段最短”得：当时，为最小．
在中，，，，
，，
平分，
，
当时，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
当点在边上时，设菱形的边长为，则，，然后在中得，进而得，据此解出即可；
连接，根据菱形的性质得，为的平分线，再根据“垂线段最短”得当时，为最小，然后在中，由，可求出的值．
此题主要考查了图形的翻折变换，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，含角的直角三角形的性质，理解垂线段最短是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：，，，
，
，
，． 

解析：本题考查了解一元二次方程的方法公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
 

16.【答案】解：原式

． 

解析：根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

17.【答案】         

解析：解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即，
正方形中的度数为，即，
正五边形中的度数为，即，
正六边形中的度数为，即，

正边形中的度数为，即，
当时，即，
解得，
故答案为：，，，，；
由得，正边形中，
当时，即，
解得不是整数，
所以不存在一个正边形，使其中的．
根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可；
根据中的计算方法得出，代入计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，；
四边形如图所示，． 

解析：利用等腰三角形性质得到点在直线上，然后利用腰长为确定点位置；
根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，
，
，
，
．
，，，
，
． 

解析：连接，交于点，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由勾股定理得，则，得，可求的长，由面积关系可求解．
本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】    

解析：解：由图可知，七年级管理的花圃中，评分组的个数为，
故可补画条形统计图如下：

由图可知，八年级班级管理的花圃中，评分组的占比为，
故C部分所占的圆心角为．
故答案为：；
由题意可知，组得分的平均数为：，
故方差为；
由题意可知，八年级个花圃得分情况为：组个，
若将个数据按从小到大排列，其中中位数为第、两个分数的平均数，即组中和两个分数的平均数，
所以八年级个花圃得分的中位数为．
故答案为：；；
抽查的七年级管理的花圃得分在分以上的有个，抽查的八年级管理的花圃得分在分以上的有个，
所以可估计七、八年级各个花圃中“五星花圃”的数量为：个．
根据条形统计图和扇形统计图分析计算即可；
根据给定的数据先计算组得分的平均值，再利用方差计算公式计算即可；
根据扇形统计图分别计算评分为、、、四组花圃个数，确定按从小到大排列后第、两个数据的值，再根据中位数的求法计算即可；
先分别计算抽查的七、八年级管理的花圃得分在分以上数量，再根据抽查的得分在分以上的花圃数量与抽查总数的比值估算七、八年级个花圃中“五星花圃”的数量．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、方差、中位数的知识以及利用样本所占百分比估计总体的数量的知识，解题关键是熟练掌握相关概念及计算方法．
 

21.【答案】 

解析：解：根据题意得：


件，
若每件售价为元，则日销量是件．
故答案为：；
设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每件售价应定为元．
利用日销售量每件售价降低的钱数，即可求出结论；
设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】   

解析：解：三块矩形区域的面积相等，
矩形面积是矩形面积的倍，
又是公共边，
，
的长度为米，
，，
，
．
故答案为：，；
列方程为：，
解得，，
当，，舍去，
当，，，
，；
由，可列方程：，
，
，
方程无实数根，
故矩形的面积不可能等于．
根据区域的面积等于区域和的面积之和，得到矩形面积等于矩形面积，可得出，根据围网的总长为即可求出的长；
根据矩形区域的面积建立方程，解方程即可求解；
根据矩形区域的面积建立方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，涉及到矩形的周长与面积公式，得出，进而用含的代数式正确表示出是解题的关键．
 

23.【答案】 

解析：解：在中，，
故答案为：；
证明：如图，作交于点，

在菱形中，，，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，过点作，且，连接，，

，
，
，
又，，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，其值为的长．
过点作交的延长线于，于，
在正方形中，，
，
，
，，
，
在正方形中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故DE的最小值为．
由三角形三边关系可得出答案；
作交于点，证明≌，由全等三角形的性质可得出；
过点作，且，连接，，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则，当点，点，点三点共线时，有最小值，其值为的长．过点作交的延长线于，于，证明四边形是矩形，由矩形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．