江苏省苏州中学校2023—2024学年九年级（少预班）上学期10月阶段性测试数学试卷（月考）

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苏州中学少预班第一学期10月阶段性测试（ 数学 ）卷答案
一､单项选择题：（每题4分，共48分）
1．关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程的根的情况是（    ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】先将代入中求出，则一元二次方程化为，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：把代入，
，解得，
∴一元二次方程化为，
，
∴一元二次方程没有实数解．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，
∴＝，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝40°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∴∠BCD＝140°，
故选：C．
3．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（    ）
A． B． C． D．
答案：A
4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）

A．9.6 B．4 C．5 D．10
解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝5，
∴AE＝，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即：，
∴，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
5．如图，在中，∠C=90°，，BC=14，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（    ）

A．6 【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在中，，AC=8，CD=6，
则BD=BC-CD=14-6=8，，
点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，

故选：B．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为，点到圆心的距离OP=d，则有：①点在圆外?d>r；②点在圆上?d=r；③点在圆内?d 6．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．




解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．
故选：C．

7．若方程的根可视为函数与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C

8．对于给定实数，记是，，三个数中最小的，则在，，，……，，中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
答案：A

9．函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
  A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
答案：B







10．如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【解析】解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．
最后一题可以不用动笔，前半部分知道是二次函数，后半部分知道增长的速度越来越慢，就可以锁定D




二、多选题：（每题5分，共20分）
x
…

0
1
2
3
4
…

…
4

0
1
4
9
…
11．是的二次函数，其对应值如下表：
下列叙述正确的是（    ）
A．该二次函数的图象的对称轴是直线
B．
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴有两个公共点
【答案】ABC
12．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论中正确的结论是：
A．方程总有两个不等的实数根
B．若两个根为，，且＞，则＞3，＜3
C．若两个根为，，则
D．若x＝（p为常数），则代数式的值为一个完全平方数
【答案】AC
【解析】
【分析】
由Δ＝1+4p2＞0，可判定A正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断B不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定C正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定D不正确．
【详解】
解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
AΔ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故A正确；
B设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故B不正确；
C若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故C正确；
D∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝＝＝＝，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故D不正确；
故答案为：AC．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．
13．如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为，3．与轴负半轴交于点，在下面结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．若，且，则
D．使为等腰三角形的值可以有三个

【答案】BC
【解析】解：图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，
，
对称轴，
即．
故A错误；
由，顶点是函数的最小值，时，得
，两边都减，得
，
故B正确；
，得
，
且，则，故C正确；
要使为等腰三角形，则必须保证或或，
当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，解得；
同理当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，解得；
同理当时
在中，，
在中，
，
，此方程无解．
经解方程组可知只有两个值满足条件，故D错误，
故正确的是BC．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏．
14．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论中正确的是（ ）
A．函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
B．函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
C．0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
D．2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
【答案】AC
【分析】根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，逐项进行求解判断即可．
【解析】解：设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1图像上的点，
则，
∵，
∴的值随着x的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，
∴当时，，
∴函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”，故A正确；
设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x图像上的点，
则

，
∵，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，的值随着x的增大而减小，
又∵3≤x≤5，
∴当时，取得最大值为1；当时，取得最小值为，
∴当3≤x≤5时，，
∴函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上不是“逼近函数”，故B错误；
设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x图像上的点，
则

，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，满足，
∴是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”，故C正确；
设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x图像上的点，
则

，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，不满足，
∴不是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”，故D错误，
正确的是AC
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．




三、填空题
15．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等的实数根，则a2+b+ab的值为　1　．
解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，由根与系数的关系可得：a+b＝1，ab＝﹣3，
∴a2﹣a＝3， 故a2+b+ab＝a+b+3+ab＝1
故答案为：1．
16．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解是 ．
答案：






17．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ．

【答案】
【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可解决问题．
【详解】解：连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．


18．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，

联立方程，
当∆时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．



19．如图，一入口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧，已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB＝200cm，AC＝BD＝40cm，则弧AB所在的圆的半径为　134cm　．

解：如图，设圆心为O，作OH⊥AB于H，连接OA，OC，设OA＝x，OH＝y．

∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝100cm，
则有，
解得x＝134．
故答案为134．
20．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点为平面内一动点，以AC为直径作，若过点且平行于x轴的直线被所截的弦GH长为．则y与x之间的函数关系式是______；经过点A的直线与点C运动形成的图像交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图像的最高点，若的面积是面积的3倍，则k＝______．

【答案】          -2
【分析】①先由中点坐标公式求出点E的坐标，设点E到G点的距离为d，求出d，过点E作，利用垂径定理求出GD，再利用股定理求解；
②利用抛物线解析式求出顶点F的坐标，过BD作FA的垂线，垂足为M、N，
设B、C的横坐标分别为x1，x2，根据三角形面积关系求出，联立直线与抛物线解析式组成方程组求出交点B，C横坐标，进行求出k的值．
【解析】解：①∵，，
∴．
设点E到G点的距离为d，
则．
过点E作，则．
  
在中，，GE为的半径，
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
②由①可知点C的运动轨迹的函数解析式为，
∴抛物线的顶点F的坐标为．
过BD作FA的垂线，垂足为M、N，设B、C的横坐标分别为x1，x2．
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
联立得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，理解勾股定理，中点坐标公式，垂径定理等相关知识，画出图形是解答关键．
四、解答题
21．已知方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0．
（1）k取何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）k取何值时，方程有两个不相等的实数根．
解：（1）∵方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有两个相等的实数根，
∴，
解得：k＝，
∴当k为时，方程有两个相等的实数根；
（2）∵方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜且k≠1，
∴当k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根．

22．已知函数．
（1）若的解集是，求实数的值；
（2）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值．
解：（1）首先，且，
（2）


23．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．

【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键．
24．要在半径为1，圆心角为60°的扇形AOB铁皮上截取一块尽可能大的正方形．小明设计如下两种截取方案．
方案1：如图①，点C在半径OA上，点D，E在半径OB上，点F在上；
方案2：如图②，点C在半径OA上，点D在半径OB上，点E，F在上．
请通过计算这两种方案中正方形铁皮的面积，帮小明选择合理的方案．
图1
图2
(参考数据：，)




























25．（1）已知函数，当时，恒成立，求实数a的取值范围．
（2）已知函数，若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围．



26．我们不妨约定在二次函数中，若，则把该函数称之为“L函数”，根据该约定，完成下列各题．
(1)下列函数是“L函数”的是______；
①；②；③
(2)求证：“L函数”与直线总有两个不同的交点．
(3)已知“L函数”与直线相交于A、B两点，P是“L函数”上的一个动点，并在直线的下方，求面积的最大值．
【答案】(1)①，③
(2)见解析
(3)当时，的最大值为．

【分析】（1）分别计算和，比较即可得出结论；
（2）联立得，根据判别式，据此计算即可求解；
（3）由得，求得“L函数”与直线的交点坐标为，，设，，得到再利用二次函数的性质即可求解．
【解析】（1）解：对于二次函数，若，则把该函数称之为“L函数”，
①∵，
∴，
∴为“L函数”；
②∵，
∴，
∴，
∴为“L函数”；
③∵，
∴，
∴为“L函数”；
故答案为：①，③；
（2）证明：∵是“L函数”，
∴，
即，
由得，
整理得，
∴，
∴方程组有两个不相等的实数根，
∴“L函数”与直线总有两个不同的交点；
（3）解：∵是“L函数”，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴，
∴“L函数”与直线的交点坐标为，，
如图，作轴于点C，交直线于点Q，

设，，
∴，
∴，
∴当时，
的最大值为，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，新定义问题的求解等知识点与方法，本题综合性强，难度大．