陕西省安康中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份陕西省安康中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安康中学高2022级高二第一学期第一次月考试题数  学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合的一项）1.设x，，向量，，，且，，则（        ）A．     B．     C．     D．2.已知：和：，若，则与之间的距离为（        ）A．     B．    C．    D．3.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（        ）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间4.已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数（        ）A．1     B．2     C．3     D．45.已知直线l经过，且是l的方向向量，则点到直线l的距离为（        ）A．     B．     C．     D．6.已知点，，若直线与线段AB有交点，则实数k的取值范围是（        ）A． B．    C． D．7.如图，在四面体O-ABC中，是的重心，G是上的一点，且，若，则为（        ）A．   B．   C．   D．8.如图，设动点P在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是（        ）A．    B．    C．    D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.关于空间向量，以下说法正确的是（        ）A．非零向量，，若，则B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线10.对于直线：，：.以下说法正确的有（        ）A．的充要条件是      B．当时，C．直线一定经过点      D．点到直线的距离的最大值为511.如图，一个结晶休的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（        ）A．     B．C．向量与的夹角60°     D．与所成角的余弦值为12.已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（        ）A．B．函数在上单调递减C．D．满足不等式的x的取值范围为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a，，且，则的最小值为              .14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则的面积为              .15.如图所示，已知正四面体A-BCD中，，，则直线DE和BF所成角的余弦值为              .16.在三锥A-BCD中，底面为直角三角形，且，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为              .四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）已知直线：，直线过点，              .在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题：（1）求的一般式方程；（2）若与在x轴上的截距相等，求a的值.18.（本小题12.0分）为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，安康市在经济快速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，无论是老城区，还是高新区，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如下图所示的频率分布直方图，其中.（1）求a，b的值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求被调查的市民的满意程度的平均数、众数；（3）若按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在的概率.19.（本小题12.0分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）求平面与平面ABCD夹角的余弦值.20.（本小题12.0分）如图，在三棱锥P-ABC中，，，O为AC的中点.（1）证明：平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.21.（本小题12.0分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.（1）求角C的大小；（2）若，点D为AB边的中点，，求的值.22.（本小题12.0分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，于点E，将沿DE折起到的位置，使，如图2.图1        图2（1）求证：平面BCDE；（2）求二面角E--C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．安康中学高二第一次月考数学答案和解析1.【答案】C解：向量，，，且，，∴，解得，∴，∴．故选C2.【答案】B解：∵，∴ ，∴，时，两直线重合，不符合题意，故舍去，所以．∴：，：，在上取一点，∴P到的距离．故选B．3.【答案】C解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为 万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．4.【答案】C解：因为三向量、、共面，设，其中m、，则解得．故选：C．5.【答案】B解：由题设，则，所以，则，故P到l的距离为.6.【答案】C解：根据题意，若直线l：与线段AB相交，则A、B在直线的异侧或在直线上，则有，即，解得或，即k的取值范围是．故选：C．7.【答案】D解：∵，∴，即，故，故选D.8.【答案】B解：由题设可知，以、、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则，，，，由，得，∴，，易知不可能是平角，∵为钝角等价于，则等价于，即，解得，∴的取值范围是．故选B.9.【答案】ABD解：对于A，非零向量，，若，则由垂直的性质得，故A正确；对于B，若对空间中任意一点O，有，∵，P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，由于，则不可以构成空间的一组基底，故C错误；对于D，若空间四个点P，A，B，C，，∵，则A，B，C三点共线，故D正确．故选ABD.10.【答案】BD解：当，时，解得或，当时，两直线为，，符合题意；当时，两直线为，，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，，所以，故B正确；直线：即直线，故直线过定点，故C错误；因为直线：过定点，当直线：与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选BD.11.【答案】AB解：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则，对于A，，而，所以A正确；对于B，，所以B正确；对于C，向量，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角是120°，向量与的夹角是120°，所以C不正确；又，则，，，所以，所以D不正确．故选：AB.12.【答案】ABD解：对于A：令，得，所以，选项A正确；对于B：令，得，所以，任取，，且，则，因为，所以，所以，所以在上单调递减，选项B正确；对于C：，选项C不正确；对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递减，所以解得：，所以原不等式的解集为，选项D正确；13.【答案】解：a，，且，可得：，则，当且仅当，即时取等号.的最小值为：.14.【答案】解：的内角A，B，C的对边分别a，b，c. ，利用正弦定理可得，由于，，所以，所以，则或由于，则：，①当时，，解得，所以.②当时，，解得（不合题意），舍去.故：.故答案为：.15.【答案】解：正四面体A-BCD中，设向量，，，则向量，，两两夹角为60°，设正四体的棱长等于1，则，∵中，，∴，同理由，可得，∴，同理可得，∵，∴，故直线DE和BF所成的角的余弦值为．故答案为．16.【答案】解：如图，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为2，则．设，则，又BD边上的高，∴当平面ABD时，棱锥A−BCD体积最大，此时．∴当时，V有最大值为．故答案为．17.（满分10分）【答案】解：（1）选择①．由题意可设直线的方程为，因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，所以直线的方程为，即．选择②．由题意可设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得.所以直线的方程为，即．（2）由（1）可知直线的方程为，令，可得，所以直线在x轴上的截距为，所以直线在x轴上的截距为．故直线过点，代入，得．18（.满分12分）【答案】解：（1）由频率分布直方图得：，得，又，解得，．（2）由题意，得到平均数为，众数为．（3）因为，两段频率比为，∴按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，分数在中抽取2人，记为，，分数在中抽取3人，记为，，，所以从这5人中随机抽取2人的所有情况为：，，，，，，，，，，共10种，其中至少有1人的分数在包含的基本事件有：，，，，，，，共7种，故至少有1人的分数在的概率．19.（满分12分）【答案】（Ⅰ）证明：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵面，面，∴平面（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，以AD、AB、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，∵平面，∴直线到平面的距离即为点B到平面的距离，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，∴，∴直线到平面的距离为；（Ⅲ）解：平面ABCD的一个法向量为，由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.设平面与平面ABCD夹角为，则，由图可知夹角为锐角，故平面与平面ABCD夹角的余弦值.20.（满分12分）【答案】解：（1）证明：连接BO，∵，O是AC的中点，∴，且，又，∴，，则，则，∵，平面ABC，平面ABC，∴平面ABC；（2）解：建立以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图：，，，，，，设，，则，则平面PAC的法向量，设平面MPA的法向量为，则，则，令，则，，即，∵二面角M-PA-C为30°，∴，即，解得或（舍），则平面MPA的法向量，，PC与平面PAM所成角的正弦值.21.（满分12分）【答案】解：（1）由题意得：，∴，∴.∵，∴，又，∴，∴，∴.（2）由，并且，，可得，∴，∴.∴，即.∴，得.22.（满分12分）【答案】（1）证明：∵，，∴，∵，，，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，DC，平面BCDE，∴平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，分别为x，y，z轴，建立坐标系，则，，，，，∴，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，∴，∴，∴钝二面角E--C的余弦值为；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面平面，设，则，，设平面的法向量，则，令，∴，∵平面平面，由第二问可得平面的一个法向量，由得，，∴，∵，∴在线段EB上不存在一点P，使平面平面.