陕西省安康中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

安康中学高2022级高二第一学期第一次月考试题

数  学

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合的一项）

1.设x，，向量，，，且，，则（        ）

A．     B．     C．     D．

2.已知：和：，若，则与之间的距离为（        ）

A．     B．    C．    D．

3.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（        ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

4.已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数（        ）

A．1     B．2     C．3     D．4

5.已知直线l经过，且是l的方向向量，则点到直线l的距离为（        ）

A．     B．     C．     D．

6.已知点，，若直线与线段AB有交点，则实数k的取值范围是（        ）

A． B．    C． D．

7.如图，在四面体O-ABC中，是的重心，G是上的一点，且，若，则为（        ）

A．   B．   C．   D．

8.如图，设动点P在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是（        ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.关于空间向量，以下说法正确的是（        ）

A．非零向量，，若，则

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线

10.对于直线：，：.以下说法正确的有（        ）

A．的充要条件是      B．当时，

C．直线一定经过点      D．点到直线的距离的最大值为5

11.如图，一个结晶休的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（        ）

A．     B．

C．向量与的夹角60°     D．与所成角的余弦值为

12.已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（        ）

A．

B．函数在上单调递减

C．

D．满足不等式的x的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知a，，且，则的最小值为              .

14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则的面积为              .

15.如图所示，已知正四面体A-BCD中，，，则直线DE和BF所成角的余弦值为              .

16.在三锥A-BCD中，底面为直角三角形，且，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为              .

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知直线：，直线过点，              .在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题：

（1）求的一般式方程；

（2）若与在x轴上的截距相等，求a的值.

18.（本小题12.0分）

为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，安康市在经济快速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，无论是老城区，还是高新区，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如下图所示的频率分布直方图，其中.

（1）求a，b的值；

（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求被调查的市民的满意程度的平均数、众数；

（3）若按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在的概率.

19.（本小题12.0分）

如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求平面与平面ABCD夹角的余弦值.

20.（本小题12.0分）

如图，在三棱锥P-ABC中，，，O为AC的中点.

（1）证明：平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

21.（本小题12.0分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.

（1）求角C的大小；

（2）若，点D为AB边的中点，，求的值.

22.（本小题12.0分）

如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，于点E，将沿DE折起到的位置，使，如图2.

图1        图2

（1）求证：平面BCDE；

（2）求二面角E--C的余弦值；

（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

安康中学高二第一次月考数学答案和解析

1.【答案】C

解：向量，，，且，，

∴，解得，

∴，

∴．故选C

2.【答案】B

解：∵，∴ ，∴，

时，两直线重合，不符合题意，故舍去，

所以．

∴：，：，

在上取一点，

∴P到的距离．故选B．

3.【答案】C

解：

对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项A正确；

对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项B正确；

对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为 万元，故选项C错误；

对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．

故选：C．

4.【答案】C

解：因为三向量、、共面，设，其中m、，

则

解得．故选：C．

5.【答案】B

解：由题设，则，

所以，则，故P到l的距离为.

6.【答案】C

解：根据题意，若直线l：与线段AB相交，

则A、B在直线的异侧或在直线上，

则有，即，

解得或，即k的取值范围是．故选：C．

7.【答案】D

解：∵，

∴

，

即，故，故选D.

8.【答案】B

解：由题设可知，以、、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则，，，，

由，得，

∴，

，

易知不可能是平角，

∵为钝角等价于，

则等价于，即，

解得，

∴的取值范围是．故选B.

9.【答案】ABD

解：对于A，非零向量，，若，则由垂直的性质得，故A正确；

对于B，若对空间中任意一点O，有，

∵，P，A，B，C四点共面，故B正确；

对于C，由于，则不可以构成空间的一组基底，故C错误；

对于D，若空间四个点P，A，B，C，，

∵，则A，B，C三点共线，故D正确．故选ABD.

10.【答案】BD

解：当，时，解得或，

当时，两直线为，，符合题意；

当时，两直线为，，符合题意，故A错误；

当时，两直线为，，，

所以，故B正确；

直线：即直线，故直线过定点，故C错误；

因为直线：过定点，

当直线：与点和的连线垂直时，

到直线的距离最大，最大值为，故D正确，

故选BD.

11.【答案】AB

解：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，

则，

对于A，，

而，所以A正确；

对于B，，所以B正确；

对于C，向量，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角是120°，向量与的夹角是120°，所以C不正确；

又，则，，

，所以，所以D不正确．故选：AB.

12.【答案】ABD

解：对于A：令，得，所以，选项A正确；

对于B：令，得，所以，

任取，，且，则，

因为，所以，所以，所以在上单调递减，选项B正确；

对于C：

，选项C不正确；

对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递减，

所以解得：，所以原不等式的解集为，选项D正确；

13.【答案】

解：a，，且，可得：，

则，

当且仅当，即时取等号.的最小值为：.

14.【答案】

解：的内角A，B，C的对边分别a，b，c. ，

利用正弦定理可得，

由于，，所以，

所以，则或

由于，则：，

①当时，，解得，所以.

②当时，，解得（不合题意），舍去.

故：.故答案为：.

15.【答案】

解：正四面体A-BCD中，设向量，，，则向量，，两两夹角为60°，

设正四体的棱长等于1，则，

∵中，，

∴，

同理由，可得，

∴，

同理可得，

∵，

∴，

故直线DE和BF所成的角的余弦值为．故答案为．

16.【答案】

解：如图，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为2，则．

设，则，

又BD边上的高，

∴当平面ABD时，棱锥A−BCD体积最大，

此时．

∴当时，V有最大值为．故答案为．

17.（满分10分）

【答案】解：

（1）选择①．

由题意可设直线的方程为，

因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，

所以直线的方程为，即．

选择②．

由题意可设直线的方程为，

因为直线过点，所以，解得.

所以直线的方程为，即．

（2）由（1）可知直线的方程为，令，可得，

所以直线在x轴上的截距为，所以直线在x轴上的截距为．

故直线过点，代入，得．

18（.满分12分）

【答案】解：

（1）由频率分布直方图得：，得，又，解得，．

（2）由题意，得到平均数为，众数为．

（3）因为，两段频率比为，

∴按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，

分数在中抽取2人，记为，，分数在中抽取3人，记为，，，

所以从这5人中随机抽取2人的所有情况为：，，，，，，，，，，共10种，

其中至少有1人的分数在包含的基本事件有：，，，，，，，共7种，

故至少有1人的分数在的概率．

19.（满分12分）

【答案】

（Ⅰ）证明：∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵面，面，

∴平面

（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，以AD、AB、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则，，，，，

∵平面，

∴直线到平面的距离即为点B到平面的距离，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

∴，

∴直线到平面的距离为；

（Ⅲ）解：平面ABCD的一个法向量为，

由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.

设平面与平面ABCD夹角为，

则，

由图可知夹角为锐角，故平面与平面ABCD夹角的余弦值.

20.（满分12分）

【答案】解：

（1）证明：连接BO，

∵，O是AC的中点，

∴，且，

又，

∴，，则，则，

∵，平面ABC，平面ABC，

∴平面ABC；

（2）解：建立以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图：

，，，，

，，

设，，

则，

则平面PAC的法向量，

设平面MPA的法向量为，则，

则，

令，则，，即，

∵二面角M-PA-C为30°，

∴，即，解得或（舍），

则平面MPA的法向量，，

PC与平面PAM所成角的正弦值.

21.（满分12分）

【答案】解：

（1）由题意得：，

∴，

∴.

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴.

（2）由，并且，，

可得，

∴，

∴.

∴，即.

∴，得.

22.（满分12分）

【答案】

（1）证明：∵，，∴，

∵，，，平面，∴平面，

又∵平面，∴，

∵，，DC，平面BCDE，

∴平面BCDE；

（2）解：由题意，以EB，ED，分别为x，y，z轴，建立坐标系，则，

，，，，

∴，，

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，

令，∴，∴，

∴钝二面角E--C的余弦值为；

（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面平面，

设，则，，

设平面的法向量，则，

令，

∴，

∵平面平面，

由第二问可得平面的一个法向量，

由得，，

∴，

∵，

∴在线段EB上不存在一点P，使平面平面.