陕西省安康市高新中学2023-2024学年高三下学期3月月考文科数学试题

这是一份陕西省安康市高新中学2023-2024学年高三下学期3月月考文科数学试题，共16页。试卷主要包含了各项均为正数的数列，满足，，则等内容，欢迎下载使用。

本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知命题，使得斜率存在的两直线与垂直，若命题p是真命题，则实数m的值为（ ）
A.-1 B.1 C.0 D.0或-1
4.已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.各项均为正数的数列，满足，，则（ ）
A. B. C. D.4
7.已知关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω，在区域Ω内随机取一点，则满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，且，则（ ）
A. B. C. D.
9.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A. B.1 C. D.3
10.已知函数的图象关于直线对称，且对任意实数x，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.为奇函数 B.2为函数的一个周期
C.在上单调递增 D.函数有5个零点
11.已知椭圆的左､右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于A，B两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在中，，，则________.
14.已知双曲线的左､右焦点分别为，，渐近线方程为，P为双曲线C上一点，且满足，则________.
15.如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为________.
16.如图为某三棱锥的三视图，其正视图的面积为，则该三棱锥外接球表面积的最小值为________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）某中学为研究学生使用数学错题本的时长对数学成绩的影响，从高二年级学生中随机抽取了50人，统计了他们每周使用数学错题本的平均时长（单位：分钟）和数学成绩优秀的人数（单位：人），得到如下统计表：
（1）试估算该中学高二年级学生每周使用数学错题本平均时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若从统计表中每周使用数学错题本的平均时长在的学生中随机抽取2人，求这2人中最多有1人数学成绩优秀的概率.
18.（12分）已知数列的前n项和为，满足（且），.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设数列满足，证明：.
19.（12分）如图，在多面体ABCDE中，A，B，E，D四点共面，，，，，，F为BC的中点.
（1）求证：平面ADF平面BCE；
（2）求点E到平面ABC的距离.
20.（12分）过点的直线l与抛物线交于点M，N，且当直线l恰好过抛物线C的焦点F时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点Q在线段MN上（异于端点），且，求点Q的轨迹方程.
21.（12分）已知函数.
（1）当时，求f（x）的极值点个数；
（2）若，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C及直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于不同的A，B两点，A，B在O点同侧，且，求m的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求f（x）的最小值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
2024届高三2月大联考（全国乙卷）
文科数学·全解全析及评分标准阅卷
注意事项：
1.阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准.
2请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案､评分细则､答题角度后，再开始改卷.
3请老师认真批阅，不可出现漏改､错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以返回上一题重评.
4成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评.
5.解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明､证明过程或演算步骤，合理即可给分.
6.解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明､证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤应给分，因第（1）问中结果算错，使后面最终结果出错（过程列式正确），不宜重复扣分.
7.阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师（或考试负责人），由其统一在技术QQ群里反馈问题并协助解决.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 【解析】.故选D.
2.D 【解析】由题意，知集合，所以.故选D.
3.A 【解析】由题意，得，解得或.又两直线的斜率存在，所以.故选A.
4.C 【解析】根据题中的函数图象，知，排除；对于有两个零点，至多有两个极值点，不符合题意，排除A.故选C.
5.B 【解析】因为，所以只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.故选B.
6.A 【解析】由，得，
将以上个式子相加，得.
又.故选A.
7.C 【解析】由，作出平面区域，如图中矩形，其中满足的区域如图
中阴影部分，其中，所以所求概率.故选C.
8.B 【解析】由，得，化简，得.
又，所以.又，所以，
所以.故选.
9.C 【解析】设，则.
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形.
在四边形中，过点作于点，则，所以，
所以，解得.在平面中，过点作于点，易知为正四棱台的高，则，所以.故选C.
10.C 【解析】由的图象关于直线对称，得的图象关于直线对称，所以为偶函数，故错误；
又，所以，所以，所以4为函数的一个周期，故B错误；
当时，，作出的简图，知C正确；
令，则，如图，作出的图象，函数与的图象有11个交点，所以有11个零点，故D错误.故选C.
11.A 【解析】由题意，设，则.
又在椭圆上，，则，
.
又，则.又，
.故选A.
12.D 【解析】由，得，构造函数，则.令，得.由，知，所以在上单调递减，所以.又，所以，所以.故选D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 【解析】由题意，得，则，所以，所以.故填2.
14.4 【解析】由题意，知双曲线的半焦距，解得.
因为为双曲线上一点，所以.又，所以.故填4.
15. 【解析】连接，在中，，则，所以.因为，所以，所以，
所以，所以.
（求时，也可以这样解，过点作于点，则，所以）
设该圆的半径为，则，所以该圆的面积为.
故填.
16. 【解析】还原三棱锥如图1，由三视图，得平面.
三棱锥的外接球可以转化为三棱柱的外接球，如图2.
设，底面外接圆的半径为，三棱锥的外接球半径为，
由题意，得，
当且仅当，即时取等号，所以该三棱锥外接球的表面积，所以该三棱锥外接球表面积的最小值为.故填.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
【解析】（1）由统计表，得.
设该样本中50人每周使用数学错题本平均时长的平均数为，
则，
所以估算该中学高二年级学生每周使用数学错题本平均时长的平均数为44.4.
（2）每周使用数学错题本的平均时长在的学生有6人，其中数学成绩优秀的有4人，分别记为，其余2人分别记为
则从这6人中随机抽取2人的不同方法有，，共15种，
其中这2人中最多有1人数学成绩优秀的有，共9种，
所以抽取的这2人中最多有1人数学成绩优秀的概率.
18.（12分）
【解析】（1），
，
.
又，
数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1），知，则，
，
.
，
.
说明：
1.第（1）问，另解：，
.
，当时，，
数列的通项公式为，
当时，，当时也满足上式，
.又，
数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
19.（12分）
【解析】（1）平面平面.
为的中点，.
又平面平面平面.
又平面平面平面.
（2）平面平面.
如图，连接，
则在四边形中，，解得.
在平面内，过点作于点，则平面，
线段的长即为点到平面的距离.
在四边形中，易知与互补，
由余弦定理，得，
，
解得.
又为的中点，，
点到平面的距离为.
20.（12分）
【解析】由题意，设.
（1）易知抛物线的焦点为，
当直线过抛物线的焦点时，直线的方程为，
联立，消去并整理，得，
则.由根与系数的关系，得，
所以
整理，得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由直线与抛物线交于两点，得直线的斜率存在，且不为零，
设直线的方程为，
联立，消去并整理，得，
由，解得或.由根与系数的关系，得.
由，得.
又点在线段上，所以，即，
所以，即，解得，
所以，所以，其中.（10分）
又，所以，
所以，即，
所以点的轨迹方程为.
说明：
1.第（1）问，另解：设，易知抛物线的焦点为.
当直线过抛物线的焦点时，直线的方程为，
所以，所以.
又，所以，
所以，即.
又，所以，
所以，整理，得，解得，
所以抛物线的方程为.
21.（12分）
【解析】（1）当时，，求导，得，
令，则.
①当时，，则.
②当时，，则，也即在上单调递增，
且，
由零点存在定理，得在上必有唯一零点，
当时，单调递减，当时，单调递增，
在处取得极小值，无极大值，的极值点个数为1.
（2）即，
令，则在上单调递增，，
，
只需正数对任意恒成立，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
.
综上，的取值范围为.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为.
，
曲线的极坐标方程为.
直线的直角坐标方程为直线的极坐标方程为.
（2）设，联立曲线与直线的极坐标方程，
得，
在点同侧，.
，
，
，满足.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）由题意，得
作出的图象（如图），由图可知，当时，取得最小值，
且.
（2）记，
要使恒成立，只需当函数的图象过点或时，为临界情况（如图）.
由，得，
由，得，
所以，所以实数的取值范围为.每周使用数学错题本的平均时长
人数
6
14
21
3
数学成绩优秀的人数
1
6
15
4
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
A
C
B
A
C
B
C
C
A
D