2021-2022学年陕西省安康中学高新分校高二上学期第一次月考数学试题（B）（解析版）

2021-2022学年陕西省安康中学高新分校高二上学期第一次月考数学试题（B）

一、单选题

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（    ）

A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}

【答案】C

【分析】根据集合并集概念求解.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．过点和点的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接根据斜率公式计算可得；

【详解】解：过点和点的斜率

故选：A

【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题.

3．点到直线的距离是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】点到直线的距离是

故选A

4．已知函数为奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】B

【分析】由奇函数的性质有，结合的函数解析式即可求值.

【详解】由题设知：.

故选：B

5．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（   　 ）

A．（1）（3）（4） B．（2）（4）（3） C．（1）（3）（2） D．（2）（4）（1）

【答案】C

【分析】根据几何体的直观图得到三视图.

【详解】解：由于几何体被切去一个角，

所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；

关键放置的位置得到C；

故选：C.

【点睛】本题考查了几何体的三视图；属于基础题.

6．要得到函数的函像，只要把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【分析】将变形为，结合左加右减原则即可得出结果.

【详解】，

所以只要把函数的图像向左平移个单位即可得到；

故选：C

7．两条平行线与间的距离为（    ）

A．3 B． C． D．1

【答案】B

【分析】利用距离公式可求两平行线之间的距离.

【详解】的方程可化为，

故之间的距离为 ，

故选：B.

【点睛】本题考查两条平行线之间的距离的计算，注意将两条平行线方程中的系数和的系数化成对应相等的形式，本题为基础题.

8．已知圆心为，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由中点坐标公式得出一条直径两个端点的坐标，从而得出半径后可得圆方程．

【详解】由于一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，设两端点的坐标为

所以，解得，

所以点和是圆的一条直径的两个端点，

因此圆的半径为，

圆方程为．

故选：B．

9．若方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】方程配方后，左边为平方和，由右边大于0可得．

【详解】方程配方得，方程表示圆，

则，解得或，

故选：D．

10．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由，可知为奇函数，图象关于原点对称，排除，；令，可知，可知图象与轴只有一个交点，据此分析可得答案.

【详解】解：由，可知为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B；

令，可知，可知图象与轴只有一个交点，排除D，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析选项中函数图象的异同，利用排除法分析.属于中档题.

11．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】B

【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．

【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，

圆心到直线的距离为，

圆的半径为1，

故切线长的最小值为，

故选：B．

【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．

12．设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】由已知可得在上恒成立，即，再通过讨论m的范围求出，由此可得m的范围.

【详解】若对于任意的，恒成立,

即可知：在上恒成立,

令，对称轴为.

当时，恒成立，

当时，有开口向下且在上单调递减，

在上，得，

故有.

当时，有开口向上且在上单调递增

在上，

∴   

综上，实数的取值范围为，

故选：A.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

二、填空题

13．已知向量，，则向量与的夹角为__________．

【答案】

【分析】利用向量夹角的公式，代入计算，即得解

【详解】由题意，，，，

所以，又

所以向量与的夹角为．

故答案为：

14．已知的三个顶点坐标为，，，则BC边上的中线AE所在直线的一般方程为______．

【答案】

【分析】利用中点坐标公式得到，从而得到BC边上的中线AE所在直线的方程，化为一般式即可.

【详解】BC的中点坐标为，即，

故BC边上的中线AE所在直线的方程为，化为一般方程为.

故答案为：

15．已知直线：mx－y＋2m－1＝0过定点P，若点P在直线：Ax＋By＋2＝0上，且A＞0，B＞0，则的最小值为______．

【答案】4

【分析】由直线方程求得定点坐标，代入直线方程得，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】直线方程整理为，由得，定点为，

在直线上，则，即，

又，

，当且仅当且即时等号成立．

故答案为：4.

16．若定义在上的奇函数在上是严格增函数，且，则使得成立的的取值范围是_________.

【答案】

【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出和的解集，再分别讨论当和时的解集即可求出结果.

【详解】解：因为为奇函数，且有，则在上是也严格递增，且，所以的解集为：；的解集为：，则当时，的解为，当时，的解为

故成立的的取值范围是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：类似求或求的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出或的解，再结合的范围进行求解.

三、解答题

17．求出满足下列条件的直线方程．

(1)经过点且与直线x＋3y－4＝0平行；

(2)经过点且在两条坐标轴上的截距相等．

【答案】(1)；

(2)或．

【分析】（1）由平行设直线方程为，代入已知点坐标求得参数值得结论；

（2）按直线是否过原点分类讨论，不过原点时设方程为，代入点的坐标求解．

【详解】（1）设直线方程为，

因为直线过点，所以，，

所以直线方程为；

（2）当直线过原点时，斜率为，方程为，即，

当直线不过原点时，设方程为，则，，

直线方程为，

综上直线方程为或．

18．已知直线l：x+3y﹣2＝0．

（1）求与l垂直，且过点（1，1）直线方程；

（2）求圆心为（4，1），且与直线l相切的圆的方程．

【答案】(1) 3x﹣y﹣2＝0；(2) （x﹣4）2+（y﹣1）2．

【分析】（1）根据两直线垂直的性质，设出所求直线的方程，将点坐标代入，由此求得所求直线方程.

（2）利用圆心到直线的距离求得圆的半径，由此求得圆的方程.

【详解】（1）根据题意，设要求直线的方程为3x﹣y﹣m＝0，

又由要求直线经过点（1，1），则有3﹣1﹣m＝0，解可得m＝2；

即要求直线的方程为3x﹣y﹣2＝0；

（2）根据题意，设要求圆的半径为r，

若直线l与圆相切，则有r＝d，

则要求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2．

【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.

19．某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数（的值精确到0.01）；

（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.

你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；

从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在的概率.

【答案】（1）；（2）按照进行名额分配，理由见解析；.

【分析】（1）利用频率分布直方图能求出的值；

（2）每周阅读时间为，的学生中抽取2名，每周阅读时间为，的学生中抽取4名．每周阅读时间为，与每周阅读时间为，是差异明显的两层，采用分层抽样的方法抽取样本，按照进行名额分配；设从分组区间，抽到的学生为，两人，从分组区间，抽到学生为，，，四人，从这6人中抽出2人，利用列举法能求出至多有一人每周读书时间在，的概率．

【详解】（1），

中位数，，

由，

解得．

（2） 每周阅读时间为，的学生中抽取2名，每周阅读时间为，的学生中抽取4名．

理由：每周阅读时间为，与每周阅读时间为，是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本，

两者频率分别为0.1，0.2，按照进行名额分配．

设从分组区间，抽到的学生为，两人，从分组区间，抽到学生为，，，四人，从这6人中抽出2人的所有可能结果有15个，分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，，

设“至多有一人每周读书时间在，”为事件，则中有9个基本元素，

至多有一人每周读书时间在，的概率为（）．

【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求中位数，考查分层抽样和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；

（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．

【答案】（1）,；（2）．

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，

解得，，

∴.

（2），

∴数列的前项和为

.

21．的内角的对边分别为，已知

（1）求C；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由正弦定理将化为，化简后可求出角，

（2）由余弦定理可求出，从而可求出的面积

【详解】解（1）由正弦定理得：

即

（2）由余弦定理得

得即

22．已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线上

（1）求圆C的方程；

（2）设点Q(-1，)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出的垂直平分线和直线的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；

（2）求出点，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；

【详解】（1）依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点．

的中点为，直线的斜率为1，

的垂直平分线的方程为，即．

由，得，即圆心．

半径．

故所求圆的标准方程为．

（2）点在圆上，

或(舍去)，，

，直线的方程为：，

点到直线的距离为4，

的面积．

【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B，其圆心必在线段的中垂线上.