浙江省绍兴市诸暨市滨江初级中学2023-2024学年九年级上学期段考数学试卷（9月份）

2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市滨江初级中学九年级（上）段考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列函数中，是的二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知点到圆心的距离为，若点在圆内，则的半径可能为(    )

A.  B.  C.  D.

3.把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，是半圆的直径，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.设二次函数是常数，，已知，则该函数图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

6.如图，为圆的一弦，且点在上．若，，的弦心距为，则的长度为何？(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，内接于，直径，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为(    )
；；；为任意实数

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9.如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.A、是以半径为的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段，为邻边作菱形，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.二次函数的图象的开口方向为______ ，顶点坐标为______ ．

12.已知，是函数图象上的点，则______填“”，“”或“”．

13.如图，抛物线分别交坐标轴于，，则的解是______ ．

14.已知点和在二次函数的图象上．将这个二次函数图象向上平移______单位长度后，得到的函数图象与轴只有一个公共点．

15.如图，点，，在上，，，，则的半径为______．

16.如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知抛物线．
如果经过点，请写出这个抛物线的解析式．
如果顶点在轴上时，求的值．

18.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点，点，对应点分别是，．
请在图中画出；
点所经过的路径长为______．

19.本小题分
如图，是的直径，弦于点，连接，．
求证：；
若，，求扇形阴影部分的面积．

20.本小题分

如图，在锐角三角形中，，以为直径作，分别交，于点，．
求证：．
若，，求线段的长用含的代数式表示．

21.本小题分
某商场要经营一种新上市的文具，进价为元件，试营业阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
请直接写出每天销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式不必写出的取值范围；
商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于元，且每天的销售量不得少于件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？

22.本小题分
已知二次函数．
当，时，
求该函数图象的顶点坐标；
当时，求的取值范围；
当时，的最大值为；当时，的最大值为，求二次函数的表达式．

23.本小题分
已知：的两条弦，相交于点，且．
如图，连接求证：．
如图，若，点为弧上一点，，交于点，连接、．
求的度数用含的代数式表示．
若，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：中当，时．是的一次函数，则不符合题意；
是一次函数，则不符合题意；
是一次函数，则不符合题意；
符合二次函数定义，它是二次函数，则符合题意；
故选：．
形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：点在圆内，且点到圆心的距离为，
的半径大于，
故选：．
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内．

3.【答案】 

【解析】解：把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到：，即：，
由题意可知：，
，
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则得到平移后的解析式，即可得到，解得：．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

4.【答案】 

【解析】解：是半圆的直径，
，
，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理得到，则利用互余得到的度数，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

5.【答案】 

【解析】解：，
，异号，
即时，或时，，
故选：．
根据得出，异号，然后判断即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握．

6.【答案】 

【解析】【分析】
根据垂径定理可以得到的长，根据题意可知，然后根据勾股定理可以求得的长．
本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出的长．
【解答】
解：作于点，如图所示，

由题意可知：，，，
，
，
，
，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
故AC的长度为，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，含度的直角三角形的性质，根据圆周角定理求出是解决问题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴，
、同号，而，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，
因此正确；
由于抛物线过点点，
，
又对称轴为，即，
，
，
即，
而，
，
因此正确；
由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为，由对称性可知，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，
因此正确；
由二次函数的最小值可知，
当时，，
当时，，
，
即，
因此不正确；
综上所述，正确的结论有，共个，
故选：．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大小值，对称性进行判断即可．
本题考查二次函数图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最值与系数、、的关系是正确判断的前提．

9.【答案】 

【解析】解：设的面积为，
由题意得：，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
当为时，的面积最小，且最小值为．
故选：．
由题意得：，，根据三角形面积公式可得的面积与的关系式，由图得：，代入可得结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．

10.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
如图，，

为的中点，
，
顶点恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
在中，根据勾股定理，得
；
如图，

同理可得，，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
在中，根据勾股定理，得
．
综上所述：该菱形的边长为或．
故选：．
分两种情况画图，根据勾股定理即可得的长．
本题考查了正多边形和圆、菱形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．

11.【答案】向上   

【解析】解：
，
，开口向上，顶点坐标为．
故答案为：向上，．
通过配方法求顶点坐标，当时，开口向上，由此解答即可．
此题考查了利用配方法求顶点坐标、对称轴，还考查了二次函数图象的作法，解题时还要注意数形结合思想的应用．

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为轴，
，
，
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．

13.【答案】 

【解析】解：由函数图象知，的解是：，
故答案为：．
的解即为函数图象轴下方的部分，观察函数图象即可求解．
本题考查二次函数图象和性质，涉及到图象法解不等式的解集，正确理解不等式的意义是本题解答的关键．

14.【答案】 

【解析】解：和关于对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线顶点坐标为，
将抛物线向上平移个单位后抛物线顶点坐标为，此时抛物线与轴只有一个交点，
故答案为：．
由和可得抛物线对称轴，从而求出抛物线解析式，将抛物线解析式配方可得顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的对称性，掌握二次函数图象平移的规律．

15.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，连接．

，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作交的延长线于点连接证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

是半圆的三等分点，
，
，
是等边三角形，
作的外接圆，连接，，．
，
，
，
，
，
，
，
点在上，运动轨迹是，
过点作于．
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图，连接，证明点在上，运动轨迹是，过点作于求出，，可得结论．
本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．

17.【答案】解：把点代入得：，
解得：，
所以，
即这个抛物线的解析式是；

抛物线的顶点在轴上，
，
解得：． 

【解析】把点代入得出，求出即可；
根据函数的顶点在轴上得出顶点的横坐标是得出，再求出即可．
本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，就是所求作的三角形；

点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点所经过的路径长为
故答案为：．
以为旋转中心，绕点逆时针旋转得到．
利用勾股定理求得旋转的半径，利用弧长公式求得路径长即可．
此题考查了作图旋转性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

19.【答案】证明：是的直径，弦，
，
；
解：，，
为等边三角形，
，
，
是的直径，弦，
，，
在中，，
扇形阴影部分的面积 

【解析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，求出，根据勾股定理求出，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．

20.【答案】证明：连接，如图所示，

为直径，
，
，
，
平分，
，
．
解：连接，如图所示，

，
，
，
为直径，
，
在中，
，

． 

【解析】连接，由为直径可得，，即，再根据，可得平分，即，根据圆周角定理的推论得．
连接，由，可得是等腰直角三角形，在中求出与的关系，即把用含的式子表示出来，再利用及求出．
本题考查了圆周角定理的推论及等腰三角形的性质，掌握在同圆中相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键．

21.【答案】解：由题意可得，
，
即每天销售量件与销售单价元之间的函数关系式是；
由题意可得，
，
即每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式是；
，
该函数图象开口向下，当时，随的增大而增大，
该文具的销售单价不低于元，且每天的销售量不得少于件，
且，
解得，
当时，取得最大值，此时，
答：该文具定价为元件时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题意，可以写出每天销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
根据利润售价成本销售量，可以写出每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
将中函数关系式化为顶点式，再根据该文具的销售单价不低于元，且每天的销售量不得少于件，可以得到的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．

22.【答案】解：，时，
，
顶点坐标为．
中含有顶点，
当时，有最大值，
，
当时，有最小值为：，
当时，．
时，的最大值为；时，的最大值为，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，的最大值为，
，
又，
，
，
．
二次函数的表达式为． 

【解析】先把解析式进行配方，再求顶点；
根据函数的增减性求解；
根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．

23.【答案】证明：如图，
，
，
即，
，
，
；

解：连接，如图，

弧弧，
，，
，
，
，
，，
，
；

，
，
，
，
，
，
解得，
，
． 

【解析】如图，利用得到，则，根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
连接，如图，由弧弧得到，再根据等腰三角形的判定方法得到，则，进而求解；
由得，再利用得到，加上，于是可求出，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．