2023-2024学年黑龙江省哈尔滨四十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨四十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算结果正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. −x−x=0C. (−2xy)2=4x2y2D. (−a3)4=a7
4.如图，一些大小相同的小正方体组成的一个几何体，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.将抛物线y=(x−2)2−1向上平移2个单位，所得到的抛物线为( )
A. y=(x+2)2+1B. y=(x−2)2−1C. y=(x−2)2+1D. y=(x+2)2−1
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. 12(x+4.5)=x−1B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5D. 12(x−1)=x+4.5
7.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠A=38°，则∠C的度数为( )
A. 19°B. 26°C. 38°D. 52°
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35，则tanA=( )
A. 34B. 43C. 45D. 54
9.如图，点F时平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )
A. EDEA=DFAB
B. DEBC=EFFB
C. BCDE=BFBE
D. BFBE=BCAE
10.甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S(单位：千米)与时间t(单位：分钟)的函数关系的图象如图所示，则图中a等于( )
A. 1.2
B. 2
C. 2.4
D. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.水星和太阳的平均距离约为57900000km，则57900000用科学记数法表示是______．
12.在函数y=2xx−2中，自变量x的取值范围是______．
13.计算3 23− 24的结果是______．
14.把多项式ax2−4ax+4a因式分解的结果是______．
15.不等式组1−x<02x−1≥2的最小整数解为______．
16.已知反比例函数y=−12x的图象经过点(3,a)，则a的值为______．
17.一个布袋里面装有3个球，其中2个红球，1个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出两个球，都是红球的概率是______．
18.已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是______．
19.在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG=20°，则∠BAC=______°.
20.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连接BD，点E是AB的中点，EF⊥AB交BC于点F，交BD于点H，∠EFB=2∠CBD，若BD=2 5，AB=5，则FH的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求值.(1x+1−1x2−1)÷x+1x2+2x+1，其中x=3tan30°+ 2cs45°
22.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系网格中△ABC的顶点都在格点上，点C(0,−1)．
(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)把△ABC绕点C逆时针旋转90度，得△A2B2C，画出△A2B2C并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，请求出线段AC在旋转过程中扫过的面积．
23.(本小题8分)
国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0−50时为1级，质量为优；51−100时为2级，质量为良；101−200时为3级，轻度污染；201−300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：
(1)本次调查共抽取了______天的空气质量检测结果进行统计；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为______°；
(4)如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动．(2015年共365天)
24.(本小题8分)
如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上.求证：四边形ABEF是正方形．
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上.连结BF，若AE=5，BF=10，求菱形ABEF的面积．
25.(本小题10分)
某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
26.(本小题10分)
已知AB、CD是圆O的直径，BE⊥CD于E，连接BD．
(1)如图1，求证：∠AOC=2∠DBE．
(2)如图2，F是OC上一点，DF=2CE，求证：∠CAF=∠ABE．
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BC，AF的延长线交BC于H，若CF=2,BC=2 10，求HF的长．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−4ax+6与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB=2OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CF⊥y轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；
(3)在(2)的条件下，过F作FM//y轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当GF：EG=9：10，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、应为a2⋅a4=a6，故本选项错误；
B、应为−x−x=−2x，故本选项错误；
C、应为(−2xy)2=4x2y2，故本选项正确；
D、(−a3)4=a12，故本选项错误．
故选：C．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
本题比较简单，考查了幂的乘方与积的乘方，根据幂的乘方的性质进行解答是解题的关键，解题时要细心．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知，原几何体的左视图为，
故选：C．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：抛物线y=(x−2)2−1向上平移2个单位得到解析式：y=(x−2)2−1+2，
即y=(x−2)2+1．
故选：C．
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】A
【解析】解：设木长x尺，根据题意可得：
12(x+4.5)=x−1，
故选：A．
设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=38°，
∴∠AOB=90°−38°=52°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
又∵∠AOB=∠C+∠OBC=52°，
∴∠C=26°，
故选：B．
连接OB，根据切线的性质以及直角三角形两个锐角互余得出∠AOB=52°，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解．
本题考查了切线的性质，直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握是切线的性质解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义．
在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB=5，然后利用勾股定理求出AC=4，最后利用锐角三角函数的定义即可解答．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35，
∴AB=BCtanA=335=5，
∴AC= AB2−BC2= 52−32=4，
∴tanA=BCAC=34．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB/​/CD，
∴△EDF∽△EAB，△EDF∽△BCF，
∴EDEA=DFAB=EFBE，DEBC=EFFB，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴EF=ED⋅BEEA，
∴DEBC=ED⋅BEFB⋅EA，即BFBE=BCAE，故D不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB/​/CD，进而证明△EDF∽△EAB，△EDF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明△EDF∽△EAB，△EDF∽△BCF是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由纵坐标看出等红灯后骑行的路程是1.2千米，由横坐标看出等红灯后所用的时间6−3=3分钟，
骑自行车的速度是1.2÷3=0.4(千米/分钟)，
由横坐标看出骑自行车所用的时间6−1=5(分钟)，
由路程、速度、时间的关系，得
a=5×0.4=2(千米)，
故选：B．
根据观察函数图象的纵坐标，可得剩余的路程，根据观察函数图象的横坐标，可得骑行剩余路程所用的时间，根据路程与时间的关系，可得速度，再根据速度与时间，可得路程．
本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键，利用了路程、速度、时间之间的关系．
11.【答案】5.79×107
【解析】解：将57900000用科学记数法表示为：5.79×107．
故答案为：5.79×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由y=2xx−2有意义，得x−2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键．
13.【答案】− 6
【解析】解：原式=3× 63−2 6
= 6−2 6
=− 6．
故答案为：− 6．
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】a(x−2)2
【解析】解：ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2．
故答案为：a(x−2)2．
直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15.【答案】2
【解析】解：由1−x<0得：x>1，
由2x−1≥2得：x≥32，
则不等式组的解集为x≥32，
最小整数解为2．
故答案为：2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：∵反比例函数y=−12x的图象经过点(3,a)，
∴a=−123=−4，
故答案为：−4．
将点(3,a)代入反比例函数y=−12x，即可求解．
本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17.【答案】13
【解析】解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中摸出的都是红球的有2种结果，
所以都是红球的概率为26=13，
故答案为：13．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18.【答案】30°
【解析】解：设圆心角为n°，由题意得：nπ×122360=12π，
解得：n=30，
故答案为：30°．
首先设圆心角为n°，再根据扇形面积的计算公式S=nπr2360，代入相关数值进行计算即可．
此题主要考查了扇形的面积计算，关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．
19.【答案】80或100
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
当∠BAC为锐角时，设∠BAG=α，∠CAE=β，根据线段垂直平分线性质可得：∠ABC=∠EAB=20°+α，∠C=∠CAG=β+20°，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当∠BAC为钝角时，根据线段垂直平分线性质可得：∠B=∠EAB，∠C=∠CAG，∠BAC=∠B+20°+∠C，再结合三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】
解：当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG=α，∠CAE=β，
∵∠EAG=20°，
∴∠EAB=∠EAG+∠BAG=20°+α，∠CAG=∠CAE+∠EAG=β+20°，∠BAC=α+β+20°，
∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∴∠ABC=∠EAB，∠C=∠CAG，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴α+β+20°+20°+α+β+20°=180°，
∴α+β=60°，
∴∠BAC=α+β+20°=60°+20°=80°；
当∠BAC为钝角时，如图2，
∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAG，
∴∠BAC=∠EAB+∠EAG+∠CAG=∠B+20°+∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAC=180°−80°=100°；
综上所述，∠BAC=80°或100°．
故答案为80或100．
20.【答案】12588
【解析】解：延长AC到G，使CG=CD，连接BG，AF，过点D作DK⊥AB于K，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴BC为线段DG的垂直平分线，
∴BG=BD=2 5，
∴∠CBD=∠CBG，
∴∠DBG=2∠CBD，
∵∠EFB=2∠CBD，
∴∠DBG=∠EFB，
∵∠ACB=90°，EF⊥AB，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EFB=90°，
∴∠BAC=∠EFB，
∴∠DBG=∠BAC，
又∵∠G=∠G，
∴△GBD∽△GAB，
∴BG：GA=GD：BG=BD：AB，
∴2 5：GA=GD：2 5=2 5：5，
∴GA=5，GD=4，
∴AD=GA−GD=1，
∴CD=GA−AD=4，
∴CG=CD=2，AC=GA−CG=5−2=3，
在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2=4，
∵点E为AB的中点，EF⊥AB，
∴EF为线段AB的垂直平分线，
∴FA=FB，AE=BE=12AB=52，
设FA=a，则FB=a，FC=BC−FB=4−a，
在Rt△AFC中，FC=4−a，AC=3，FA=a，
由勾股定理得：FA2=FC2+AC2，
即a2=(4−a)2+32，
解得：a=258，
即FB=FA=258，
在Rt△BEF中，FB=258，BE=52，
由勾股定理得：EF= FB2−BE2=158，
∵DK⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AKD=∠ACB=90°，
又∵∠DAK=∠BAC，
∴△ADK∽△ABC，
∴AK：AC=DK：BC=AD：AB，
即AK：3=DK：4=1：5，
∴AK=35，DK=45，
∴BK=AB−AK=5−35=225，
∵DK⊥AB，EF⊥AB，
∴DK//EH，
∴△BEH∽△BKD，
∴EH：DK=BE：BK，
即：EH：45=52：225，
∴EH=511，
∴FH=EF−EH=158−511=12588．
故答案为：12588．
延长AC到G，使CG=CD，连接BG，AF，过点D作DK⊥AB于K，则BC为线段DG的垂直平分线，BG=BD=2 5，证∠DBG=∠EFB=∠DBG=∠BAC，由此得△GBD和△GAB相似，由相似三角形的性质得GA=5，GD=4，则AD=1，CD=4，CG=CD=2，AC=3，进而得BC=4，证EF为线段AB的垂直平分线，则FA=FB，AE=BE=52，设FA=a，则FB=a，FC=BC−FB=4−a，在Rt△AFC中由勾股定理求出a=258，在Rt△BEF中由勾股定理可求出EF=158，再证△ADK和△ABC相似，由相似三角形的性质得AK=35，DK=45，则BK=225，然后证△BEH和△BKD相似，由相似三角形的性质得EH=115，据此可得FH的长．
此题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
21.【答案】解：由题意可知：x=3× 33+ 2× 22= 3+1，
∴原式=(1x+1−1x2−1)÷x+1(x+1)2，
=(1x+1−1x2−1)÷1x+1，
=(1x+1−1x2−1)⋅(x+1)，
=1−1x−1，
=x−2x−1，
当x= 3+1时，原式= 3−1 3=3− 33．
【解析】根据特殊角三角函数的值以及分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，
∴点A1的坐标为(1,−2)
(2)如图所示，△A2B2C即为所求，
∴点A2的坐标为(−3,−2)；

(3)由题意可知，线段AC在旋转过程中扫过的面积即为半径为AC的长，圆心角度数为90度的扇形面积，
∵AC= 12+32= 10，
∴线段AC在旋转过程中扫过的面积=90×π×( 10)2360=5π2．
【解析】(1)根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B对应点A1、B1的位置，然后顺次连接O，A1、B1，再写出A1的坐标即可；
(2)根据旋转方式找到A、B对应点A2、B2的位置，然后顺次A2、B2、C，再写出A2即可；
(3)线段AC在旋转过程中扫过的面积即为半径为AC的长，圆心角度数为90度的扇形面积，据此先利用勾股定理求出AC的长，再利用扇形面积计算公式求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，勾股定理，求扇形面积等等，正确根据题意画出关于原点对称和旋转后的图形是解题的关键．
23.【答案】50 72
【解析】解：(1)本次调查共抽取了24÷48%=50(天)，
故答案为：50；
(2)5级抽取的天数50−3−7−10−24=6天，
空气质量等级天数统计图；
(3)360°×1050=72°，
故答案为：72；
(4)365×24+650×100%=219(天)，
答：2015年该城市有219天不适宜开展户外活动．
(1)根据4级的天数数除以4级所占的百分比，可得答案；
(2)根据有理数的减法，可得5级的天数，根据5级的天数，可得答案；
(3)根据圆周角乘以3级所占的百分比，可得答案；
(4)根据样本数据估计总体，可得答案．
本题考查了条形统计图，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
24.【答案】【问题解决】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是矩形(有三个角是直角的四边形为矩形)，
由折叠的性质得：AB=AF，
∴四边形ABEF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，
故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，AF，有一组邻边相等的矩形是正方形；
【问题拓展】
连接BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF=AB，
∴平行四边形ABEF是菱形；
∵AE=5，BF=10，
∴S菱形ABEF=12AE⋅BF=12×5×10=25，
故答案为：25．
【解析】【问题解决】由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论；
【问题拓展】由平行四边形的性质得AD//BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出四边形ABEF是菱形，由菱形面积公式得S菱形ABEF=12AE⋅BF，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为(x+2.5)元．
根据题意得：200x+2.5=2×75x，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5为分式方程的解，
∴x+2.5=10．
答：A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元．
(2)解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装(2a+4)套，
根据题意得：(13−10)a+(9.5−7.5)(2a+4)>120，
解得：a>16，
∵a为正整数，
∴a取最小值17．
答：最少购进A品牌工具套装17套．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；(2)根据总利润=单价利润×购进数量，列出关于a的一元一次不等式．
(1)设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为(x+2.5)元．根据数量=总价÷单价结合用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装(2a+4)套，根据总利润=单价利润×购进数量结合总利润超过120元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可得出结论．
26.【答案】(1)证明：如图1，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°，
∵BE⊥DC，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠CDB=90°，
∴∠DBE=∠ADC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠ADC=2∠DBE；
(2)证明：如图2，延长BE交⊙O于G，连接AG、AD、DG，设圆的半径为r，

∵DF=2CE，
∴OD+OE=CE+CF，
即r+OE=r−OE+CF，
∴CF=2OE，
∵∠DOB=∠AOC，
∴BD=AC，
∵DC是BG的中垂线，
∴DG=BD，
∴AC=DG，
∵OE⊥BG，
∴BE=EG，
∵AO=BO，
∴AG=2OE，
∵∠AGD=∠ACF，CF=2OE=AG，
∴△DAG≌△AFC(SAS)，
∴FC=AG=2OE；
∴∠ADG=∠ACF=∠ABE，
即∠CAF=∠ABE；
(3)解：如图3，连接AD，

∵CF=1，则OE=2，
设EF=x，则OB=OC=OE+EF+FC=3+x，
Rt△OEB和Rt△BEO中，由勾股定理得：
BE2=OB2−OE2=BC2−CE2，
即(2 10)2−(x+2)2=(3+x)2−1，
解得：x=2，
则OB=5，
∴DC=10，DF=8，
∵∠AOD=∠BOC，
∴AD=BC=AF=2 10，
∵∠DAO=∠OBC，
∴AD//CH，
∴△ADF∽△HCF，
∴AFFH=DFCF，
∴2 10FH=84，
解得：FH= 102．
【解析】(1)如图1，先根据同角的余角相等得：∠DBE=∠ADC，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得结论；
(2)证明△DAG≌△AFC(SAS)，即可求解；
(3)在Rt△OEB和Rt△BEO中，由勾股定理得：BE2=OB2−OE2=BC2−CE2，求出x=2，得到OB=5，再利用△ADF∽△HCF，即可求解．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形相似和全等的性质和判定，有难度，第2问作辅助线构建△DAG≌△AFC是关键，第3问设未知数，根据勾股定理列方程，求出圆的半径是关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−4ax+6与y轴正半轴交于点C，与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，
∴C(0,6)，对称轴x=2，BO−2=AO+2，BO−AO=4，
∵BO=2AO，
∴AO=4，BO=8，即A(−4,0)，B(8,0)，
把B(8,0)代入y=ax2−4ax+6，得：0=64a−32a+6，
解得：a=−316，
∴y=−316(x+4)(x−8)，
即y=−316x2+34x+6；
(2)过点D作DT⊥y轴于点T，

由(1)得：C(0,3)，
∴点F与点C关于对称轴对称，坐标为F(2,3)，CF=2，
∵点D的横坐标的t，点D是第四象限内抛物线上一点，
∴D(t,−38t2+34t+3)，
∵A(−2,0)，
∴tan∠BAD=−(−38t2+34t+3)t−(−2)=38(t+2)(t−4)t+2=38(t−4)，
∵OE=AO⋅tan∠BAD=2[38(t−4)]=34t−3，
∴CE=CO+OE=3+(34t−3)=34t，
∵S△CED=12×CE⋅DT=12×(34t)t=38t2，
S△CFD=12×CF⋅CT=12×2[3−(−38t2+34t+3)]=38t2−34t，
∴S四边形CEDF=S△CED+S△CFD=38t2+38t2−34t=34t2−34t；
即S=34t2−34t；
(3)过点E作EL⊥FM于点L，过点M作MS⊥y轴于点S，
∴四边形CFMS、四边形CFLE是矩形，SM=CF=2=OA，

∵SM//AO，
∴OEES=AOSM=1，
∴OE=ES=34t−3，
∵CE=34t，
∴CS=CE+ES=32t−3，
由(2)知：D(t,−38t2+34t+3)，tan∠BAD=38(t−4)，
∴tan∠CDT=3−(−38t2+34t+3)t=38t−34，
∵CF//DT，
∴∠FCG=∠CDT，即tan∠FCG=tan∠CDT，
∴FG=CF⋅tan∠CDT=34t−32，
∴GL=FL−FG=CE−FG=34t−(34t−32)=32，
∴EG= GL2+EL2= (32)2+22=52，
∵MN：EG=2 13：5，
∴MN= 13，NS= MN2−MS2=3，
∴NE=NS−ES=3−(34t−3)=6−34t=ME，
在Rt△ESM中，∠ESM=90°，
由勾股定理得：ES2+SM2=EM2，
∴(34t−3)2+22=(6−34t)2，
解得：t=469，
∴D(469,−8027).
【解析】(1)根据解析式可以计算抛物线的对称轴，再根据OA、OB关系即可得出点A、B坐标，把其中一个代入解析式即可解答；
(2)过点D作DT⊥y轴于点T，根据题意得到点D坐标，分别计算S△CED、S△CFD，最后根据S四边形CEDF=S△CED+S△CFD进行解答；
(3)过点E作EL⊥FM于点L，过点M作MS⊥x轴于点S，所以四边形CFMS、四边形CFLE是矩形，SM=CF=2=OA，用含t的式子表示出ES、SM、EM的长，最后在Rt△ESM中，利用勾股定理得：ES2+SM2=EM2，即可解答．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，函数图象与坐标轴的交点，解题关键是根据问题恰当作出辅助线，难度较大．红
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