四川省宜宾市兴文县2022—2023学年上学期九年级期中数学试卷

2022-2023学年四川省宜宾市兴文县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列各式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知是方程的一个根，则代数式的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列各式与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是(    )

 

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.下列关于二次根式的计算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.据统计，从年至年我国高铁的年运营总里程中万千米增加到万千米设我国从年至年高铁运营总里程的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.已知关于的一元二次方程中的，，满足和，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.如图，在甲、乙两个大小相同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上正方形与正方形的面积分别记为，，甲，乙两个正方形网格的面积记为，有下列结论：；；正方形与正方形的边长之比为：其中，正确结论的序号是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.一元二次方程的一次项系数为______ ．

14.比较大小：______填“、、或”

15.要使式子有意义，则实数的取值范围是______．

16.已知的解是，，则方程的解为______ ．

17.如果式子化简的结果为，则的取值范围是______ ．

18.对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记为、，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
按要求解方程：
因式分解法；
配方法；
公式法．

20.本小题分
计算：；
点，在数轴上的位置如图所示，点在，两点之间，且其对应的数为，化简：．

21.本小题分

从一张边长为的正方形纸片的四个角均剪去一个长为，宽为的长方形如图．
用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积为______ ；
当，，时，求剩余部分的面积．

22.本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：不论为何实数，方程总有实数根；
当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．

23.本小题分
安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出台，每台可盈利元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价元，商场平均每天可多售出台．
若该商场某天降价了元，则当天可售出______台，当天共盈利______元．
在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利元，每台空气加湿器应降价多少元？
该商场平均每天盈利能达到元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．

24.本小题分
【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
对偶式与之间的关系是______ ；
A.互为相反数
B.互为倒数
C.绝对值相等
已知，求的值；
解方程：利用“对偶式”相关知识，提示：令

25.本小题分

等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点设点运动时间为，的面积为．
求出关于的函数关系式；
当点运动几秒时，？
当点在边上运动时，作于点，请问：线段的长度是否改变？如果不改变，请求出这个定值，如果改变，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、方程是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高常数是整式方程是一元二次方程是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，该选项符合题意；
故选：．
先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果．
本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
移项得：，
故选：．
把代入方程得：，经过移项即可得到答案
本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解决本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
与是同类二次根式的是：；
故选：．
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，进行判断即可．
本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义，利用二次函数的性质，将二次根式化为最简二次根式，是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
或，
，，
所以，这位同学是乙，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法：当二次项系数化为时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、无法合并，选项错误，故A不符合题意；
B、，选项错误，故B不符合题意；
C、，选项正确，故C符合题意；
D、，选项错误，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可．
本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：从年至年高铁运营总里程的年平均增长率为，
方程为，
故选：．
根据“从年至年高铁运营总里程的年平均增长率为”即可列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
；
故选：．
根据二次根式的减法法则进行运算，求出，的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查二次根式的减法法则．熟练掌握二次根式的减法法则是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于的一元二次不等式组是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次不等式组，解之即可得出的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．
【解答】
解：关于的一元二次方程有实数根，
解得：．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
即：，
，
故选：．
根据，得到，即可得解．
本题考查了分式的求值，将作为一个整体，利用平方法进行求解，是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
将其代入中得，，
，
，
，
，
故选：．
将进行变形可得，并将其代入到中即可得出答案．
本题考查了代入法进行求代数式的值，正确的计算是解决本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，，
根据甲网格可得，正方形的边长为，
，
根据乙网格可得，正方形的边长为，
，
，
，故错误；
，
，故正确；
正方形与正方形的边长之比为，故正确，
故选：．
先根据题意将求出来，再根据图象分别将正方形的边长、、正方形的边长和求出来，最后进行判断即可．
本题考查了正方形与网格问题和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程一次项系数是：．
故答案为：．
根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．
此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，，
而，
．
故答案为：．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．

15.【答案】且 

【解析】解：要使式子有意义，
且，
解得：且，
则实数的取值范围是且．
故答案为：且．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

16.【答案】， 

【解析】解：令，
则：方程转化为：，
的解是，，
的解为：，，
即：或，
解得：，；
故答案为：，．
利用换元法，解一元二次方程即可．
本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据算术平方根的被开方数是非负数，绝对值是非负数，化简结果，可得答案．
本题考查了二次根式的化简，注意二次根式开方是非负数，绝对值是非负数．

18.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系得，，
所以，
则，
原式
，
故答案为：
由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．
本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．

19.【答案】解：，
，
，
，，
，；
，
移项得，
配方得，即，
，
，；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】移项，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法．

20.【答案】解：



；
点在，两点之间，且其对应的数为，
，
． 

【解析】先将二次根式进行化简，再根据二次根式的混合运算求解即可；
先根据题意求出的取值范围了，再化简即可．
本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解决本题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：根据图象可得，纸片剩余部分的面积为，
故答案为：；
，，，
根据图象可得，剩余纸片的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
将，，代入求解即可．
本题考查了平方差公式、正方形和长方形的面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

22.【答案】证明：

，
不论为何实数，方程总有实数根；
解：当时，方程为，
设方程的两根分别为，，
由根与系数关系得，
．
所以菱形的面积是． 

【解析】先计算判别式的值，再利用配方法得到，则，然后根据判别式的意义得到结论；
当时，方程为，设方程的两根分别为，，则根据根与系数关系可得，
然后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式和菱形的性质．

23.【答案】   

【解析】解：台，
元．
故答案为：；．
设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
尽快减少库存，
的值应为．
答：每台空气加湿器应降价元．
不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
商场平均每天盈利不能达到元．
利用销售数量降低的价格，即可求出当天的销售量，再利用总利润每台的利润销售数量，即可求出结论；
设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润每台的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定的值；
设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润每台的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

24.【答案】 

【解析】解：，
对偶数与之间的关系是互为倒数，
故选：；
由题意得，，
，
；
令，则两边同乘以，得，
解得，
，，
，得，
两边同时平方得，
解得，
经检验，是原方程的解．
计算对偶式，可得两数互为倒数；
根据已知先分别化简，，求出，的值，将所求分式分解因式后代入计算即可；
令，则两边同乘以，得，求出，根据，，解得，即可求出值，检验即可．
此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键．

25.【答案】解：当秒时，在线段上，此时，，

，
当秒时，在线段得延长线上，此时，，
．
，
当秒时，，
整理得，此方程无解，
当秒时，，
整理得，解得舍去负值，
当点运动秒时，．
当点、运动时，线段的长度不会改变，
证明：过作，交直线于点，
是等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
四边形是平行四边形，且是对角线的一半．
又，
，
当点、运动时，线段的长度不会改变． 

【解析】分两种情况推理即可；
根据三角形的面积公式解答即可；
由等腰直角三角形和平行四边形进行解答即可．
本题考查了三角形综合题，等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．