2022-2023学年四川省宜宾市叙州区龙文学校九年级上学期入学数学试卷（含解析）

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2022-2023学年四川省宜宾市叙州区龙文学校九年级（上）入学数学试卷
一.选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）要使有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
2．（4分）化简的结果是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
3．（4分）如果＝1﹣3a，则（　　）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
4．（4分）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（　　）
A．8 B．﹣1 C．0 D．2
5．（4分）若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
6．（4分）关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
7．（4分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）以为根的一元二次方程可能是（　　）
A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0
9．（4分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
10．（4分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
11．（4分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）

A．（8﹣4）cm2 B．（4﹣2）cm2
C．（16﹣8）cm2 D．（﹣12+8）cm2
12．（4分）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）
A．n B．n C．n D．n+
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
14．（4分）把化为最简二次根式，结果是 　 　．
15．（4分）若x，y为有理数，且，则xy的值为 　 　．
16．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是　 　．
17．（4分）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　 　．
18．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE+DF＝AF+DE．
其中正确的是 　 　（填序号）．

三.解答题（7个小题，共78分）
19．（10分）计算：
（1）÷﹣×+（+1）（﹣1）；
（2）|1﹣|﹣×+﹣（）﹣1．
20．（10分）解方程：
（1）用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0；
（2）选用适当的方法解方程：（x﹣3）2+（x﹣6）2＝9．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．

22．（10分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
23．（12分）如图，已知点A（4，m）、B（n，﹣4）是一次函数y＝x+n的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式x+n＞的解集：　 　．

24．（12分）像＝2；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）；
（2）．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：．
解：设x＝，易知，∴x＞0．
由：x2＝3+＝2．解得x＝．
即＝．
请你解决下列问题：
（1）2的有理化因式是 　 　；
（2）化简：；
（3）化简：．
25．（14分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，点Q为线段AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作OA和OC的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为3？
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．






2022-2023学年四川省宜宾市叙州区龙文学校九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．【答案】A
【解答】解：依题意得x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：＝＝2．
故选：C．
3．【答案】B
【解答】解：∵＝1﹣3a，
∴1﹣3a≥0，
∴﹣3a≥﹣1，
∴a≤，
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：方程可化为：x2+4x﹣3＝0，
二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．
所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，
故选：D．
5．【答案】C
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0，
所以m＝±2且m≠﹣2．
所以m＝2．
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：A．此方程的根为x＝，符合题意；
B．此方程的根为x＝，不符合题意；
C．此方程的根为x＝，不符合题意；
D．此方程的根为x＝，不符合题意；
故选：A．
9．【答案】C
【解答】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故C错误，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
10．【答案】D
【解答】解：当底边为3，两腰为关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，
解得k＝3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
三角形三边分别为3、3、1，
综上所述，k的值为4或3．
故选：D．
11．【答案】D
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，
∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，
＝8+16﹣12﹣16，
＝（﹣12+8）cm2．
故选：D．
12．【答案】A
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：x≥0，x﹣4≠0，
解得：x≥0且x≠4，
故答案为：x≥0且x≠4．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
故答案为：
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x，y为有理数，且，
∴2x﹣1＝0，y＝4，
则x＝，
故xy＝4×＝2．
故答案为：2．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0
解得：m＝﹣1
故答案为：﹣1．
17．【答案】2023．
【解答】解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2﹣≥，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
18．【答案】②③④．
【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为：②③④．
三.解答题（7个小题，共78分）
19．【答案】（1）6﹣；
（2）2﹣．
【解答】解：（1）原式＝﹣+3﹣1
＝4﹣+3﹣1
＝6﹣；
（2）原式＝﹣1﹣+2+﹣
＝﹣1﹣6+2+﹣
＝2﹣．
20．【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）x1＝3，x2＝6．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣6x+9+x2﹣12x+36＝9，
整理得：2x2﹣18x+36＝0，即x2﹣9x+18＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝6．
21．【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）证明过程详见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AB＝BC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设x2﹣3x＝y，
原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8
＝y2﹣3y﹣18
＝（y﹣6）（y+3）
＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；

（2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0．
解得t＝﹣1或t＝3．
当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．
解得x1＝x2＝1．
当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．
解得x3＝3，x4＝﹣1．
综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
23．【答案】（1）一次函数为：y＝x﹣2，反比例函数的解析式为y＝；
（2）6；
（3）﹣2＜x＜0或x＞4．
【解答】解：（1）∵B（n，﹣4）是一次函数y＝x+n的图象上的点，
∴﹣4＝n+n，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣4），一次函数为：y＝x﹣2，
∵反比例函数y＝的图象过点B，
∴k＝﹣2×（﹣4）＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
（2）设C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝2．
∴点C（2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；
（3）不等式x+n＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
24．【答案】（1）2+3；
（2）+3；
（3）﹣．
【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；
故答案为：2+3；
（2）原式＝++1+2﹣
＝+3；
（3）设x＝﹣，可得＜，即x＜0，
由题意得：x2＝6﹣3+6+3﹣2＝12﹣6＝6，
解得：x＝﹣，
则原式＝﹣．
25．【答案】（1）B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）Q（）或（1，3）时，四边形OFQE的面积为3；
（3）P（0，﹣3）或（0，）或（0，5+）或（0，）．
【解答】解：（1）令x＝2，则y＝，
∴B的坐标为（2，1），
将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得，
，
解得
∴B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）由（1）可得，一次函数解析式为y＝﹣2x+5，
令y＝0，则x＝，
∴C（），
∵点Q为线段AC上（不与A、C重合）一动点，
∴设Q（m，﹣2m+5），0＜m＜，
∵QE⊥OA，QF⊥OC，
∴QE＝m，QF＝﹣2m+5，
∵四边形QEOF的面积为3，
∴m（﹣2m+5）＝3，
∴m＝或1，
∴Q（）或（1，3）时，四边形OFQE的面积为3；
（3）∵△PAB为等腰三角形，
∴可以分三类讨论，
①当BA＝BP时，如图1，
过B作BM⊥y轴于M，则M（0，1），
AM＝MP＝5﹣1＝4，
∴AP＝2AM＝8，
∴P（0，﹣3），
②当AP＝AB时，如图2，此时P有两个位置，分别记为P和P′，
由①可得，AM＝4，BM＝2，
∴＝2，
当P在A点下方时，AP＝AB＝，则P（0，），
当P在A点上方时，AP＝AB＝，则P（0，5+），
③当PA＝PB时，如图3，过P作PG⊥AB于G，
则AG＝BG，
∴G（1，3），
延长GP交x轴于N，过G作GD⊥x轴于D，
设N（m，0），
则ND＝1﹣m，DG＝3，
在Rt△NGD中，NG2＝DG2+ND2＝9+（1﹣m）2＝m2﹣2m+10，
同理，，
∵NG2+CG2＝CN2，
∴，
∴m＝﹣5，
∴N（﹣5，0），
设直线NP为y＝n（x+5），
代入点G（1，3）得，6n＝3，
∴，
∴直线NP为y＝，
令x＝0，则y＝，
∴P（0，），
∴P（0，﹣3）或（0，）或（0，5+）或（0，）．