四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

绵阳南山中学实验学校2022级高二上期9月月考

数学试题

总分：150分  时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（    ）．

A．  B．  C．  D．

2． 已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．

A．  B．

 C． D．

3．袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（    ）

A．至少有一个白球；全部都是红球 B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．恰有一个白球；恰有一个红球 D．恰有一个白球；全部都是红球

4．某学校组织学生参加数学测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（     ）

A．45            B．50            C．55             D．60

5．袋中有红色、黄色、绿色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（   ）

A． B．            C．             D．

6． 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ）

A．  B．          C．          D．

7．已知四面体ABCD，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则=（    ）

A． B．

C．                     D．

8． 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点A到直线的距离为（    ）

A．  B． 1 C．  D．

二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9． 如图是2019年第一季度五省GDP的情况图，则下列描述中正确的是（　　）

A．与去年同期相比2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长

B．2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省

C．2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D．去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元

10． 对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：40，53，57，62，63，57，60；乙：47，63，52，59，45，56，63．则下列判断正确的是（　　）

A．甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63    B．甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56

C．甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数       D．甲消费额的方差小于乙消费额的方差

11．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2：0领先，则（    ）

A． 甲队获胜的概率为 B． 乙队以3：0获胜的概率为

C． 乙队以获胜的概率为 D． 乙队以3：2获胜的概率为

12．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）

A．平面平面             B．平面

C．三棱锥的体积为定值        D．直线与所成的角可能是

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．袋子中有四个小球，分别写有“中华民族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中华民族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232　321　230　023　123　021　132　220　001

231　130　133　231　031　320　122　103　233

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ___  ．

14．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间交角，，（合称为“晶胞参数”）来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中， ， ， ， ，则该晶胞的对角线的长为  ___  ．

15．已知点D在平面ABC内，O为平面ABC外一点，且， 则 的最小值是 ___  ．

16．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离 ___  ．

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．

17．已知a=（x，4，1），b=（－2，y，－1），c=（3，－2，z）， ，b⊥c，求：

（1）的值；

（2）与夹角的余弦值．

18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率．

19．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．

20． 如图，在三棱柱中，侧面和都是正方形，平面平面，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21． 为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”．2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）．甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛．根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响．

（1）求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；

（2）求不进行加赛甲就获得数独王的概率．

22． 条件①：图（1）中．条件②：图（1）中．条件③：图（2）中三棱锥A－BCD的体积为．从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线上，并加以解答．

如图（1）所示，在△ABC中， ， ，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使 （如图（2）），点E，M分别为棱BC，AC的中点．

 （1）求证：CD⊥ME；

（2）已知________，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求二面角M－BN－C的余弦值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

南山中学实验学校2022级高二上期9月月考

数学答案

1—5  CBDBB     6—8 CCB  9．ABD　10．ABC  11．AB  12．AC

8．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知，得，，，，，所以在上的投影为，

所以点A到直线的距离为

10．ABC　［对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，正确；

对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，正确；对于C，， ，可得，正确；对于D，，，可得，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误．]

三、填空题

13．    14．   15．9   16．

14．［解析]　如图所示：

，依题可知， ， ， ， ，所以，所以，则， 故．

15．［解析]　因为A，B，C，D共面，所以，又， ，则

当且仅当时，等号成立，所以的最小值是9．

17．［解析]　（1）因为，所以，解得， ，

则，．又b⊥c，所以，即，

解得，于是c=（3，－2，2），．

（2）由（1）得， ，设与的夹角为，

因为．所以与夹角的余弦值为．

18．（1）根据频率分布直方图可得：

平均年龄为：；

第一组：的频率为：0.05，第二组：的频率为：0.35，

第三组：的频率为：0.3，第四组：的频率为：0.2．

又，故第80百分位数为第四组小长方形底边中点值37.5．

（2）因为第一组的频数为10，且第一组的频率为0.05，故可得，

则第四组有：人，第五组有：人．

又分层抽样的抽样比是．故需要从第四组抽取：人，第五组抽取：人．

不妨设除甲乙外的四人为，

故从第四组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况如下：

甲A，甲B，甲C，甲D，甲乙；乙A， 乙B， 乙C， 乙D；；；

故所有抽取的可能有15种，其中甲乙至少一人抽取的可能有9种，

故甲､乙两人至少有一人被选上的概率为：

19．解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元．

都付2元的概率为；都付4元的概率为；都付6元的概率为；

故所付费用相同的概率为．

（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为、、

；；．

设两人费用之和大于或等于8的事件为，则

所以，两人费用之和大于或等于8的概率

20．（1）证明：取中点，连接，，

∵分别为的中点，∴，且，又四边形是正方形，∴且，

即且，又∵为中点，∴且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

 （2）由题意，两两垂直，所以以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，．

，，，，设平面 的法向量为，

则，即 ，得设直线与平面所成角为， ，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

21．（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”．

．所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为；

（2）设“不进行加赛甲就获得数独王”．

，

，

，

所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为．

22．（1）∵， ， ，AD，平面ABD，∴CD⊥平面ABD．

∵平面ABD，∴．又M，E分别为AC，BC的中点，∴，∴．

（2）方案一　选①，由，解得或（舍去）．

设，在Rt△ABD中， ，解得，∴．以点D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）， ，则．

设N（0，a，0）， ，则．

∵，∴，即，

∴，∴．∴当（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，．

设平面BNM的法向量为， ， ，

由得令，得， ，则．

取平面BNC的一个法向量，

，

又二面角M－BN－C的平面角为锐角，∴二面角M－BN－C的余弦值为．

方案二　选②，在题图（1）所示的△ABC中，设，则，又，由平面向量基本定理知，即．以点D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）， ，则．

设N（0，a，0）， ，则，

∵EN⊥BM，∴，即·，∴，∴，

∴当 （即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN ⊥ BM．

设平面BNM的法向量为， ， ，

由， 得令，得， ，则．

取平面BNC的一个法向量，

，又二面角M－BN－C的平面角为锐角，

∴二面角M－BN－C的余弦值为．

方案三　选③，设，则，

∵， ，∴△ADC为等腰直角三角形，∴．

在三棱锥A－BCD中，AD⊥DC，AD⊥BD，且，BD，平面BCD，∴AD⊥平面BCD，又，

∴， ，化简得，解得或 （舍去）．

以点D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）， ，则．

设N（0，a，0）， ，则．