湖北省武汉市江汉四校2023—2024学年上学期十月联考九年级数学试题

九年级数学

命题人：付碧宇       审题人：陈瑶

考试时间：120分钟         试卷总分: 120分

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题3分，共30分)

1. 下列交通标志是中心对称图形的为( )

2.将方程 x²-8x=10 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是( )

A. -8, -10         B. -8, 10             C. 8, -10            D. 8, 10

3. 抛物线 y=3(x+2)²-4 的顶点坐标是( )

A. (-2,-4)     B. (-2,4)        C. (2,-4)        D. (2,4)

4. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件， 到第三天统计得出三天共揽件 662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )

A. 200(1+x)²=662   B. 200(1+2x)²=662

C. 200(1-x)²=662     D. 200+200(1+x)+200(1+x)²=662

5.如图,在△ABC中,∠C=55°,将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A'BC',若点C'恰好落在线段AC上, AB、 A'C'交于点D, 则∠A'BD等于( )

A. 80°         B. 70°                C. 60°               D. 50°

6. 抛物线 y=3x²-6x-3 的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y= 3x²+bx+c,  则b, c的值为( )

A. b=6, c=-1       B. b=-18, c=23     C. b=6, c=-5   D. b=-18,c=29

7. 不解方程，判断方程x²-4x+4=0  的根的情况是(  )

A. 没有实数根   B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根  D. 有两个不等的实数根

8.已知关于x的一元二次方程x²-6x+k+1=0的两个实数根为x₁，x₂，且. 则k的值为( )

A. 5             B. 6               C. 7                 D. 8

9. 若抛物线M:y=x²-(3m-3)x-3与抛物线 关于直线x=-1对称，则m, n的值为( )

A. m=1, n=1    B. m=1, n=-1       C m=3, n=4         D. m=3, n=-4

10.如图, P为等边△ABC内一点,且PB=6, PC=8, ∠BPC=150°, M、 N为边 AB、 AC上的动点, 且AM =AN, 则PM+PN的最小值为( )

A. 10           B. 8               C. 6                 D. 4

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11. 已知点P(-2，3)，则点P关于原点对称的点的坐标是   .

12. 直角三角形的两直角边之和是 14，面积是24，则它的斜边长是   .

13. 设A(1,y), B(2,y₂)是抛物线y=-x²-3x+2上两点，则y₁与y₂的大小关系是 y₁    y₂.

14. 某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了210本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是      .

15. 如图， 二次函数 y=ax²+bx+c的图象过点(-1，0)，对称轴直线x=1. 有以下结论：①abc>0; ②9a+3b+c=0; ③点A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), 在抛物线上, 当x₁>x₂时, 有 y₁>y₂, 则.x₁+x₂<2;④若有且只有3个小于0 的整数t，使得方程ax²+bx+c=t 有实数根，则 其中正确的是      (填序号).

16. 二次函数 y=x²+mx+n 的图象的顶点在直线y=-4上， 该图象与直线y=x+2，在0≤x≤2 内各有一个交点， 则m的取值范围是         .

三、解答题(共 8题, 共 72分)

17. (本题8分)

解方程x²-6x-7=0

18. (本题8分)

已知二次函数 y=x²-4x+1, 1≤x≤4的图象如图所示.

(1)求y的取值范围：

(2) 若直线y=k与该函数图象只有一个交点， 直接写出k的取值范围.

19. (本题8分)

   某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

(1)如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元?

(2)能否通过降价使商店每天盈利达到1600元?请说明理由.

20.(本题 8分)

如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转 60°得到线段AQ，₂连接 BQ, PB, PC.

(1)    求证 CP=BQ:

(2) 若PA=6, PB=8, PC=10.求四边形APBQ 的面积.

21.(本题8分)

   如图,在平面直角坐标系中, △ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1),B(7,1),C(6,3),格点D在AB上， 请用无刻度的直尺，按要求完成下列画图，并回答相关问题.

(1)            将△ABC绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF,点D 随之旋转， 画出△AEF， 并写出点D的对应点D的坐标.

(2)            画△AEF的角平分线FG:

(3)            在AF上取点M, 使∠AMD=45°;

(4) 找格点P,使PG=AG, 直接写出点P的坐标.

22. (本题10分)跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图.平台AB长1米(即AB=1)， 平台AB距地面18米， 以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为.运动员(看成点)在 BA 方向获得速度 v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置(忽略空气阻力). 设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l 米，经实验表明：h=6r². l= vt、

(1)    求滑道对应的函数表达式：

(2)    当 v=5米每秒，t=1秒时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；

(3) 在试跳中，某运动员以6米每秒的速度从A处飞出，其飞行路径近似看作抛物线的一部分，着陆时水平距离为d，直接写出飞行路径的函数解析式和d的值.

23. (本题10分)

在菱形 ABCD中.∠BCD =α，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转α到CQ, 连接DQ, PQ. PQ与CD交于点N, QP 的延长线与AB 交于点 M.

(1) 如图(1), 若P是 BD的中点,

①求证: MP=NP;

②求证: MP=NQ;

    (2)如图(2)，若P不是BD的中点，第一问中①，②是否仍成立?若成立， 请证明你的结论：若不成立，请举个反例.

24. (本题12分)如图1，已知二次函数 的图象与y轴交于点A.与x轴交于点B， C, 连接AB, AC.

(1) 判断△ABC的形状, 并说明理由:

 (2)如图2，过点B作BN∥AC交抛物线于点N，点M为抛物线上位于AC上方一点，求四边形AMCN面积的最大值及此时点M的坐标：

 (3)如图3，将抛物线沿着射线AB平移2 个单位，若点 P为新抛物线对称轴上一点，当以点A， P，C为顶点的三角形是等腰三角形时， 请写出此时点P的坐标.