精品解析：广东省深圳市罗湖外语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

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2022-2023学年广东省深圳市罗湖外语学校九年级（上）期中数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．

3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列方程是一元二次方程的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次是次的整式方程，逐个判断即可．

【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项不合题意；

B、该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；

C、是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；

D、整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

2. 下列命题中，真命题是（  ）

A. 有两边相等的平行四边形是菱形

B. 有一个角是直角的四边形是矩形

C. 四个角相等的菱形是正方形

D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】根据特殊的平行四边形的判定去判断哪个是真命题．

【详解】A选项是假命题，应该是有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

B选项是假命题，应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形；

C选项是真命题；

D选项是假命题，应该是两条对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形．

故选：C．

【点睛】本题考查特殊的平行四边形的判定，解题的关键是熟记这些判定定理．

3. 一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．

【详解】解：因为一共有6个球，白球有4个，

所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．

故选C．

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

4. 下列几何体均由个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与左视图不同的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】画出各个选项中的组合体的主视图、左视图，进而得出答案．

【详解】解：选项A、选项B、选项C、选项D中组合体的主视图与左视图分别为：

其中主视图与左视图不同的是选项B中的组合体，

故选B．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是解题的关键．

5. 如图，相交于点E，，则的长为（    ）

A.  B. 4 C.  D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．

【详解】∵

∴

∴

∵，

∴

∵

∴

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．

6. 用配方法解方程时，原方程变形为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．

【详解】解：，

，

，

∴．

故选B．

【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键．

7. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　)

A. 2.4cm B. 4.8cm C. 5cm D. 9.6cm

【答案】B

【解析】

【详解】解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，

∴AB=，

∵菱形ABCD的面积=AB•DE=AC•BD=×8×6=24，

∴DE==4.8cm；

故选B．

8. 如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到图形是（    ）

A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 以上都不对

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形中位线定理和四条边都相等的四边形是菱形即可得答案．

【详解】如图，E、F、G、H分别是各边的中点，连接EF、FG、GH、HE，

∵E、F为CD、AD边中点，

∴EF是△ACD的中位线，

∴EF=AC，

同理：FG=BD，GH=AC，HE=BD，

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形，

故选A.

【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．

9. 如图，学校种植园是长米，宽米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可的种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．

【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得：

新矩形的长为米，宽为米，

∴可列方程为：，

故选C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够正确表示种植面积的长与宽．

10. 如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】B

【解析】

【分析】①由菱形的性质得出ADBC，得出△AEF∽△CBF，故①正确；

②根据相似三角形对应边成比例，可得CF＝2AF，故②正确；

③根据菱形的性质得到AD=CD，由三角形外角定理得到△CDF不是等腰三角形可得DF≠DC，故③错误；

④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S四边形ABCD，可得S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝S四边形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确．

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴ADBC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵E是AD边的中点，

∴AE＝AD＝BC，

∴，

∴CF＝2AF，故①，②正确；

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠DAC=∠DCA

∵∠DFC=∠DAC+∠ADF

∴∠DFC ≠∠DCA

∴△CDF不是等腰三角形

∴DF≠DC，故③错误；

∵△AEF∽△CBF，

∴，

∴S△AEF＝S△ABF，

∵E是AD边的中点，

∴S△ABE＝S四边形ABCD，

∴S△ABF＝S△ABE=×S四边形ABCD= S四边形ABCD，

∴S△AEF＝S四边形ABCD，

又∵S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝S四边形ABCD−S四边形ABCD＝S四边形ABCD，

∴2S四边形CDEF＝5 S△ABF，故④正确；

故选B．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF∽△CBF是解题的关键．

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 已知，则 ___________．

【答案】

【解析】

【分析】先用x表示y，然后代入到，求解即可．

【详解】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．

【点睛】本题考查了代数式求值，用x表示出y是解题关键．

12. 若为一元二次方程的一根，则 ______ ．

【答案】1

【解析】

【分析】根据方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．

【详解】解：依题意，得

，即，

解得，．

故答案：．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．

【答案】

【解析】

【分析】用列表法与树状图法求解即可.

【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别：正正、正反、反正、反反，

其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正

所以概率是，

故答案是.

【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的情况数是解决本题的关键.

14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．

【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，

∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，

∵OE=3，OA=4，

∴根据勾股定理得，

∵AE=BE，

∴，

在Rt△AOB中，

即菱形的边长为，

∵点F为的中点，点O为DB中点，

∴ ．

故答案为

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．

15. 如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．

【答案】

【解析】

【详解】试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；

∵正方形ABCD的边长为6，

∴AB=6．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=6．

故所求最小值为6．

考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解下列方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）用十字相乘法因式分解解方程即可；

（2）用十字相乘法因式分解解方程即可．

【小问1详解】

，

，

或，

解得，；

【小问2详解】

，

，

或，

解得，．

【点睛】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．

17. 在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．在图的方格纸中画出以为一边的平行四边形，点、在小正方形的顶点上，平行四边形的面积为，并且直接写出平行四边形的周长；在图的方格纸中画出以为一边的菱形，点、在小正方形的顶点上，菱形的面积为．

【答案】见解析

【解析】

【分析】图1利用数形结合的思想画出图形即可．

图2构造对角线分别为，的菱形即可．

【详解】图中四边形即所求；

，

∴平行四边形的周长是

图2中∵每个小正方形的边长均为，

∴每个小正方形的对角线均为，

∴,

如图中，菱形即为所求．

．

【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．

（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为     ；

（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；

（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为     ．

【答案】（1）；（2） ；（3）；

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；

（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2．

【详解】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；

（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，

所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；

（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，

所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．

故答案为．

考点：列表法与树状图法．

19. 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

【答案】（1）见解析    （2）或

【解析】

【分析】（1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；

（2）先利用根与系数的关系得，，再由得到，然后解方程即可．

【小问1详解】

证明：

，

所以方程总有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

解：根据根与系数的关系得，，

，

，

整理得，

解得，，

的值为或．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．

20. 因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗

（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；

（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？

【答案】（1）30%；（2）20元.

【解析】

【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，列出方程求解即可；

（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．

【详解】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有

1000（1+x）2＝1690，

解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）．

答：年平均增长率为30%；

（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有

（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，

解得y1＝20，y2＝21，

∵每碗售价不得超过20元，

∴y＝20．

答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．

【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

21. 阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图1，在中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果，求的值．

他的做法是：过点E作交BG于点H，那么可以得到．

请回答：

（1）AB和EH之间的数量关系是       ，CG和EH之间的数量关系是       ，

的值为       ．

（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图2，在四边形中，，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果，，求的值．

【答案】（1），，；（2）．

【解析】

【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；

（2）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图所示．

【详解】解：（1）依题意，过点E作交于点H，如图1所示．

则有，

∴==3，

∴．

∵，，

∴，

又∵E为BC中点，

∴为的中位线，

∴．

===．

故答案为：，，．

（2）如图，过点E作交BD的延长线于点H．

∴．

∵，

∴，

∴CD=EH．

又∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

【点睛】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形，注意知识的综合运用和比例式的变形．

22. 在正方形中，点为正方形内一点，过点将绕点逆时针旋转，得到，延长，分别交，于、两点，交的延长线于点．

（1）数学兴趣小组探究发现，如图，连接，当点移动时，总有，请你证明这个结论；

（2）如图，连接，若，请直接写出线段、、的数量关系为______；

（3）如图，在的条件下，连接，，若，的面积为，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）证明，从而得出结论；

（2）可证得是的中位线，从而得出，结合，进而得出结果；

（3）作于，于，取的中点，连接，，，可证得、、、四点共圆，从而，进而证明，从而，设，可得，从而得出，进而得出的长，设，，，根据，得出，从而解得的值，进一步得出结果．

【小问1详解】

证明：四边形是正方形

，，

，

，

，

，

；

【小问2详解】

解：四边形是正方形，

，，，

，，

，

，

故答案为：；

【小问3详解】

解：如图，

作于，于，取的中点，连接，，，

，

、、、四点共圆，

，，

为的中位线，

，

，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

设，

，

，

，

设，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．