精品解析：广东省深圳市龙岗区贤义外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷

贤义外国语学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）

1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【详解】解：A．只含有一个未知数，是一元一次方程，故A错误；

B．含有两个未知数，故B错误；

C．分母含有未知数，是分式方程，故C错误；

D．只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故D正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2. 唐代李白《日出行》云：“日出东方隈，似从地底来”．描述的是看日出的景象，意思是太阳从东方升起，似从地底而来．如图所示，此时观测到地平线和太阳所成的视图可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据物体的视图知，看得见的用实线，看不见的用虚线，由此可得答案．

【详解】从正面看到地平线以上的太阳，地平线以下的太阳看不到，看不到线则用虚线，由此选项B正确；

故选：B．

【点睛】本题考查了物体三视图中的主视图，注意：画物体视图时，看得见的用实线，看不见的用虚线．

3. 如图，，若，，则DE等于（　　）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，进而求解．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，整理得：，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．

4. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，

∴，

解得．

故选：A．

【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．

5. 粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意—广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）

A. 测量四边形画框的两个角是否为

B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分

C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等

D. 测量四边形画框的四边是否相等

【答案】B

【解析】

【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定．

【详解】A. 测量四边形画框的两个角是否为，

∵有三个角是直角的四边形是矩形，

∴此测量方法不可行，不合题意；

B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，

∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，

∴此测量方法可行，符合题意；

C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，

∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，

∴此测量方法不可行，不合题意；

D. 测量四边形画框的的四边是否相等，

∵四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形，

∴此测量方法不可行，不合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理．

6. 一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（    ）

A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在80%左右得到比例关系，列出方程求解即可．

【详解】解：由题意可得，×100%=80%，

解得，a=12．

故选：B．

【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

7. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．

【详解】解：依题意，得．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．

8. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时x的范围即为所求根的范围．

【详解】解：∵14.41＜15＜15.84，

∴一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2．

故选：B．

【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．

9. 如图，平行于正多边形一边直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．

【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；

B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题主要考查了相似多边形判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键．

10. 如图，边长为6的正方形ABCD中，E、F是对角线AC的三等分点，连接BE并延长交AD于点G，连接GF并延长交BC于点H，记△GEF的面积为m，△CHF的面积为n，则m＋n的值为（    ）

A.  B. 6 C.     D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，过点E作KL⊥AD于点K，交BC于点L，由E、F是对角线AC的三等分点，可证得AE＝EF＝CF，AF＝2CF，CE＝2AE ，利用正方形的性质，可求出KL，MH的长，同时可得到AD∥BC，由此可证得△AEG∽△BEC，利用相似三角形的性质求出AG的长，KE的长，同理可求出CH，MF，NF的长，然后利用三角形的面积公式求出m，n的值，然后求出m＋n的值即可．

【详解】解：过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，过点E作KL⊥AD于点K，交BC于点L．

∵E、F是对角线AC的三等分点，

∴AE＝EF＝CF，AF＝2CF，CE＝2AE   

∵正方形ABCD，

∴AD＝MN＝BC＝KL＝6，AD∥BC

∴△AEG∽△BEC，

∴

∴，EL＝2KE，

解之：AG＝3

∴KE＝2；

同理可证△CHF∽△AGF，

∴

∴

∴CH＝1.5，

MF＋NF＝6

∴MF＝4，NF＝2

∴＝＝；

∵△GEF的面积为m，△CHF的面积为n，

∴m＋n＝3＋1.5＝．

故答案为：A．

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．

二．填空题（每题3分，共15分）

11. 若，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】由得，将式子化简变形，然后代入求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故答案是：．

【点睛】本题考查比例的计算，解题的关键是掌握比例的性质．

12. 若是一元二次方程的一个根，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意将代入一元二次方程，即可求解．

【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，

∴，

解得： ．

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根是解题的关键．

13. 如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 _____米．

【答案】

【解析】

【分析】根据黄金分割比例进行求解即可．

【详解】解：∵C是线段AB靠近B的黄金分割点，

∴米，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．

14. 如图，已知在矩形中，，M为对角线上的一动点，于点E，于点F，连接．若矩形的面积是，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】连接，根据矩形的性质得，，，根据矩形的面积是得，根据，得，即可判定四边形是矩形，即，若的最小，则最小，根据，即可得．

【详解】解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∵矩形的面积是，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

若的最小，则最小，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握矩形的判定与性质．

15. 如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为_____．

【答案】

【解析】

【分析】以为邻边作正方形，延长交为，先求出，再证明出，得出即为的中点，再证明，利用相似比及勾股定理即可求解．

【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图：

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

即为的中点，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的相似比来求解．

三．解答题（共55分）

16. 解方程：x2﹣2x﹣5＝0．

【答案】x1＝1+，x2＝1﹣．

【解析】

【分析】利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．

【详解】解：x2﹣2x+1＝6，

那么（x﹣1）2＝6，

即x﹣1＝±，

则x1＝1+，x2＝1﹣．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）以原点O为位似中心，位似比为2，在y轴的左侧，画出将放大后的；

（2）直接写出放大后的的面积：_______．

【答案】（1）见解析；   

（2）10．

【解析】

【分析】（1）由位似的性质作图即可；

（2）利用勾股定理可得：，，进一步证明，所以，

【小问1详解】

解：如图所示：

【小问2详解】

解：在网格中利用勾股定理可得：，，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

故答案为：10

【点睛】本题考查了位似三角形的性质，勾股定理，在直角坐标系中作位似图形，以及考查了坐标与图形，解题的关键是掌握位似的性质进行解题．

18. 佛山是珠江三角洲的“美食之乡”，粤菜发源地之一．某学校要举行“我为佛山美食代言”的宣讲活动，主要介绍佛山的民间特色食品，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．双皮奶，B．盲公饼，C．大良蹦砂，D．佛山九层糕，参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小明和小红都参加了这项活动．

（1）小明抽中“大良蹦砂”的概率是 _________ ；

（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小明和小红抽中同一个主题的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【小问1详解】

解：（1）∵4个极具特色的主题：A．双皮奶，B．盲公饼，C．大良蹦砂，D．佛山九层糕，

∴恰好抽中“C．大良蹦砂”的概率是．

故答案为：；

【小问2详解】

解：根据题意画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小红抽中同一个主题的结果有4种，

∴小明和小红抽中同一个主题的概率为．

【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19. 端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．

（1）零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出 ______ 只粽子，利润为 ______ 元．

（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？

【答案】（1）500，400；（2）当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．

【解析】

【分析】（1）零售单价下降元，每天可多卖出200只粽子，再加上300即可得卖出的粽子数量；然后根据“降价前卖出1只粽子的利润是1元”可得降价后，卖出1只粽子的利润为元，据此乘以卖出的粽子数量即可得；

（2）根据“每天的利润每只粽子的利润每天卖出的粽子数量”可建立一个关于m的一元二次方程，解方程，取较大的根即可．

【详解】（1）由题意得：零售单价下降元，每天可多卖出200只粽子，

则该店平均每天可卖出的粽子数量为（只），

降价前卖出1只粽子的利润是1元，

降价后，卖出1只粽子的利润为（元），

则每天的利润为（元），

故答案为：500，400；

（2）由题意得：，

整理得：，

解得或，

当时，每天可卖出的粽子数量为（只），

当时，每天可卖出的粽子数量为（只），

要求卖出的粽子更多，

，

答：当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．

20. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．

（1）试判定四边形的形状，并说明理由；

（2）已知，求的长．

【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17

【解析】

【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；

（2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长．

【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：

根据旋转：

∵四边形是正方形

∴∠DAB=90°

∴∠FAE＝∠DAB=90°

∴

∴四边形是矩形，

又∵

∴矩形是正方形．

（2）连接

∵，

在中，

∵四边形是正方形

∴

在中，，又，

∴．

故答案是17．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

21. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．

（1）求证：；

（2）当， 时，求 的长；

（3）在（2）的条件下，求的面积．

【答案】（1）见解析    （2）9   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据菱形的性质得到，证得，即可得到结论；

（2）根据相似三角形对应边成比例列得，代入数值计算即可；

（3）过点B作于F，根据菱形的性质得到，求出，在中，勾股定理求出，再根据求出，即可得到的面积．

【小问1详解】

证明：∵四边形为菱形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

【小问2详解】

解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴；

【小问3详解】

过点B作于F，

∵四边形为菱形，

∴，

∴，

在中，，

∵，

∴，

∴的面积．

【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的判定定理是截图的 关键．

22. 已知正方形，E为对角线上一点．

【建立模型】

（1）如图1，连接，，求证：；

【模型应用】

（2）如图2，F延长线上一点，，交于点G．

①判断的形状并说明理由；

②若G为的中点，且，求的长．

【模型迁移】

（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，，请写出与之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）①为等腰三角形，理由见解析；②   

（3），理由见解析

【解析】

【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论；

（2）①根据（1）证明出；②过点F作于H，先求出，，进而求出,最后用勾股定理即可求出答案；

（3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，,即可判断出结论．

【小问1详解】

证明：∵是正方形的对角线，

∴，，

∵，

∴，

∴；

【小问2详解】

解：①为等腰三角形，理由：

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

由（1）知，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

②

如图，过点F作于H，

∵四边形为正方形，点G为的中点，，

∴，，

由①知，，   

∴，

∴，

在与中，∵，

∴，

∴，

∴，

在中，；

【小问3详解】

解：∵，

∴，

在中，，

∴，

由（1）知，，

由（2）知，，

∴

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键．