北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项分布练习题

第六章§4　二项分布与超几何分布

4.1　二项分布

A级 必备知识基础练

1.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)

A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91

2.[2023浙江模拟预测]若离散型随机变量X~B(5,p),且EX=,则P(X≤2)为(　　)

A. B. C. D.

3.[2023吉林长春统考模拟预测]已知随机变量X~B4,,下列表达式正确的是(　　)

A.P(X=2)= B.E(3X+1)=4

C.D(3X+1)=8 D.DX=

4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k×n-k,k=0,1,2,…,n,且Eξ=24,则Dξ的值为(　　)

A.8 B.12 C. D.16

5.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数为(　　)

①某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ;

②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;

③从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数ξ;

④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数.

A.0 B.1 C.2 D.3

6.已知随机变量ξ服从二项分布,ξ~B6,,则E(2ξ+3)=　　　,D(2ξ+3)=　　　. 

7.[2023天津南开校考模拟预测]盒中有大小相同的6个红球,4个白球,现从盒中任取1球,记住颜色后再放回盒中,连续摸取4次.设ξ表示连续摸取4次中取得红球的次数,则ξ的数学期望Eξ=　　　　　. 

8.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学通过测试的概率为　　　　. 

9.[2023河南安阳统考模拟预测]产品开发是企业改进老产品、开发新产品,使其具有新的特征或用途,以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段,需要对5个样品进行性能测试,现有甲、乙两种不同的测试方案,每个样品随机选择其中的一种进行测试,已知选择甲方案测试合格的概率为,选择乙方案测试合格的概率为,且每次测试的结果互不影响.

(1)若3个样品选择甲方案,2个样品选择乙方案,

①求5个样品全部测试合格的概率;

②求4个样品测试合格的概率.

(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3,求选择甲方案进行测试的样品个数.

10.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓是否出现音乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

B级 关键能力提升练

11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是(　　)

A.0.216 B.0.36 

C.0.432 D.0.648

12.某同学通过英语听力测试的概率为,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

13.设随机变量X,Y满足:Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,则DY=(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

14.(多选题)某城镇小汽车的家庭普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是(　　)

A.这5个家庭均有小汽车的概率为

B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

15.[2023河南南阳第五中学校考阶段练习]排球比赛实行“五局三胜制”,根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为　　　　　. 

16.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为　　　、　　　. 

17.[2023四川南充高级中学校考阶段练习]强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率均为;该考生报考乙大学,每门科目通过的概率依次为,m,其中0<m<1.

(1)若m=,分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率;

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策,当该考生更希望通过乙大学的笔试时,求m的取值范围.

C级 学科素养创新练

18.甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的概率相等.

(1)求乙以4比1获胜的概率;

(2)求甲获胜且比赛局数多于5局的概率.

参考答案

§4　二项分布与超几何分布

4.1　二项分布

1.B

2.C　因为X~B(5,p),所以EX=np=,解得p=,

所以P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=23+14+05=故选C.

3.C　因为X~B4,,所以EX=4,DX=41-=,因此E(3X+1)=3EX+1=3+1=5,D(3X+1)=32DX=9=8,因此选项B,D不正确,选项C正确,又因为P(X=2)=21-2=,所以选项A不正确,故选C.

4.A

5.B　对于①,某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ~B(10,0.6),故①正确;

对于②,对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ,每次试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,不是二项分布,故②错误;

对于③,虽然是有放回取球,但随机变量ξ的定义是直到摸出白球为止,即前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义,故③错误;

对于④,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率是不相等的,故ξ表示n次抽取中出现次品的件数不服从二项分布,故④错误.

6.9　6　∵随机变量ξ服从二项分布,

∴Eξ=6=3,Dξ=6

则E(2ξ+3)=2Eξ+3=9,D(2ξ+3)=22×Dξ=6.

7　采用有放回的取球,每次取得红球的概率都相等,均为,取得红球次数ξ的可能取值为0,1,2,3,4,则随机变量ξ服从二项分布ξ~B4,,则Eξ=4

8.1-(1-p)n

9.解 (1)①因为3个样品选择甲方案,2个样品选择乙方案,所以5个样品全部测试合格的概率为P=3×2=

②4个样品测试合格分两种情况,

第一种情况,3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,此时概率为P1=31-=;

第二种情况,2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,

此时概率为P2=2×1-×2=;

所以4个样品测试合格的概率为P1+P2=

(2)设选择甲方案测试的样品个数为n,n=0,1,2,3,4,5,则选择乙方案测试的样品个数为5-n,并设通过甲方案测试合格的样品个数为X,通过乙方案测试合格的样品个数为Y,当n=0时,此时所有样品均选择方案乙测试,则Y~B5,,所以E(X+Y)=EY=5<3,不符合题意;

当n=5时,此时所有样品均选择方案甲测试,则X~B5,,所以E(X+Y)=EX=5>3,符合题意;

当n=1,2,3,4时,X~Bn,,Y~B5-n,,

所以E(X+Y)=EX+EY=n+

若使E(X+Y)=3,则n≥3,

由于n=1,2,3,4,故n=3,4时符合题意.

综上,选择甲方案测试的样品个数为3,4或者5时,测试合格的样品个数的期望不小于3.

10.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.

根据题意,有

P(X=10)=1×1-2=,

P(X=20)=2×1-1=,

P(X=100)=3×1-0=,

P(X=-200)=0×1-3=

所以X的分布列为

 (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为

1-P(A1A2A3)=1-3=1-

因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是

11.D　12.B

13.A　∵随机变量X,Y满足:Y=3X-1,X~B(2,p),P(X≥1)=,∴P(X=0)=1-P(X≥1)=(1-p)2=,

解得p=,∴X~B2,,

∴DX=21-=,∴DY=9DX=9=4.

14.ACD　由题得小汽车的普及率为选项A,这5个家庭均有小汽车的概率为5=,故A成立;选项B,这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为32=,故B不成立;选项C,这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车,故C成立;选项D,这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4+5=,故D成立.

15　乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜.乙队以3∶0获胜,即乙队三场全胜,概率为3=;乙队以3∶1获胜,即乙队前三场两胜一负,第四场获胜,概率为2;乙队以3∶2获胜,即乙队前四场两胜两负,第五场获胜,概率为2×2所以,在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为

16.60　96

17.解 (1)设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A,“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B,

根据题意可得P(A)=12=,

P(B)=2+2=

(2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X,报考乙大学通过的科目数为Y,根据题意可知,X~B3,,所以,EX=3,P(Y=0)=(1-m)=(1-m),P(Y=1)=(1-m)+(1-m)+m=m,P(Y=2)=(1-m)+m+m=m,P(Y=3)=m=m.

则随机变量Y的分布列为

EY=m++m+m=+m,

若该考生更希望通过乙大学的笔试,有EY>EX,

所以+m>

又因为0<m<1,所以<m<1,

所以m的取值范围是,1.

18.解 (1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是,记“乙以4比1获胜”为事件A,则A表示前4局乙赢了3局甲赢了1局,且第五局乙赢,所以P(A)=3

(2)记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.

因为甲以4比2获胜,表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第7局比赛,故甲以4比2获胜的概率为3×2

甲以4比3获胜,表示前6局比赛中甲赢了3局且第七局比赛中甲赢了,故甲以4比3获胜的概率为3×3,所以P(B)=