2022-2023学年浙江省杭州市西湖区文理中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市西湖区文理中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区文理中学八年级第一学期月考数学试卷（12月份）
一、选择题（本小题有10小题，每小题3分，共30分）
1．点P（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
2．若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为（　　）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
3．点A的坐标为（0，﹣1），则点A位于（　　）
A．x轴正半轴 B．x轴负半轴 C．y轴正半轴 D．y轴负半轴
4．已知一次函数y＝x+1，则该函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使△ABC≌△DBE，需补充的条件不可以是（　　）

A．AC＝DE B．∠A＝∠D C．AB＝BD D．AC＝BD
6．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　　）
A．若a＝b，则a2＝b2
B．若ab＝1，则a与b互为倒数
C．直角三角形两个锐角互余
D．角平分线上的一点到角的两边距离相等
7．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围（　　）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3≤a≤﹣2 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3＜a＜﹣2
9．如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（　　）

A．45° B．a﹣45° C．a D．90°﹣a
10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④a2﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（　　）

A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③
二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）
11．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 　 　．

12．等腰三角形一边长等于4，另一边长等于9，它的第三边长是 　 　．
13．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（2，0）、B（0，3），当x＞0时，y的取值范围是 　 　．

14．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝20，则S△ABE＝　 　．

15．如图是某汽车行驶的路程s（km）与时间t（m/n）的函数关系图，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是　 　 km/min；
（2）汽车在中途停了　 　min；
（3）当16≤t≤30时，s与t的函数关系式：　 　．

16．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　．

三、解答题（本小题有7小题，共66分）
17．解不等式（组）：
（1）1﹣＝2+x；
（2）．
18．（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；
（2）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，求a的取值范围．
19．如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数．

20．由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：

A商品
B商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
21．已知点P（2a﹣10，1﹣a）位于第三象限，请回答以下问题：
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）若点P的横、纵坐标都是整数，且a为奇数，试求出a的值．
（3）在（2）的条件下，若点Q是由点P向上移动5个单位，向右平移5个单位得到的，是否在x轴正半轴上存在一点M，使得△PQM的面积为10．若存在，写出点M的坐标，若不存在、说明理由．

22．一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
23．在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．

（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：　 　．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．



参考答案
一、选择题（本小题有10小题，每小题3分，共30分）
1．点P（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解：点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2．若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为（　　）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【分析】首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，则最大边上的中线即为斜边上的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出结果．
解：∵62+82＝100＝102，
∴三边长分别为6cm、8cm、10cm的三角形是直角三角形，最大边是斜边为10cm．
∴最大边上的中线长为5cm．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．点A的坐标为（0，﹣1），则点A位于（　　）
A．x轴正半轴 B．x轴负半轴 C．y轴正半轴 D．y轴负半轴
【分析】根据y轴上的点的坐标特征，即可解答．
解：点A的坐标为（0，﹣1），则点A位于y轴负半轴，
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键．
4．已知一次函数y＝x+1，则该函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以写出该函数图象经过哪几个象限，从而可以判断哪个选项符合题意．
解：∵y＝x+1，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使△ABC≌△DBE，需补充的条件不可以是（　　）

A．AC＝DE B．∠A＝∠D C．AB＝BD D．AC＝BD
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
解：A、AC＝DE，BC＝BE，由HL即可判定Rt△ABC≌Rt△DBE，故A不符合题意；
B、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE＝90°，BC＝BE，由AAS判定△ABC≌△DBE，故B不符合题意；
C、AB＝BD，∠ABC＝∠DBE＝90°，BC＝BE，由SAS判定△ABC≌△DBE，故C不符合题意；
D、AC是△ABC是的斜边，BD是△DBE的直角边，AC＝BD，不能判定△ABC≌△DBE，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
6．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　　）
A．若a＝b，则a2＝b2
B．若ab＝1，则a与b互为倒数
C．直角三角形两个锐角互余
D．角平分线上的一点到角的两边距离相等
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、错误，逆命题是“若a2＝b2，则a＝b”，因为当a2＝b2时a，b可以相等，也可以互为相反数；
B、正确，逆命题是“若a与b互为倒数，则ab＝1”，是真命题；
C、正确，逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题；
D、正确，逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题．
故选：A．
【点评】本题考查了角的互余，倒数，角的平分线的性质，数的平方与平方根的概念．
7．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．
B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．
C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．
D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围（　　）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3≤a≤﹣2 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3＜a＜﹣2
【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．
解：不等式组整理得，
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1．
则实数a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（　　）

A．45° B．a﹣45° C．a D．90°﹣a
【分析】连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°﹣∠BAD．
解：如图，连接BE，过A作AF⊥CD于F，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠BAD＝a，
又∵∠AFE＝90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°﹣，
故选：D．

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOEF，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④a2﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（　　）

A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③
【分析】仔细观察图象：①根据函数图象直接得到结论；
②观察函数图象可以直接得到答案；
③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；
④根据两直线交点可以得到答案．
解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y2＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d
∴3a﹣3c＝d﹣b，
∴a2﹣b＝3（a﹣c）．故④说法错误，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）
11．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 　x≥﹣2　．

【分析】数轴上定界点是实心的，所以解集含定界点，方向向右，所以是大于．
解：数轴表示的不等式的解集为：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
12．等腰三角形一边长等于4，另一边长等于9，它的第三边长是 　9　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18，
∴腰的不应为4，而应为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（2，0）、B（0，3），当x＞0时，y的取值范围是 　y＜3　．

【分析】根据图象可知，直线从左往右逐渐下降，即y随x的增大而减小，又x＝0时，y＝3，由此求出当x＞0时，y的取值范围．
解：∵直线y＝kx+b交坐标轴于A（2，0）、B（0，3），
∴y随x的增大而减小，且x＝0时，y＝3，
∴当x＞0时，y＜3．
故答案为y＜3．
【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，在解答时，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝20，则S△ABE＝　5　．

【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点D为BC的中点得到S△ABD＝10，然后利用E为AD的中点得到S△ABE＝S△ABD．
解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×20＝10，
∵E为AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．如图是某汽车行驶的路程s（km）与时间t（m/n）的函数关系图，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是　　 km/min；
（2）汽车在中途停了　7　min；
（3）当16≤t≤30时，s与t的函数关系式：　S＝2t﹣20　．

【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式计算即可得解；
（2）根据停车时路程没有变化列式计算即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
解：（1）平均速度＝＝km/min；

（2）从9分到16分，路程没有变化，停车时间t＝16﹣9＝7min．

（3）设函数关系式为S＝kt+b，
将（16，12），C（30，40）代入得，
，
解得．
所以，当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式为S＝2t﹣20，
故答案为：，7，S＝2t﹣20．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，比较简单，准确识图并获取信息是解题的关键．
16．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　1.5　．

【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．
解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（本小题有7小题，共66分）
17．解不等式（组）：
（1）1﹣＝2+x；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）去分母得：3﹣（x﹣1）＝6+3x，
去括号得：3﹣x+1＝6+3x，
移项得：﹣x﹣3x＝6﹣3﹣1，
解得：x＝﹣．
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤，
∴不等式组的解集为﹣1＜x．
【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
18．（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；
（2）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）的值，再根据x＞y判断即可；
（2）根据不等式的性质3得出a﹣3＜0，再求出答案即可．
解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5，
理由是：∵x＞y，
∴y﹣x＜0，
∴（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）
＝﹣3x+5+3y﹣5
＝3y﹣3x
＝3（y﹣x）＜0，
∴﹣3x+5＜﹣3y+5；

（2）∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
即a的取值范围是a＜3．
【点评】本题考查了不等式的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
19．如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数．

【分析】（1）利用SAS即可证明；
（2）由（1）得△ABE≌△CAD，则∠ABE＝∠CAD，再利用三角形外角的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠ABE+∠BAO＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠OBD+∠BOD＝45°+60°＝105°，
∴∠ADC的度数为105°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△CAD是解题的关键．
20．由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：

A商品
B商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；
（2）由用不超过2000元资金一次性购进A，B两种商品，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；
（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，可获得最大利润，最大利润为：
y＝7×50+300＝650（元），
100﹣x＝100﹣50＝50（件）．
答：当购进A种商品50件，B种商品50件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润650元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题．
21．已知点P（2a﹣10，1﹣a）位于第三象限，请回答以下问题：
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）若点P的横、纵坐标都是整数，且a为奇数，试求出a的值．
（3）在（2）的条件下，若点Q是由点P向上移动5个单位，向右平移5个单位得到的，是否在x轴正半轴上存在一点M，使得△PQM的面积为10．若存在，写出点M的坐标，若不存在、说明理由．

【分析】（1）点P的纵坐标为﹣3，即1﹣a＝﹣3；解可得a的值；
（2）由题意得出，解不等式组得出1＜a＜5，则可得出答案；
（3）Q（1，3），设M（x，0），过点Q作x轴的平行线DE，过点P作PD⊥DE于点D，过点M作ME⊥DE于点E，根据三角形面积可求出答案．
解：（1）∵点P （2a﹣10，1﹣a）位于第三象限，
∴1﹣a＝﹣3，
∴a＝4；
（2）∵点P （2a﹣10，1﹣a）位于第三象限，
∴，
∴1＜a＜5，
∵点P的横、纵坐标都是整数，a为奇数，
∴a＝3；
（3）∵a＝3，P （2a﹣10，1﹣a），
∴P（﹣4，﹣2），
∵点Q是由点P向上移动5个单位，向右平移5个单位得到的，
∴Q（1，3），
设M（x，0），
过点Q作x轴的平行线DE，过点P作PD⊥DE于点D，过点M作ME⊥DE于点E，
∵△PQM的面积为10，
∴）×3＝10，
∴x＝．
∴M（，0）．

【点评】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平移的性质，一元一次不等式组的解法，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22．一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值即可；
（2）分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值5，然后代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后代入函数关系式可计算对应a的值；
（3）对任意实数x，y1＞y2都成立，则直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，所以a＝k且kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，解得即可．
解：（1）把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝﹣1；
（2）①a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y有最大值5，把x＝2，y＝5代入函数关系式得5＝2a﹣a+1，解得a＝4；
②a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值5，把x＝﹣1，y＝5代入函数关系式得 5＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣2，
所以a＝4或a＝﹣2，
故此时一次函数y1的表达式为y＝4x﹣3或y＝﹣2x+3；
（3）依题意，得k＝a，
∴y1＝kx﹣k+1，
∵对任意实数x，y1＞y2都成立，
∴2k﹣4＜﹣k+1，
解得k＜，
∴k的取值范围是k＜且k≠0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
23．在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．

（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：　EF＝AC　．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．

【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到EF＝CG，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明△ACH是等腰直角三角形，即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，

∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；

（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，

与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，

与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：

∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．