2023年浙江省杭州市西湖区文理中学中考三模数学试题（含解析）

2023年浙江省杭州市西湖区文理中学中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（ ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．不等式的解为（　　）

A． B． C． D．

5．某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）

A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数

6．如图，在中，，，则的度数为（    ）

A．35° B．45° C．55° D．65°

7．某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝m，∠BAC＝α，则OC的长为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在△ABC中，O为AC边上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆切AB于点B，若，则△ABC的面积为（   ）

A． B． C． D．

10．若二次函数的解析式为．若函数图象过点和点，则q的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算：________．

12．分解因式：_____．

13．一个布袋里放有3个红球、2个白球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 _____．

14．如图，已知四边形内接于，，则的度数是_______．

15．如图，在菱形中，点E为中点，连接，将沿直线折叠，使点B落在上的点处，连接并延长交于点F，则的值为 _____．

16．如图，的半径于点C，连接并延长交于点E，连接，若，，

（1）的半径为 _____；

（2）的值为 _____．

三、解答题

17．下面是亮亮同学计算一道题的过程：

②

③

(1)亮亮计算过程从第 步出现错误的；（填序号）

(2)请你写出正确的计算过程．

18．为了解某学校疫情期向学生在家体有锻炼情况，从全体学生中机抽取若干名学生进行调查．以下是根据调查数据绘刺的统计图丧的一部分，根据信息回答下列问题．

(1)本次调查共抽取__________名学生．

(2)抽查结果中，B组有__________人．

(3)在抽查得到的数据中，中位数位于__________组（填组别）．

(4)若这所学校共有学生800人，则估计平均每日锻炼超过25分钟有多少人？

19．如图，已知四边形 ABCD 中，AB＝CD，AE⊥BD 于点 E， CF⊥DB 于点 F，BE＝CF．

(1)求证：△ABE≌△DCF．

(2)若点 E 是 DF 中点，CF=4，BC=5，求 AD 的长．

20．已知点在反比例函数图象上．

(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标；

(2)已知一次函数的图象经过点A，，求一次函数的表达式；

(3)直接写出不等式的解集．

21．如图，在中，，是的中线，作于F，作交于E．

(1)求证：；

(2)若，，求及的长．

22．已知抛物线．

(1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上；

(3)是抛物线上的两点，且总满足，求的最值．

23．如图是的直径，A是上异于C、D的一点，点B是延长线上的一点，连接，且．

(1)求证：直线是的切线；

(2)若，

①求的值；

②作的平分线交于点P，交于点E，连接，若，求的值（用含k的代数式表示）．

参考答案：

1．C

【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．

【详解】解：∵，

∴的倒数是.

故选C

2．C

【分析】根据有理数的乘方计算法则即可判断A、B；根据同底数幂乘法计算法则即可判断C；根据负整数指数幂计算法则即可判断D．

【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；

B、，原式计算错误，不符合题意；

C、，原式计算正确，符合题意；

D、，原式计算错误，不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查了有理数乘方，同底数幂乘法和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．

3．B

【分析】根据科学记数法的表示计算即可；

【详解】，

故答案选B．

【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键．

4．A

【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可.

【详解】

，

，

故选A.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1.

5．A

【分析】利用中位数、平均数、方差、众数的定义来求解即可.

【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．

故选：A．

【点睛】本题主要考查中位数、平均数、方差、众数的定义，属于基础题型.

6．A

【分析】利用平行四边形的性质，平行线定理和等腰三角形的性质求答；

【详解】解：ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠B=180°－∠C=110°，

△BAE中，BA=BE，

∴∠BAE=∠BEA=（180°－∠B）=35°，

故选：A

【点睛】本题考查平行线定理（两直线平行，同旁内角互补），等腰三角形的性质，平行四边形的性质（两组对边平行且相等），熟记其性质是解题关键．

7．C

【分析】根据“第一次购买的单价＝第二次购买的单价”可列方程．

【详解】解：设该书店第一次购进x套，

根据题意可列方程：，

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

8．B

【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AO=CO，再解直角三角形求出即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AO=CO，

∵AB＝m，∠BAC＝α，

∴在Rt△ABC中，AC=，

∴OC=．

故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．

9．A

【分析】过点作，连接，根据切线的性质结合已知条件可得是等腰直角三角形，然后求得，即可根据三角形的面积公式求解．

【详解】如图，过点作，连接，

以O为圆心，OC为半径的半圆切AB于点B，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

．

故选A．

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形面积公式，掌握切线的性质是解题的关键．

10．A

【分析】根据二次函数的解析式为，可以得到该函数的对称轴，再根据函数过点和点，可以得到，然后即可用含m的代数式表示出p，然后根据在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于m的二次函数，再根据m的取值范围，即可得到q的取值范围．

【详解】解：∵二次函数的解析式为，

∴该函数的对称轴为直线，

∵函数过点和点，

∴，

∴，

∴，

∴当时，q随m的增大而减小，

∵，

∴当时，q取得最大值4；当时，q取得最小值，

∴q的取值范围是，

故选：A．

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到q和m的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．

11．1

【解析】先进行算术平方根的运算，然后再进行减法运算即可．

【详解】解：-2=3-2=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及了算术平方根，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键，计算题仔细最为重要．

12．

【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．

【详解】，

故答案为：a（a+2）．

【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．

13．

【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可．

【详解】解：∵从放有3个红球、2个白球和2个蓝球布袋中摸出一个球，共有7种等可能结果，其中摸出的球是红色的有3种结果，

∴从布袋中任意摸出1个球，摸到红球的概率是．

【点睛】此题主要考查了概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

14．

【分析】根据圆内接四边形的性质求解．

【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=68°，

∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-68°=112°．

故答案为：112°．

【点睛】考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．

15．/0.5

【分析】如图，延长、，交于，由折叠的性质可得，，，由E为中点，可得，由菱形的性质可得，，，则，，，证明，则，，证明，则，计算求解即可．

【详解】解：如图，延长、，交于，

由折叠的性质可得，，，

∵E为中点，

∴，

由菱形的性质可得，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

16．     5    

【分析】（1）设半径为r，根据垂径定理得到，，，根据的勾股定理求出r的值；

（2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出为直角三角形，根据勾股定理求出，，，的长度，然后按定义进行计算．

【详解】解：（1）∵的半径于点C，，

∴，

设的半径为r，则，在中，

∵，

∴，即，

解得

故答案为：5．

（2）连接，过点C作于点F

∵是的直径，  

 ∴，在中，∵，，

∴

∵在中，，，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

故答案为：．

【点睛】本题考差了勾股定理、垂径定理、锐角三角函数的求值， 记忆理解相关定义，性质是解题的关键．

17．(1)①

(2)

【分析】（1）根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减， 同级运算按照从左到右的顺序进行，即可；

（2）根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减，即可．

【详解】（1）∵在的计算过程中，先计算了乘法，而除法和乘法是同级，应该按照从左到右的顺序进行

∴应该先计算除法

∴错误．

故答案为：．

（2）

．

【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．

18．(1)60

(2)18

(3)C

(4)440

【分析】（1）用D组的人数除以其所占百分比可得；

（2）总人数减去其他类别人数即可求得B组的人数；

（3）根据中位数的定义即可求解；

（4）用总人数乘样本中平均每日锻炼超过25分钟的人数所占比例即可求解．

【详解】（1）解：本次调查共12÷20%=60（人），

故答案是：60；

（2）解：抽查结果中，B组有60-（9+21+12）=18（人），

故答案是：18；

（3）解∵共有60个数据，其中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均落在C组，

∴在抽查得到的数据中，中位数位于C组，

故答案是：C；

（4）解：800=440（人），

答：平均每日锻炼超过25分钟有440人．

【点睛】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是根据频数分步图和扇形统计图的关联信息求出被调查学生的总数．

19．(1)见解析

(2)

【分析】

（1）根据直角三角形全等判定定理HL证明即可．

（2）根据勾股定理可求出BF长，根据△ABE≌△DCF，即可得EF长，再根据题意用勾股定理即可解得AD 的长．

【详解】（1）

∵AE⊥BD ，CF⊥DB

∴

∵BE＝CF，AB＝CD

∴（HL）

（2）

∵CF⊥DB

∴为直角三角形

∴在中，

∵

∴，

∴

∵点 E 是 DF 中点

∴，

∴

∵AE⊥BD 于点 E

∴为直角三角形

∴

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定（HL）及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．

20．(1)反比例函数解析式为，

(2)

(3)或

【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值即可得到答案；

（2）利用待定系数法求解即可；

（3）利用图象法求解即可．

【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，

∴，

∴，

∴，

∴反比例函数解析式为，；

（2）解：把、代入中得：

，

∴，

∴一次函数的表达式为

（3）解：由函数图象可得，当或时反比例函数图象在一次函数图象的上方，

∴不等式的解集为或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

21．(1)见详解

(2)，

【分析】（1）利用是的中线，可得，根据等边对等角可得，结合，可得；

（2）根据，可得，即有，再利用勾股定理可得，接着，可得，根据，可得，问题随之得解．

【详解】（1）∵在中，，是的中线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）∵，，，

∴，即，

∵在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴即：，

即：，．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，掌握平行线分线段成比例是解答本题的关键．

22．(1)抛物线的对称轴为，其顶点坐标为

(2)点不在抛物线上

(3)的最大值为5，最小值为3

【分析】（1）将代入抛物线解析式，然后化成顶点式，即可获得答案；

（2）结合二次函数图像的性质可确定该抛物线的对称轴为，进而求得该抛物线解析式，然后判断点是否在抛物线上即可；

（3）结合抛物线解析式可得该抛物线开口向上，其对称轴为，已知点在抛物线对称轴右侧．分两种情况讨论：①当点在对称轴右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件；②当点在对称轴左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件．然后列关于的不等式，求解即可．

【详解】（1）解：当时，

该抛物线解析式为，

∴抛物线的对称轴为直线，其顶点坐标为；

（2）点不在抛物线上，理由如下：

当时，，

∴，即，

当时，，

∴，即，

∴该抛物线的对称轴为，

此时可有，

∴该抛物线解析式为，

令，则，

∴点不在抛物线上；

（3）对于抛物线，

∵，

∴该抛物线开口向上，其对称轴为直线，

∴点在抛物线对称轴右侧，

∵，

①当点在对称轴右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件，

∴且，

解得；

②当点在对称轴左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件，

∴且，

解得．

综上所述，当时，满足，

∴的最大值为5，最小值为3．

【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识，理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．

23．(1)证明见解析

(2)①；②

【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；

（2）①先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；

②在中，，，解得，，证明，得到，则，求出，则．

【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵是直径，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

又∵为半径，

∴直线是的切线；

（2）解：①解：∵，，

∴，

∴，

设，则，

∴，

在中，，

在中，，

即；

②在中，，，

∴

解得，，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．