新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-10 导数与数列，导数与概率统计（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-10 导数与数列，导数与概率统计（含解析），共36页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19733" 专题3-10导数与数列，导数与概率统计 PAGEREF _Tc19733 \h 1
\l "_Tc14568" PAGEREF _Tc14568 \h 1
\l "_Tc12462" 题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 PAGEREF _Tc12462 \h 1
\l "_Tc20104" 题型二：导数与概率统计 PAGEREF _Tc20104 \h 10
\l "_Tc164" PAGEREF _Tc164 \h 22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
下面证明： SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点．
(2)证明：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
要证函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，只需证方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个根，
即证 SKIPIF 1 < 0 只有一个根，即 SKIPIF 1 < 0 只有一个根．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个根，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点．
（2）
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立（在 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
常见的放缩不等式如下：
① SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
② SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
⑤当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
⑥ SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
【变式演练】
1．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
(1)
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
又 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由（1）知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明：对于任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 都成立.
【答案】(1)增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，减区间是 SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
(1)
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极值点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，减区间是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由（1）知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，对∀x1 SKIPIF 1 < 0 (0，＋∞)，∃x2 SKIPIF 1 < 0 (－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明： SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)证明见解析
(1)
由已知得f′(x)＝ SKIPIF 1 < 0 －a，∴f′(2)＝ SKIPIF 1 < 0 －a＝－ SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝1.
于是f′(x)＝ SKIPIF 1 < 0 －1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当x SKIPIF 1 < 0 (0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x SKIPIF 1 < 0 (1，＋∞)时，f′(x)