新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-4 构造函数解不等式（选填）（含解析）

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专题3-4 构造函数解不等式（选填）
目录
1
题型一：构造或(，且)型 1
题型二：构造或(，且)型 9
题型三：构造或型 14
题型四：构造或型 18
题型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 24
29
一、单选题 29
二、多选题 35
三、填空题 37


题型一：构造或(，且)型
【典例分析】
例题1．（2022·福建龙岩·高二期末）已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为___________.
【答案】
【详解】由题意得，构造，
则，则在R上为单调递增函数，
因为，所以，
所以可变形为，
因为在R上为单调递增函数，
所以，则的解集为
故答案为：
例题2．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知定义在上的偶函数满足：当时，恒有．若，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，有，可得，
构造函数，，
即函数在上单调递减，
函数为偶函数，由可知函数为偶函数，
，，，
由单调性可得，
故选：A
例题3．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令且，则，又，
当时，当时，
所以在上递减，在上递增，
由为偶函数，则，故也为偶函数，
而，且等价于，
所以，故.
故选：D
例题4．（2022·安徽滁州·高二期中）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则．
因为对于恒成立，
所以，即在上单调递增，
又，，，且，
所以，即．
故选：A
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
①
高频考点1： 高频考点2
②
高频考点1： 高频考点2
【变式演练】
1．（2021·陕西汉中·模拟预测（文））已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则，
由题意知当时，，即，
故在时单调递增，
故 ，即，
故选：D.
2．（2022·江苏连云港·高三期中）设函数的导函数为，对任意，都有成立，则（    ）
A． B．
C． D．与的大小不确定
【答案】C
【详解】设，则，由已知可知，当时，
成立，所以，
因此函数在时单调递减，
因为，所以，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
因为当时，有，
所以当时，，
所以在上为增函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以为R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
由，得
，
，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以，得，
所以不等式的解集为，
故选：C
4．（2022·河南·南阳中学高二阶段练习（理））函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，
则，
所以在单调递增，
不等式化为，
即，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
5．（2022·河北·唐山一中高二期中）在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
，，在上单调递增，
，即，.
故选：A.
5．（2022·辽宁·北镇市满族高级中学高三阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______.
【答案】
【详解】令，
则当时，，所以在单调递减，
因为是定义在R上的奇函数，所以是偶函数，在单调递增，
则，
由可得，
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
6．（2022·湖北·高二期中）设函数是奇函数的导函数．，当时，，则使得成立的的取值范围为______．
【答案】
【详解】令，当时，，
所以函数在上为减函数，
又因为为奇函数，的定义域为，
所以，
所以为偶函数，得在上为增函数，
因为，所以，
作出的大致图象如图所示，
当时，，得，
当时，，得
所以的取值范围为
故答案为：

题型二：构造或(，且)型
【典例分析】
例题1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】构造函数，
所以在上递增，
所以，
即.
故选：D
例题2．（2022·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，则
因为，所以，所以在上单调递减，
令，则
所以当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以，即，
所以，即，即
故选：C
例题3．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的范围是______．
【答案】
【详解】解：令 ，则

即的范围是.
故答案为：
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
① 高频考点1：
② 高频考点1：
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（    ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】令，则，
所以函数在上单调递减，所以，，
即，，故，．
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中（文））设定义域为R的函数满足，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令g（x）＝，则＝＞0，
故g（x）在R上单调递增，
不等式ex﹣1f（x）＜f（2x﹣1），
即＜，
故g（x）＜g（2x﹣1），
故x＜2x﹣1，解得：x＞1，
故选：B.
3．（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
则，
因为，
所以，
即函数在定义域上单调递减，
因为，
所以不等式等价于，等价于，
解得，
故不等式的解集为.
故选：D．
4．（多选）（2022·全国·高二专题练习）已知是函数的导函数，函数对任意的，都满足，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】令（其中），，
因为，，所以，
所以在R上单调递增，
所以，即，即，所以A正确，B错误；
，即，即，所以C错误，D正确.
故选：AD.
5．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是______.
【答案】或
【详解】设，
因为，所以，
所以在上单调递增，
由，则，即，
所以，解得或.
故答案为：或
题型三：构造或型
【典例分析】
例题1．（2021·重庆市实验中学高二阶段练习）已知函数对任意，满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：令，则，
因为函数对任意，满足，
所以时，，
所以在上单调递增，
对于A，因为，所以，，得，所以A错误，
对于B，因为，所以，即，得，所以B正确，
对于C，因为，所以，即，得，所以C错误，
对于D，因为，所以，即，即，所以D错误，
故选：B
例题2．（2022·全国·高二专题练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【详解】变形为，
变形为，
故可令g(x)＝f(x)sinx，，
则，
∴g(x)在单调递减，
不等式即为g(x)＜g()，
则，
故答案为：.
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
① ②
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，，
设，则，
则在上为增函数，
对于A，因为，所以，
即，得，所以A错误，
对于B因为，所以，
即，得，所以B错误，
对于C，因为，所以，
即，得，所以C错误，
对于D，因为，所以，
即，得，所以D正确，
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以，
因为，
所以，
所以在上为减函数，
由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：
题型四：构造或型
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，
，
因为，
所以，
所以在上单调递减，
又，
所以，
解得
所以.
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设函数，则，
因为，所以，
所以在上是增函数，
，，，
所以，
故选：A
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
①；②
【变式演练】
1．（多选）（2022·全国·高二课时练习）已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则下列选项中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】令，，则.
因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，即，，故A错误；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错误；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD.
2．（多选）（2021·江苏·高二单元测试）已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（    ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】∵偶函数对于任意的满足，
且，
∴可构造函数，则，
∴为偶函数且在上单调递增，
∴，，
，
由函数单调性可知，即，
∴BD对，A错，
对于C，，∴C正确，
故选：BCD．
3．（多选）（2022·山东·日照一中高三阶段练习）已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】令，其中，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
对于A选项，因为，则，即，
所以，，A对；
对于B选项，，
因为，则，即，
所以，，即，B对；
对于CD选项，，
因为，则，即，
所以，，即，C对D错.
故选：ABC.
4．（多选）（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】构造函数，其中，则，
∵对于任意的满足，
∴ 当时，，则函数在上单调递增，
又函数是偶函数，，∴，
∴在上为偶函数，
∴函数在上单调递减．
∵，则，即，即，化简得，A正确；
同理可知，即，即，化简得，B正确；
，且即，即，化简得，C错误；
，且，即，即，化简得，D正确．
故选：ABD.
题型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
【典例分析】
例题1．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则.
因为，所以，即，
所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得
故选：A
例题2．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知是定义在上的函数，是其导函数，若，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数，则，即函数在上单调递增，
而，即，又，因此
，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
故选：B
例题3．（2022·山西大附中三模（理））已知定义在上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于的不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，
因为，
所以．
令，则在R上单调递增．
又，，
所以，．
因为，
所以，即，
所以，
所以．
故选：C．
【变式演练】

1．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：令，    
因为定义在上的函数满足，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以不等式可转化为，即，
所以ex＞10，
所以x＞ln10，
所以不等式的解集为.
故选：B.
2．（多选）（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）定义在上函数的导函数为，满足则下列正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】解：令，则，
，，即恒成立，
为上的单调递增函数，则，
即，则，故选项A错误；
，，
，故选项B正确；
，，
，即，选项D正确．
所以，所以
故选项C正确，
故选：BCD．
3．（多选）（2022·重庆·高二阶段练习）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【详解】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：AB
4．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】令，
则，
因为，
所以，
所以在上单调递增；
又因为.
不等式,即为，即，
所以，
所以，
所以不等式的解集为：.
故答案为：.

一、单选题
1．（2022·山西吕梁·高二期末）设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（    ）
A． B．
C． D．a，b的大小无法判断
【答案】A
【详解】设，，
所以函数在单调递增，即，
所以，那么，即.
故选：A
2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，，
变换可得：
，
分析可得，，，，，
，，所以函数在上单调递增，
所以，即，
故选：A.
3．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知偶函数的定义域为，，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令函数，
因为是偶函数，
所以也是偶函数．
当时，因为．
所以在上单调递增．
因为，
所以不等式等价于，
所以，即．
故选：D.
4．（2021·陕西汉中·模拟预测（理））已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】构造函数，得，
由题知时，，所以，故在上单调递增，
，即，即，
故选：.
5．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数的导函数满足，则必有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，得.
设，，则，
故在上单调递减，
则，
则，，
但由于，，，的正负不确定，
所以，都未必成立.
故选：D
6．（2021·四川·仁寿一中高二阶段练习（文））已知函数是定义域R上的可导函数，其导函数为，对于任意的恒成立，则以下选项一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令，则，
因为对于任意的恒成立，
所以，所以在R上递减，
因为，所以，
所以，即，所以A正确，C错误，
因为，所以，
所以，即，所以BD错误，
故选：A
7．（2019·云南师大附中高三阶段练习（文））已知定义在上的函数是其导函数，且满足,则不等式的解集为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则在上为增函数，又，
可化为，即，
故选：
8．（2021·陕西渭南·高三阶段练习（文））已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，令
所以，
所以在时单调递增，
对于A，由以上结论得即
即，故A正确；
对于B，由以上结论得即
即，故B错误；
对于C，因为，
故只用判断，
由A选项知，
但无法判断是否成立，故C错误；
对于D，只用判断是否成立，
根据题设条件，无法判断是否成立，故D错误.
故选:A.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（    ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【详解】令，所以，
因为，，所以，所以在上单调递增，
又，可得的解集为.
故选：CD.
10．（2020·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】设，，，
则，.
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，，
即，即.
故选：BD.
11．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】设，则.
因为，所以，则在上单调递增.
因为，所以，即，所以，则A正确；
因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误；
因为，所以，则，所以，则C正确；
因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误.
故选：AC
12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ）
A．< B．>0
C．> D．>
【答案】CD
【详解】令，则，
因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD
三、填空题
13．（2020·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则不等式（2）的解集为______.
【答案】
【详解】当时，由，
得，即．
令，则在，，上也为偶函数，
且当时，总成立，在上是增函数．
不等式（2）可化为（2），
则，又，，，解得，，．
故答案为：
14．（2020·广东·高二期末）已知定义在实数集R上的函数满足且导函数则不等式的解集为______________
【答案】
【详解】设，则，所以函数单调递减，
则将不等式变形：，即：，
由单调性：，解得：.
15．（2022·全国·高二专题练习）设函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为______________.
【答案】
【详解】令,则,
因为,
所以,所以是上的增函数,
不等式等价于,
因为,所以,
等价于,解得,
即不等式的解集为.
故答案为：
16．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，则不等式的解集为_________．
【答案】
【详解】令，所以，所以在上单调递增，且，因为，所以，
又因为，
所以，所以，所以，
所以，所以解集为.
故答案为：.
17．（2022·全国·高二专题练习）已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【详解】设，，
因为当时，，所以，为增函数.
又因为，所以.
所以， 即为偶函数.
所以在为减函数，在为增函数.
因为
，
所以，解得或.
故答案为：.
18．（2022·全国·高二）已知函数是定义在R上的函数，且满足其中是的导函数，设，，，的大小关系是________．
【答案】
【详解】令，，所以在R上为增函数，
因为，所以，
即，所以，
故答案为：．
19．（2021·全国·高二专题练习）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________.
【答案】
【详解】∵当时，有，令，
∴，
∴在上递增，
又∵在上的偶函数
∴，
∴在上是奇函数
∴在上递增，
又∵，
∴
当时，，此时，0＜x＜1，
当时，，此时，，
∴成立的的取值范围是．
故答案为：﹒
20．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，. 当时，，其中为的导函数，则使得成立的的取值范围是______．
【答案】
【详解】令，
当时，，
即在上单调递增，
因为为上的奇函数，即，
于是得，
则是奇函数，在上单调递增，
又，则，
当时，，得，
当时，，得，
综上，得：或，
所以成立的的取值范围是.
故答案为：.