中考数学反比例函数练习题

这是一份中考数学反比例函数练习题，共43页。试卷主要包含了一次函数的定义，正比例函数的定义，一次函数的图象，一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式等内容，欢迎下载使用。
1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
2．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
5．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
6．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
7．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
8．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
9．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
10．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
11．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
12．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
13．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
17．根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
18．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
19．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
20．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
习题练习
一、选择题（共10小题）
1．如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，若当时，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．或
2．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
3．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
4．如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为
A．6B．7C．8D．14
5．已知反比例函数，当时，的最大值是3，则当时，有
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
6．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．在同一坐标系中（水平方向是轴），函数和的图象大致是
A．B．
C．D．
8．如图，正方形的边长为10，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为
A．B．C．D．
9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度千米小时与时间小时的函数关系是
A．B．C．D．
10．已知直线与双曲线交于点，，，两点，则的值为
A．B．C．0D．9
二、填空题（共5小题）
11．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则 ．
12．若一次函数的图象经过第一，二，四象限，则反比例函数的图象在第 象限内．
13．如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点，已知的面积是，则点的坐标为 ．
14．如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为 ．
15．反比例函数经过，则图象在 象限．
三、解答题（共7小题）
16．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点，已知平行四边形的面积为．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标．
17．我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：
步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象；
步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象；
步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律．
（1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）．
（2）根据图象，回答下列问题：
①函数的图象是由反比例函数的图象向 平移 个单位长度后得到的．
②函数的图象的对称中心是 （填点的坐标）．
（3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数．
18．已知点为函数图象上任意一点，连接并延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接．
（1）如图1，若点的坐标为，求点的坐标；
（2）如图2，过点作，垂足为，求四边形的面积．
19．下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的一个活动片段．大家知道，对于三个反比例函数、、，只研究第一象限的情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况．
（1）绘制函数图象：
列表：如表是与的几组对应值．
描点：请根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出图象；
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数和，它们的图象会不会相交： ；你的理由是： ．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
21．某数学兴趣小组的同学在研究函数的图象时，先对函数的图象进行了如下探索．
（1）①列表：列出与的几组对应值如下：
②描点：根据表中数据描点如图所示；
③连线：请在图中画出函数的图象；
④观察图象，写出两条关于该函数的性质．
（2）根据以上探究结果，完成下列问题：
①函数中，自变量的取值范围为 ；
②函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
③写出两条关于函数的性质；
④直接写出不等式的解集．
22．某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整
（1）函数的自变量取值范围是 ．
（2）下表是与的几组对应值
则表中的值为 ．
（3）根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出函数的一部分，请画出该函数的图象的另一部分，
（4）观察函数图象：写出该函数的一条性质： ．
（5）进一步探究发现：函数图象与直线只有一交点，所以方程只有1个实数根，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
中考数学复习之反比例函数
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，若当时，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．或
【答案】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】反比例函数及其应用；推理能力
【分析】先求交点，然后通过图象比较函数值大小．
【解答】解：将，代入可得：
，，
，，
结合图象可得或时，
故选：．
【点评】本题考查函数与不等式的结合，解题关键是理解函数与不等式的关系，根据图象求解．
2．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【答案】
【考点】反比例函数的应用
【专题】反比例函数及其应用；应用意识
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是，
反比例函数解析式是，
把点代入反比例函数的解析式，得：，
解得：，
反比例函数的解析式是．
当时，代入上式得，
把时，代入正比例函数的解析式是，得：，
正比例函数解析式是，
．由图象知，时，，即药物释放过程需要小时，故不符合题意；
．药物释放过程中，与成正比例，函数表达式是，故不符合题意；
．把分别代入和得，和，
解得：和，
，
空气中含药量大于等于的时间为；故不符合题意；
，
解得，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
3．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
【答案】
【考点】一次函数的定义；反比例函数的定义；二次函数的定义；正比例函数的定义
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；一次函数及其应用；运算能力；矩形 菱形 正方形
【分析】先根据正方形的面积和已知条件得出，化简后根据函数的定义判断即可．
【解答】解：根据题意得：，
即与之间满足的函数关系是二次函数，
故选：．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义和正方形的性质等知识点，能根据题意列出代数式是解此题的关键．
4．如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为
A．6B．7C．8D．14
【答案】
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当点位于点时，的面积与的面积相等，由此即可求解．
【解答】解：连接、，如下图所示，
轴，且与共底边，
的面积等于的面积，
则．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴构成的矩形的面积为这个结论．
5．已知反比例函数，当时，的最大值是3，则当时，有
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
【考点】：反比例函数的性质
【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力
【分析】由函数经过第二象限，可确定，则在上，值随值的增大而增大，即可确定函数的解析式为，由此可求解．
【解答】解：当时，的最大值是3，
反比例函数经过第二象限，
，
在上，值随值的增大而增大，
当时，有最大值，
的最大值是3，
，
，
，
当时，有最小值，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定是解题的关键．
6．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是
A．B．C．D．
【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】67：推理能力；534：反比例函数及其应用；66：运算能力
【分析】根据反比例函数的性质得到关于的不等式，解不等式可以得到的取值范围．
【解答】解：在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．在同一坐标系中（水平方向是轴），函数和的图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【专题】数形结合；模型思想
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【解答】解：、由函数的图象可知与的图象一致，故选项正确；
、因为的图象交轴于正半轴，故选项错误；
、因为的图象交轴于正半轴，故选项错误；
、由函数的图象可知与的图象矛盾，故选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．如图，正方形的边长为10，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为
A．B．C．D．
【考点】：正方形的性质；：待定系数法求反比例函数解析式；：反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】534：反比例函数及其应用
【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【解答】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度千米小时与时间小时的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
【分析】根据路程速度时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【解答】解：由题意，
则．
故选：．
【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．已知直线与双曲线交于点，，，两点，则的值为
A．B．C．0D．9
【考点】：反比例函数图象的对称性
【专题】：探究型
【分析】先根据点，，，是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点，，，两点可得出，，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：点，，，是双曲线上的点
①，
直线与双曲线交于点，，，两点，
，②，
原式．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出，是解答此题的关键．
二、填空题（共5小题）
11．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则 ．
【考点】：反比例函数的定义；：反比例函数的性质
【专题】11：计算题
【分析】根据反比例函数的定义求得的值，然后根据反比例函数图象的性质求得的取值范围，从而确定的值．
【解答】解：由函数为反比例函数可知，
，
解得，；①
又反比例函数的图象经过第二、四象限，
，即；②
由①②，得．
故答案是：．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
12．若一次函数的图象经过第一，二，四象限，则反比例函数的图象在第 二，四 象限内．
【考点】一次函数的性质；反比例函数的性质
【分析】由的图象经过第一，二，四象限确定，值的正负，再根据的值确定反比例函数经过的象限．
【解答】解：的图象经过第一、二、四象限，
则，，
得，
所以的图象在第二、四象限．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质．
13．如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点，已知的面积是，则点的坐标为 ， ．
【答案】，．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【专题】应用意识；几何直观；代数几何综合题；运算能力；推理能力
【分析】分别过点、作轴于点，轴于点，延长交轴于点，易求得，求出反比例函数，设点坐标为，通过证得，得到，即可求得，得到点坐标为，，然后根据平行四边形的面积公式得到关于的方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交轴于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点，
，即反比例函数解析式为，
设点坐标为，
，
，
，即，
，
，
，
点坐标为，，
的面积是，
，
解得：，（舍去），
点坐标为，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为 ．
【考点】：反比例函数图象的对称性
【专题】559：圆的有关概念及性质；534：反比例函数及其应用；66：运算能力；67：推理能力
【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
【解答】解：双曲线与的图象关于轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为，半径为3，
所以：．
故答案为．
【点评】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为，半径为3的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．
15．反比例函数经过，则图象在 二四 象限．
【考点】：反比例函数的图象
【专题】121：几何图形问题
【分析】易得反比例函数的比例系数，若为正数，在一三象限，若为负数在二四象限．
【解答】解：反比例函数经过，
，
图象在二四象限，
故答案为二四．
【点评】考查反比例函数的图象的性质，得到反比例函数的比例系数是解决本题的关键．
三、解答题（共7小题）
16．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点，已知平行四边形的面积为．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标．
【答案】（1）的解析式为；
（2），．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【专题】反比例函数及其应用；运算能力
【分析】（1）根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据待定系数法求出反比例函数，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，，代入面积公式即可得出结果．
【解答】解：（1）设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为；
（2）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数，
反比例函数图象经过点，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标为，
的解析式为，
，，
，
，
，
解得：或（舍去），
，．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：
步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象；
步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象；
步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律．
（1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）．
（2）根据图象，回答下列问题：
①函数的图象是由反比例函数的图象向 右 平移 个单位长度后得到的．
②函数的图象的对称中心是 （填点的坐标）．
（3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数．
【答案】（1）见解答；
（2）右，2，；；
（3）1．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的定义；一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数图象与几何变换
【专题】几何直观；反比例函数及其应用
【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）列表：
描点、连线（如图所示），
（2）①函数的图象是由反比例函数的图象向右平移2个单位长度后得到的．
②函数的图象的对称中心是，
故答案为右，2，；；
（3）由题意可知，反比例函数的图象也遵循“上加下减”的平移规律，
如图所示，画出函数的图象，
方程的根的个数即函数与函数的图象交点的个数，
由图象可知，函数与函数的图象只有一个交点，
方程的根的个数为1．
【点评】本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，数形结合是解题的关键．
18．已知点为函数图象上任意一点，连接并延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接．
（1）如图1，若点的坐标为，求点的坐标；
（2）如图2，过点作，垂足为，求四边形的面积．
【答案】（1）点的坐标为；
（2）四边形的面积为4．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】数形结合；转化思想；反比例函数及其应用；推理能力
【分析】（1）先由反比例函数解析式求出点坐标，再由中点坐标公式求得点坐标，由于轴，得到点和点的纵坐标相同，从而得到点的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点的横坐标，即可解决；
（2）设出点坐标，由，得到点坐标，由于轴，，可以得到轴，由此写出点坐标，由于轴，且点在图象上，求出点的坐标，故可以得到和的长度，进而求得和的面积，与的面积之差即为四边形的面积．
【解答】解：（1）将点坐标代入到反比例函数中得，
，
，
点的坐标为，
，，
点的坐标为，
轴，
点的纵坐标为2，
令，则，
，
点的坐标为；
（2）设，
，
点的坐标为，
轴，
轴，
又，
轴，
点的坐标为，
轴，且点在函数图象上，
，，
，
，
四边形的面积为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
19．下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的一个活动片段．大家知道，对于三个反比例函数、、，只研究第一象限的情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况．
（1）绘制函数图象：
列表：如表是与的几组对应值．
描点：请根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出图象；
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数和，它们的图象会不会相交： 不相交 ；你的理由是： ．
【答案】（1）见解答；
（2）不相交，反比例函数和，由于，所以当相等时，各自对应的函数一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
【考点】反比例函数图象的对称性
【专题】反比例函数及其应用；几何直观
【分析】（1）描点、连线画出函数图象即可；
（2）观察图象并猜想即可．
【解答】解：（1）画出函数图象如图：
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数和，它们的图象永远不会相交；理由是：反比例函数和，由于，所以当相等时，各自对应的函数一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
故答案为：不相交，反比例函数和，由于，所以当相等时，各自对应的函数一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，根据图象得出猜想是解题的关键．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】69：应用意识；534：反比例函数及其应用
【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定、的值，从而得到、点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）一次函数图象交轴于点，如图，则，然后根据三角形面积公式，利用进行计算．
【解答】解：（1）把．，代入得，，解得，，
，，
把，代入得，解得，
一次函数解析式为；
（2）一次函数图象交轴于点，如图，
当时，，
，
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21．某数学兴趣小组的同学在研究函数的图象时，先对函数的图象进行了如下探索．
（1）①列表：列出与的几组对应值如下：
②描点：根据表中数据描点如图所示；
③连线：请在图中画出函数的图象；
④观察图象，写出两条关于该函数的性质．
（2）根据以上探究结果，完成下列问题：
①函数中，自变量的取值范围为 ；
②函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
③写出两条关于函数的性质；
④直接写出不等式的解集．
【考点】：反比例函数的图象；：一次函数的性质；：一次函数的图象；：一次函数与一元一次不等式
【专题】64：几何直观；534：反比例函数及其应用
【分析】（1）①列表，②描点，③连线画出函数图象，④关键图象得出函数的性质；
（2）①根据分母不能为0，即可解决问题；②根据平移的规律即可得到；③根据图象即可求得；④根据图象即可求得解集．
【解答】解：（1）①列表：
②描点：根据表中数据描点如图所示；
③连线：画出函数的图象如图：
④．该函数图象关于轴对称；
．当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；
（2）①函数的自变量的取值范围是．
故答案为．
②函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得到函数的图象．
③．图象关于直线对称；
．当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；
④或．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整
（1）函数的自变量取值范围是 ．
（2）下表是与的几组对应值
则表中的值为 ．
（3）根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出函数的一部分，请画出该函数的图象的另一部分，
（4）观察函数图象：写出该函数的一条性质： ．
（5）进一步探究发现：函数图象与直线只有一交点，所以方程只有1个实数根，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【考点】正比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力
【分析】（1）由在分母上，可得出；
（2）将代入函数解析式求出值即可；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）观察函数图象，找出函数的一条性质即可；
（5）由题意得出时，该函数的最大值，根据题意即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）在分母上，
．
故答案为：．
（2）当时，．
故答案为；
（3）连点成线，画出函数图象，如图所示．
（4）观察函数图象，可知：函数图象关于原点对称，
故答案为函数图象关于原点对称；
（5）函数图象与直线只有一交点，所以方程只有1个实数根，
时，该函数的最大值，
若方程有两个不相等的实数根，则，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、正比例函数的图象以及反比例函数的图象，解题的关键是：（1）由在分母上找出；（2）将代入函数解析式求出值；（3）描点连线，画出函数图象；（4）观察函数图象，找出函数性质；（5）根据图象求得的范围．
1
2
3
2
1
8
4
2
18
9
3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
1
2
3
2
0
1
3
4
5
2
1
1
2
3
2
1
8
4
2
18
9
3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
1
2
3
1
2
3
3
2
1
1
2
3
2