第10讲 分式方程的解法及应用-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第10讲分式方程
核心考点1：分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
核心考点2：分式方程的解法
1.基本思路：将分式方程化为整式方程．
2.解分式方程的具体步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④检验．
易错点：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项；
②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
核心考点3：分式方程的增根
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
核心考点4：分式方程的应用
解题步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答案．
分式方程是中考数学中一项非常重要的内容,必考内容。同时也是丢分比较多的地方,主要原因有二,其一是解分式方程时易忘记验根;其二是同学对分式方程增根的理解不透,在涉及到增根或无解的分式方程问题中丢分;其三是在其他几何或函数综合压轴题中涉及到的分式方程比较复杂,比较容易解错.分式方程部分主要题型有三种,其一,是解分式方程;其二是涉及增根问题;其三是应用题.
1——考查分式方程的概念
1．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【反思】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
①的分母中含有未知数，是分式方程；
②是整式方程；
③是整式方程；
④的分母中含有未知数，是分式方程．
故选：C．
【反思】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
2——考查分式方程的增根问题
3．若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母，代入整式方程计算m的值．
因为，
去分母得：，
解得：
因为分式方程有增根，
所以，即：是方程增根，
所以，
故选B．
【反思】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．
4．已知关于x的方程无解，则m的取值为（ ）
A．2B．5C．D．2或5
【分析】去分母把分式方程化成整式方程，再分整式方程无解和整式方程有解但是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案．
去分母得：，
整理为：，
当，即时，此方程无解，原分式方程也无解，
当时，
由得：，
把代入得：，
解得：，
∴或2．
故选D．
【反思】本题考查了分式方程的解，掌握整式方程无解和整式方程有解两种情况进行讨论是关键．
3——根据分式方程的解的情况求字母的范围
5．如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【分析】根据得出，为正数，即，从而得出m的取值范围．再根据，推出．
解得：
方程的解是正数，
即
且
故选：D
【反思】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．
6．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．
，
∵分式方程的解为正数，即，
∴，
又∵使分式方程有意义，，
∴，
∴，
综上：且，
故选：B．
【反思】本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键．
3——考查分式方程的解法
7．解分式方程： ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
方程两边同时乘以，得：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验是分式方程的解．
【反思】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．
8．解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
【反思】本题考查了解分式方程，解题的关键是一定要注意解分式方程必须要检验．
4——考查分式方程的应用
9．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本．
(1)这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
(2)若准备用60元购买科普书和文学书两种书共10本，则至少要购买文学书多少本？
【分析】（1）设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，根据所买的科普书比所买的文学书少1本列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设购买文学书m本．根据用60元购买科普书和文学书两种书共10本列出不等式，解不等式，即可得到答案．
（1）设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则科普书的价格为：（元）．
答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元；
（2）设购买文学书m本．
则有，
解得，．
答：至少要购买文学书6本．
【反思】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
10．小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，
解得：，
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．
【反思】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
——凡是老师强调的易错处一定要想尽一切办法避免！
在学习过程中出现各种各样的错误是再所难免的，你要想考高分，一定要注意老师强调的易错处，这是经验之谈，凡是老师反复强调的易错处一定要想尽一切办法避免，只有这样，你才能考高分，别人都错的你不错，才有可能超越别人，突出自己！
秘籍九：凡是老师强调的易错处一定要想尽一切办法避免！
一、选择题
1．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
4．若方程有增根，则的值是（ ）
A．5B．3C．-3D．2
5．若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ）
A．B．4C．D．4或
6．关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
7．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（ ）
A．B．C．D．
8．若方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
二、填空题
9．分式方程的解为________．
10．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为_________．
11．若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为_______．
12．关于的方程有增根，则______．
13．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．
14．若关于x的分式方程无解，则___________．
三、解答题
15．解分式方程
(1)；(2)．
16．解方程．
(1)(2)
17．解方程：
(1)；(2)．
18．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．
求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？
19．如图，为庆祝2022年北京冬奥会圆满落幕，学校开展了以冬奥为主题的体育活动，计划购买A，B两种钢笔用来奖励表现突出的学生，已知B种单价比A种单价多5元，且用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同．
(1)求购买A，B两种钢笔的单价各是多少元；
(2)若购买A种钢笔的数量是B种钢笔数量的2倍，且资金不超过600元，则购买B种钢笔的数量最多是多少支?
20．2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．进价如下表所示：
(1)已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．求这两种摆件的销售单价；
(2)该电商网店计划购进两种吉祥物摆件共90个，且“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．请问最多购进“冰墩墩”摆件多少个？
一、选择题
1．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．解分式方程时，去分母后，得（ ）
A．B．
C．D．
5．小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（ ）．
A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确
C．两人都正确D．两人都错误
6．如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（ ）
A．B．
C．D．
7．2022年5月，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，其中根据不同学段制定了相应的学段目标．某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，定期开展课外劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80千克土豆，设乙班平均每小时挖千克的土豆，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．欧拉（L．Euler，1707—1783）是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市卖，两人所带鸡蛋个数不相同，但卖得的钱数相同．第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称）．”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？
设第一个农妇带了x个鸡蛋，根据两人卖得的钱数相同，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．分式方程的解为____．
10．若关于x的方程无解，则a的值是______．
11．关于的分式方程无解，则的取值范围为______．
12．定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为____________．
13．对于实数和，定义一种新运算“*”：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是__________．
三、解答题
14．解分式方程：
(1)．(2)
15．解分式方程：
(1)．(2)．
16．解方程：
(1)；(2)．
17．为美化环境，提升城市形象，市政府计划对青竹湖路与开福大道十字路口面积为的绿化带进行改造升级，有甲、乙两个工程队可供选择．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的改造时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成改造的面积分别是多少？
(2)若每天需付给甲队的改造费用为万元，乙队为万元，在不考虑工期的情况下，单独安排甲队完成，单独安排乙队完成，和甲乙两队合作完成，三种方案哪种费用最少？
18．某水果超市在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用1452元所购买的质量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．设第一次购进的水果的进价是x元/千克．
(1)第二次购进水果的进价是______元/千克，第一次、第二次购进水果的质量分别为______千克和______千克，（用含有x的式子表示）；
(2)求第一次购买的水果的进价是每千克多少元？
(3)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
19．某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同．
(1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？
(2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共1000袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于6000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，超市有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下、该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠a（）元出售，超市要如何进货才能获得最大利润？
20．已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：
(1)第几天该商品的销售单价是元？
(2)在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
吉祥物
冰墩墩
雪容融
进价（元/个）
80
60
售价（元/个）
小明的解法：
解：去分母，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得，⑤
经检验是原分式方程的解．⑥
小亮的解法：
解：去分母，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得，⑤
经检验是原分式方程的解．⑥
第x天
日销售单价（元/千克）
日销售量（千克）