新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案求平面向量的夹角（含解析）

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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案求平面向量的夹角（含解析），共28页。学案主要包含了考点梳理，典例分析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)进行求解.
【典例分析】
典例1．已知向量，满足，，，则（）
A．B．C．D．
典例2．已知平面向量，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
典例3．如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（）
A．B．
C．与的夹角为D．在上的投影向量的模为
典例4．已知，，则下列结论中正确的个数为（）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个B．个C．个D．个
典例5．已知向量，则下列说法不正确的是（）
A．若，则的值为B．若，则的值为2
C．的最小值为1D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
【双基达标】
6．已知向量，，则下列结论正确的是（）
A．，B．，使得
C．，与的夹角小于D．，使得
7．已知向量，，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
8．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）
A．
B．
C．
D．若，，则
9．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若，则向量+2与之间的夹角为（）
A．B．C．D．
10．已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
11．已知向量，，，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
12．已知向量，向量，则与的夹角大小为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
13．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
14．已知向量，满足，，，则（）
A．B．C．D．
15．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（）
A．B．C．D．
16．已知，，，则（）
A．B．C．D．
17．已知、是圆上两个不同的点，且满足，则的最大值为（）
A．B．C．D．
18．已知向量，，，满足，，，，则与的夹角为（）
A．B．
C．D．
19．已知单位向量的夹角为，则与夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
20．平面向量，，，则向量夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
21．已知向量，，，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
22．在平行四边形中，，M是中点．若，则（）
A．B．C．D．
23．已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（）
A．B．C．D．
24．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（）
A．B．C．D．
25．已知平面向量，，若，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
26．若向量＝(1,2,0)，＝(－2,0,1)，则（）
A．cs〈〉＝B．
C． D．
27．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
28．已知向量，，则面积的最大值为（）
A．B．C．D．1
二、多选题
29．设向量，则下列叙述错误的是（）
A．的最小值为 2
B．若与的夹角为钝角，则且
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若，则或
30．设向量＝(k，2)，＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（）
A．若k<－2，则与的夹角为钝角
B．||的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若||＝2||，则k＝或－
31．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）
A．
B．若且，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
32．已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（）
A．B．
C．D．与可以作为平面内的一组基底
33．已知向量，，则下列说法正确的是（）
A．B．，的夹角为
C．在上的投影向量为D．在上的投影向量为
三、填空题
34．已知非零向量满足，且，则与的夹角为______．
35．已知向量，满足，若，则与的夹角为________．
36．已知平面向量，满足，，，则______.
37．若两个向量与的夹角为，且是单位向量，向量，，则向量与的夹角为__________．
38．已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于____；
39．若=（-3，4），=（5，-12），则与的夹角为_________
40．已知平面向量，则向量的夹角等于_______.
四、解答题
41．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，，.
(1)用表示和；
(2)求向量与夹角的余弦值.
42．已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
43．已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
44．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
45．已知向量，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由数量积运算求解即可.
【详解】
，，，．
，
因此，．
故选：D．
2．D
【解析】
【分析】
先利用数量积的坐标运算求解，再利用夹角公式求解夹角.
【详解】
因为，所以，解得；
所以，；
；而，
所以与的夹角为.
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】
对于A，，则，A错误；
对于B，，则不平行，B错误；
对于C，，又，则，C错误；
对于D，在上的投影向量的模为，D正确.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解：，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
5．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若，则，A选项说法正确.
B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.
C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.
D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.
故选：D
6．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为，，
又，
所以.故正确；
，若，则，
解得，即当时，，故错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故C错误；
因为，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：.
7．B
【解析】
直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可
【详解】
因为向量，，
所以,
又因为,所以,
故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，.
8．D
【解析】
【分析】
A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】
A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
9．A
【解析】
根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，
设向量+2与之间的夹角，则，，
所以向量+2与之间的夹角为.
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
11．A
【解析】
【分析】
先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
又因为，设与的夹角为，，
所以，即，
解得，故，
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量，向量，
，
，且，
的夹角为.
故选：D.
13．A
【解析】
【分析】
利用数量积的定义，即可求解.
【详解】
解：,所以,即，
解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
15．A
【解析】
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.
【详解】
如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.
16．D
【解析】
【分析】
计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得结果.
【详解】
由已知可得，，
因此，.
故选：D.
17．D
【解析】
【分析】
计算得出，设，，，，利用三角恒等变换思想结合正弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】
，则，
，可得，
不妨设，，，，
，同理可得，
所以，
，
其中为锐角，且.
故的最大值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查与圆有关的最值问题，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示，并结合三角恒等变换求解是解本题的关键.
18．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】
因为，故可得，又，故，
代值得，则，则，
故可得与的夹角为.
故选：C.
19．D
【解析】
分别求出，应用向量夹角公式，即可求解.
【详解】
单位向量的夹角为，
，
，
设与夹角为，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.
20．A
【解析】
【分析】
利用向量的夹角余弦公式求向量夹角的余弦值.
【详解】
∵ ∴
又，，，
∴ ，
故选：A.
21．D
【解析】
【分析】
根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.
【详解】
，，
，解得：，
又，，即与的夹角为.
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
直接利用为基底，把转化为的计算，利用夹角公式求出.
【详解】
．
∴，∵∴．
故选：B
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
23．A
【解析】
【分析】
利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】
，，
，，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设
又，知，解得，
又E为的外心，，
，为等边三角形，，
∴，∴．
故选：A
24．C
【解析】
【分析】
根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】
因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
25．B
【解析】
【分析】
根据解得，再结合平面向量的夹角公式计算即可
【详解】
由可得，即，解得，
所以，，则
又
所以与的夹角为
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标进行运算可得答案.
【详解】
∵向量＝(1,2,0)，＝(－2,0,1)，
∴，，
1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.
∴.
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.
故选：D
27．B
【解析】
【分析】
将变为，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得答案.
【详解】
由，可得，
所以，即，
所以，
设的夹角为，则,
故选：B.
28．C
【解析】
利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.
【详解】
，
,，其中，
故，
，
故当时，即时，取最大值为.
故选：C.
29．BCD
【解析】
【分析】
利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断A的正误；利用向量的夹角公式可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出的值，进而判断D的正误.
【详解】
A：，当且仅当时，有最小值为2，故A正确；
B：若与的夹角为钝角，则有，且与不共线，
即且，所以，故B错误；
C：与共线的单位向量有和两个，故C错误；
D：若，则，解得，故D错误；
故选：BCD.
30．CD
【解析】
【分析】
对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，||≥2，所以B选项正确；
对于C选项，与共线的单位向量为或，所以C选项错误；
对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．
【详解】
对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，||＝≥＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；
对于C选项，||＝，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，所以C选项错误；
对于D选项，∵||＝2||＝2，∴＝2，解得k＝±2，所以D选项错误．
故选：CD
31．AC
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，
对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，
则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；
对于D，已知，且与的夹角为锐角，
可得即可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以
所以与的夹角为锐角时且，故D错误；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可
【详解】
据题意
因为
所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确
故选：ABD
33．AC
【解析】
【分析】
对于A选项，即可求解；
对于B选项，利用向量夹角公式计算；
对于C、D选项，由投影向量的定义得，在上的投影向量为
【详解】
由，，可知，，
对于A选项，，故，故A正确；对于B选项，设为，的夹角，则，故B错误；对于C选项，在上的投影向量为，故C正确；对于D选项，在上的投影向量为，故D错误.
故选：AC.
34．
【解析】
【详解】
因为
所以，即，
根据向量的数量积运算，则
代入化简得，
由，
所以 .
故答案为： .
35．
【解析】
【分析】
根据向量的夹角公式计算即可．
【详解】
由知，，
又，即
则，
所以，
故夹角为，
故答案为：．
36．##0.5
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式即可求出.
【详解】
由题可得，
故.
故答案为：.
37．
【解析】
【分析】
求出及，然后由数量积定义可得夹角．
【详解】
由已知，
所以，
，
设与的夹角为，则，，所以．
故答案为：．
38．##120°
【解析】
【分析】
利用夹角公式求出向量与的夹角.
【详解】
因为，所以，即，
所以，所以.
而，所以，
因为，所以.
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
根据向量夹角坐标公式求解.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查向量夹角坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
40．
【解析】
【分析】
根据向量夹角的坐标公式运算即可.
【详解】
,
,
故答案为：
41．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面向量的线性运算法则求解；
（2）以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
(1)
∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴
∴，
∵E为AD的中点，∴，
∴
(2)
，如图，以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，
∴，，
∴，

42．（1）或；（2）.
【解析】
（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
43．(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.
(1)
∵，，，，
∴，，
∴，
当，，三点共线时，有，
，
解得．
(2)
∵，，
∴
，
∴当时，取得最小值，此时，
∴，，，，
∴．
44．（1）2；（2）.
【解析】
（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；
（2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．
【详解】
解：（1），
，
；
（2），
，且，
与的夹角为．
【点睛】
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
45．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得的值，可求出的值，进一步可求出的值，利用平面向量数量积可求得与的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知条件可得，
，则，
解得；
（2）
.
当时，取最小值.
，则，
因此，.
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.