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新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 求函数的最值（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 求函数的最值（含解析），共37页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1、函数的最大(小)值
2、函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m.
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.
【题型归纳】
题型一：利用函数单调性求最值或值域
1．已知是上的单调函数，若，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4B．6C．10D．24
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：根据函数的最值求参数
4．已知函数 = 在处有极小值，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三：复合函数的最值
7．已知函数，则的最大值的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（ ）
A．当时，有最小值无最大值B．当时，无最小值有最大值
C．当时，有最小值无最大值D．当时，无最小值也无最大值
9．设函数在R上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则K的（ ）
A．最大值为1B．最小值为1
C．最大值为2D．最小值为2
【双基达标】
10．已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A．B．C．D．或
12．在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
13．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
14．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=
A．2025B．2022C．2020D．2019
15．函数的最大值是（ ）
A．B．0C．4D．2
16．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（ ）
A．减函数且最小值是B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是D．增函数且最小值是
17．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1B．1C．3D．1或3
18．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为B．
C．方程有无数个根D．函数在定义域上是单调递增函数
19．设函数在区间上的最大值和最小值分别为､,则.
A．B．13C．D．12
20．函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
21．若函数在定义域上的值域为，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A．B．3C．4D．5
24．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．，B．，1C．，D．1，
25．已知函数的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或
【高分突破】
单选题
26．定义运算：①对，；②对，，，.若，则有（ ）
A．函数的图象关于对称B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为2D．
27．定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
28．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
29．已知函数f(x)满足f(x-1)=2f(x)，且x当x[-1，0)时，f(x)=--2x+3，则当x[1,2)时，f(x)的最大值为（ ）
A．B．1C．0D．-1
30．定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
31．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数在上单调递增
C．函数为偶函数
D．若方程在上有4个不等实根，则
32．已知函数(即，)则（ ）
A．当时，是偶函数B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则D．方程可能有2个解
33．已知直线，是直线上的任意一点，直线与圆相切．下列结论正确的为（ ）
A．的最小值为
B．当，时，的最小值为
C．的最小值等于的最小值
D．的最小值不等于的最小值
34．已知函数（）的值域为，则实数与实数的取值可能为（ ）
A．，B．，C．，D．，
三、填空题
35．已知函数，，则此函数的值域是____.
36．设，，若，且的最大值是，则___________.
37．关于函数的下列命题：
①函数的图象关于y轴对称；
②函数的最小值为；
③当时，是增函数；当时，是减函数；
④在上是增函数；
⑤无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是_________．
38．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
39．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.
40．已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．
四、解答题
41．新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
42．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
43．已知函数，其中a为常数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
44．已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
45．已知函数.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）当时，的最大值为，求实数的取值范围.
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何
意义
y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
令，所以，所以，又因为，求出，则可求出，再代入求出，即可求出的值域.
【详解】
令，所以，
则令，所以，
又因为，
所以，所以，
解得：，所以
所以，
因为，
所以的值域为：.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】
因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
先求出 在（0,3）上的值域，再根据高斯函数的定义，求解 的值域.
【详解】
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，因为，
所以；
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
求导后，导函数是二次函数，根据二次函数的符号验证极值点即可.
【详解】
由，
可得 ，
令 ，得，．
由题知，解得．当时，，，
当时， ，当时， ，所以在处有极小值，满足题意，所以；
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；
法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；
【详解】
法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，
所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
故选：B.
7．B
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，再求函数的最小值即可.
【详解】
令，则，
∴时，函数单调递减，时，函数单调递增，
所以可得，
∴当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，
当时，函数，当时，，
∴函数的最小值是.
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
依题意不等式的解集为（1，+∞），即可得到且 ，即，再根据二次函数的性质计算在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况．
【详解】
因为函数的单调区间是，
即不等式的解集为（1，+∞），
所以且 ，即，
所以 ,
当 时， 在上满足，
故此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；
当 时， 在上满足，
此时为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，求出函数的最大值即可的解.
【详解】
解：因为对任意的，恒有，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以K的最小值为2.
故选：D.
10．B
【解析】
【分析】
按照的取值范围进行分类讨论，结合反比例函数图像性质分析题意，找出在[1,＋∞）上存在最小值的等价条件，然后借助的取值范围得出结论.
【详解】
①当时，恒成立，所以在上存在最小值为0；
②当时，，可以看做是函数()图像向左平移个单位得到，所以在只有最大值，没有最小值；
③当时，，可以看做是函数()图像向右平移个单位得到，所以若要在单调递增，需要，即.
综上所述：当时，在上存在最小值，
所以“”是“”的必要不充分条件,
即“”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
函数化为，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【详解】
函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．
12．A
【解析】
【分析】
由可解得，结合基本不等式，知；经过变形化简可将原式整理为，令，则，，，结合函数的单调性即可得解．
【详解】
由可知，，解得，
由基本不等式得，．
，
令，则，，
，在，上单调递增，
（4），即的最小值为．
故选：．
【点睛】
本题考查解三角形中正弦面积公式的应用，还运用到了基本不等式以及函数的单调性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13．C
【解析】
根据函数的最大值和最小值定义直接求解即可.
【详解】
由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标，同理，最小值对应.
故选：C
【点睛】
本题考查了最大值和最小值的定义，属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得，再表示出，通过，结合函数的增减性即可求得结果
【详解】
由题可知，
，
在为增函数，
故选B
【点睛】
本题考查分离常数法的具体应用，函数单调性的判断与应用，运算能力，属于中档题
15．C
【解析】
对函数的解析式进行配方，最后求出函数的最大值.
【详解】
函数，当时，函数取得最大值4.
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的最大值，属于基础题.
16．D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质分析判断即可得结论
【详解】
因为为奇函数，在上是增函数且最大值为5，
所以在区间上为增函数，且最小值是，
故选：D
17．B
【解析】
分和两种情况求解，时，在区间上为增函数，从而可求出其最大值，当时，在区间上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案
【详解】
解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；
当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故选：B
18．C
【解析】
【分析】
根据新定义函数的概念，做出函数图象，逐项判断即可.
【详解】
作出函数的图象，
对于A项，由图可知：函数无最大值，最小值为，故A错误，
对于B项，，，所以，故B不正确，
对于C项，方程的解为，故C正确，
对于D项，在每一个区间上，函数都是增函数，
但是在定义域上不是单调递增，故D错误．
故选：C.
19．C
【解析】
把函数解析式化为,令,则,根据对勾函数性质可求出最小值和最大值.
【详解】
解：；
因为，所以，
令，则；
因为，
根据对勾函数性质可知当时，函数有最小值为；
当时，函数有最大值为.
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的变形分离常数法，及利用导数在闭区间求最值的问题，属于中档题.
20．C
【解析】
把函数的解析式进行变形，利用反比例型函数的单调性，求出函数的最小值.
【详解】
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了反比例型函数的单调性，考查了数学运算能力.
21．A
【解析】
【分析】
的对称轴为，且，然后可得答案.
【详解】
因为的对称轴为，且
所以若函数在定义域上的值域为，则
故选：A
22．B
【解析】
【分析】
易得当时，函数在上单调递减，在处取得最大值，从而列式计算可得结果.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．
故选：B.
23．C
【解析】
先判断出函数在单调递减，即可求出最大值.
【详解】
在单调递减，
.
故选：C.
24．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】
易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
25．C
【解析】
【分析】
由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】
∵，
∴，
令，设，则，
当时，在上单调递减，
∴，解得，∴，
当时，在上单调递增，
∴，解得，∴，
当时，，无解，
当时，，无解.
综上，或.
故选：C.
26．A
【解析】
依据题中新定义化简，再对选项逐一判断即可.
【详解】
依题意，=，
故，，即，函数的图象关于对称，A正确；
，由，复合而成，
时递增，此时单调递减，故在递减；
时递增，此时单调递增，故在递增，故B错误；
根据单调性知在时取得最小值，故C错误；
因为，根据单调性得，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是理解新定义并应用，化简，再研究函数性质即突破难点.复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.
27．C
【解析】
【分析】
先求得，然后将转化为来求得的解析式，由此求得的最小值.
【详解】
，
，
，
，，
依题意，且当时，，
所以，故当时，
取得最小值.
故选：C
28．A
【解析】
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
29．B
【解析】
首先设，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】
设，，
，
，
，
，在区间单调递减，函数的最大值是.
故选：B
【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数的解析式.
30．D
【解析】
【分析】
由题意可得，在区间上，，作函数的图象，如图所示，然后结合图像可求出的最小值
【详解】
根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：D.
【点睛】
此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
31．ACD
【解析】
将函数配方，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出的图像，结合对称性，可判断选项D真假
【详解】
，最小值为，
所以选项A正确；
的对称轴为，单调递增区间为，
所以选项B不正确；
令，
所以为偶函数，所以选项C正确；
令，
零点转化为 与的交点，
做出图像如下图所示：
图像关于对称，当 与有四个交点时，
两两分别关于对称，所以，
所以选项D正确.
故选ACD
【点睛】
本题以二次函数为背景，考查函数的图像，性质，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】
：当时，，即，
所以，所以是偶函数，故正确；
：当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
综上，在上是增函数，故正确；
：当时，，
当时，，
因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；
：令，
当时，，有2个解，故正确.
故选：ABD
33．ABC
【解析】
【分析】
利用的几何意义可判断A选项的正误；利用直线与圆相切求得，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；判断函数在上的单调性，可判断CD选项的正误.
【详解】
因为直线与圆相切，则，，可得.
对于A选项，的几何意义为直线上的点到原点的距离，
所以，的最小值即为原点到直线的距离，即为，A选项正确；
对于B选项，当，时，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B选项正确；
对于CD选项，因为
，
因为，令，任取，则，
，
，所以，
，
同理可知，，
所以，，即，故函数在上单调递减，
故函数在上无最小值，
因此，的最小值等于的最小值，C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：
（1）：表示点与点连线的斜率；
（2）：表示点到点的距离；
（3）：表示点到直线的距离的倍.
34．ABD
【解析】
化简得到，设，则，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，
设，则.
当时，在上单调递增，时，，故，正确；
当时，在上单调递增，时，，故，正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，故，错误；
当时，在上单调递增，时，，故，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的值域，根据换元利用单调性是解题的关键.
35．
【解析】
利用反比例函数的单调性可求得原函数的值域.
【详解】
因为函数在区间上为增函数，当时，，即.
因此，函数，的值域为.
故答案为：.
36．4
【解析】
【分析】
令=d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.
【详解】
令=d，由消去a得：，即，
而，，则，，，
依题意，解得.
故答案为：4
37．①②④
【解析】
【分析】
对①，根据题意得到函数为偶函数，从而判断①正确；对②，利用基本不等式得到函数的最小值为，从而判断②正确；对③，利用复合函数的单调性即可判断③错误；对④，根据③和偶函数性质即可判断④正确；对⑤，由②可知⑤错误.
【详解】
对①，，定义域为，
，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.
对②， ，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故②正确.
对③，时，，
令，设任意，
.
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，故③错误.
对④，因为函数在为减函数，在为增函数，
又因为函数为偶函数，
所以在，上是增函数，故④正确.
对⑤，由②知，函数的最小值为，故⑤错误.
故答案为：①②④
38．
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】
使得，
使得令，则原不等式转化为存在，
由折线函数，如图
只需，即，即的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
39．
【解析】
【分析】
讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.
【详解】
分以下三种情况讨论：
①若时，即当时，，
所以，函数在上单调递减，且，
当时，，
此时，函数无最小值；
②若时，即当时，，
当时，，
当时，.
，所以，，整理可得，
，解得（舍去）；
③当时，即当时，，
当时，，
当时，.
因为，所以，，整理可得，
，解得或（舍去）.
综上所述，实数的取值集合为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.
40．
【解析】
【分析】
易知是一个固定的数记为，得到，进而有，即，求得，利用函数的单调性求得其值域.
【详解】
因为为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，
．
易知在上为增函数，且，，
则在上的值域为．
故答案为：.
41．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；
（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，
所以，公司生产防护服的利润
；
（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；
因为，
令，因为，所以，
记，
任取，
则
因为，，所以，即，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
因此，即的最大值为；
所以只需，即.
【点睛】
本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.
42．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式；
（2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可.
【详解】
（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式；
（2）将问题转化为在区间内，求参数范围.
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法转化为求二次函数的值域即得；
（2）通过换元可得，恒成立，再利用函数的单调性及基本不等式求函数的最值即得.
(1)
当时，．
令，易知，于是求函数的值域等价转化为求函数在R上的值域．
∵的值域为，
∴函数的值域为．
(2)
设，∵，∴．
∵，恒成立，
∴，恒成立，
∴，恒成立．
令，，
易知在上单调递增，
∴，
令，，
∵，当且仅当时取等号，
∴．
∴，即实数a的取值范围是．
44．(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
(1)
因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
(2)
∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
(3)
∵∴，
则，当且仅当取等号，
∴，
∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，
①当，即时，在单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】
（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
45．（1）增区间：和；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质化简函数的表达式，根据二次函数的单调性进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；
（3）根据的正负性，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）当时，，
因为的对称轴为，当时，此时函数单调递增，
因为对称轴为，当时，此时函数单调递增，
所以增区间：和；
（2）时，，因为
所以为奇函数；
时，因为，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，
（3），
①若，则，；
②若，则
（i）当时，即，所以，
因为，所以舍去；
当时，，
（ii）当时，即当时，
，符合题意；
（iii）当时，即当时，.，所以无解，不符合题意，
综上：.
【点睛】
关键点睛：根据函数的对称轴和给定区间的位置关系进行分类讨论是解题的关键.
1、函数的最大(小)值
2、函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m.
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.
【题型归纳】
题型一：利用函数单调性求最值或值域
1．已知是上的单调函数，若，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4B．6C．10D．24
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：根据函数的最值求参数
4．已知函数 = 在处有极小值，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三：复合函数的最值
7．已知函数，则的最大值的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（ ）
A．当时，有最小值无最大值B．当时，无最小值有最大值
C．当时，有最小值无最大值D．当时，无最小值也无最大值
9．设函数在R上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则K的（ ）
A．最大值为1B．最小值为1
C．最大值为2D．最小值为2
【双基达标】
10．已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A．B．C．D．或
12．在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
13．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
14．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=
A．2025B．2022C．2020D．2019
15．函数的最大值是（ ）
A．B．0C．4D．2
16．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（ ）
A．减函数且最小值是B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是D．增函数且最小值是
17．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1B．1C．3D．1或3
18．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为B．
C．方程有无数个根D．函数在定义域上是单调递增函数
19．设函数在区间上的最大值和最小值分别为､,则.
A．B．13C．D．12
20．函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
21．若函数在定义域上的值域为，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A．B．3C．4D．5
24．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．，B．，1C．，D．1，
25．已知函数的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或
【高分突破】
单选题
26．定义运算：①对，；②对，，，.若，则有（ ）
A．函数的图象关于对称B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为2D．
27．定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
28．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
29．已知函数f(x)满足f(x-1)=2f(x)，且x当x[-1，0)时，f(x)=--2x+3，则当x[1,2)时，f(x)的最大值为（ ）
A．B．1C．0D．-1
30．定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
31．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数在上单调递增
C．函数为偶函数
D．若方程在上有4个不等实根，则
32．已知函数(即，)则（ ）
A．当时，是偶函数B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则D．方程可能有2个解
33．已知直线，是直线上的任意一点，直线与圆相切．下列结论正确的为（ ）
A．的最小值为
B．当，时，的最小值为
C．的最小值等于的最小值
D．的最小值不等于的最小值
34．已知函数（）的值域为，则实数与实数的取值可能为（ ）
A．，B．，C．，D．，
三、填空题
35．已知函数，，则此函数的值域是____.
36．设，，若，且的最大值是，则___________.
37．关于函数的下列命题：
①函数的图象关于y轴对称；
②函数的最小值为；
③当时，是增函数；当时，是减函数；
④在上是增函数；
⑤无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是_________．
38．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
39．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.
40．已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．
四、解答题
41．新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
42．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
43．已知函数，其中a为常数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
44．已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
45．已知函数.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）当时，的最大值为，求实数的取值范围.
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何
意义
y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
令，所以，所以，又因为，求出，则可求出，再代入求出，即可求出的值域.
【详解】
令，所以，
则令，所以，
又因为，
所以，所以，
解得：，所以
所以，
因为，
所以的值域为：.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】
因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
先求出 在（0,3）上的值域，再根据高斯函数的定义，求解 的值域.
【详解】
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，因为，
所以；
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
求导后，导函数是二次函数，根据二次函数的符号验证极值点即可.
【详解】
由，
可得 ，
令 ，得，．
由题知，解得．当时，，，
当时， ，当时， ，所以在处有极小值，满足题意，所以；
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；
法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；
【详解】
法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，
所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
故选：B.
7．B
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，再求函数的最小值即可.
【详解】
令，则，
∴时，函数单调递减，时，函数单调递增，
所以可得，
∴当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，
当时，函数，当时，，
∴函数的最小值是.
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
依题意不等式的解集为（1，+∞），即可得到且 ，即，再根据二次函数的性质计算在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况．
【详解】
因为函数的单调区间是，
即不等式的解集为（1，+∞），
所以且 ，即，
所以 ,
当 时， 在上满足，
故此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；
当 时， 在上满足，
此时为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，求出函数的最大值即可的解.
【详解】
解：因为对任意的，恒有，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以K的最小值为2.
故选：D.
10．B
【解析】
【分析】
按照的取值范围进行分类讨论，结合反比例函数图像性质分析题意，找出在[1,＋∞）上存在最小值的等价条件，然后借助的取值范围得出结论.
【详解】
①当时，恒成立，所以在上存在最小值为0；
②当时，，可以看做是函数()图像向左平移个单位得到，所以在只有最大值，没有最小值；
③当时，，可以看做是函数()图像向右平移个单位得到，所以若要在单调递增，需要，即.
综上所述：当时，在上存在最小值，
所以“”是“”的必要不充分条件,
即“”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
函数化为，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【详解】
函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．
12．A
【解析】
【分析】
由可解得，结合基本不等式，知；经过变形化简可将原式整理为，令，则，，，结合函数的单调性即可得解．
【详解】
由可知，，解得，
由基本不等式得，．
，
令，则，，
，在，上单调递增，
（4），即的最小值为．
故选：．
【点睛】
本题考查解三角形中正弦面积公式的应用，还运用到了基本不等式以及函数的单调性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13．C
【解析】
根据函数的最大值和最小值定义直接求解即可.
【详解】
由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标，同理，最小值对应.
故选：C
【点睛】
本题考查了最大值和最小值的定义，属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得，再表示出，通过，结合函数的增减性即可求得结果
【详解】
由题可知，
，
在为增函数，
故选B
【点睛】
本题考查分离常数法的具体应用，函数单调性的判断与应用，运算能力，属于中档题
15．C
【解析】
对函数的解析式进行配方，最后求出函数的最大值.
【详解】
函数，当时，函数取得最大值4.
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的最大值，属于基础题.
16．D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质分析判断即可得结论
【详解】
因为为奇函数，在上是增函数且最大值为5，
所以在区间上为增函数，且最小值是，
故选：D
17．B
【解析】
分和两种情况求解，时，在区间上为增函数，从而可求出其最大值，当时，在区间上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案
【详解】
解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；
当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故选：B
18．C
【解析】
【分析】
根据新定义函数的概念，做出函数图象，逐项判断即可.
【详解】
作出函数的图象，
对于A项，由图可知：函数无最大值，最小值为，故A错误，
对于B项，，，所以，故B不正确，
对于C项，方程的解为，故C正确，
对于D项，在每一个区间上，函数都是增函数，
但是在定义域上不是单调递增，故D错误．
故选：C.
19．C
【解析】
把函数解析式化为,令,则,根据对勾函数性质可求出最小值和最大值.
【详解】
解：；
因为，所以，
令，则；
因为，
根据对勾函数性质可知当时，函数有最小值为；
当时，函数有最大值为.
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的变形分离常数法，及利用导数在闭区间求最值的问题，属于中档题.
20．C
【解析】
把函数的解析式进行变形，利用反比例型函数的单调性，求出函数的最小值.
【详解】
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了反比例型函数的单调性，考查了数学运算能力.
21．A
【解析】
【分析】
的对称轴为，且，然后可得答案.
【详解】
因为的对称轴为，且
所以若函数在定义域上的值域为，则
故选：A
22．B
【解析】
【分析】
易得当时，函数在上单调递减，在处取得最大值，从而列式计算可得结果.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．
故选：B.
23．C
【解析】
先判断出函数在单调递减，即可求出最大值.
【详解】
在单调递减，
.
故选：C.
24．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】
易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
25．C
【解析】
【分析】
由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】
∵，
∴，
令，设，则，
当时，在上单调递减，
∴，解得，∴，
当时，在上单调递增，
∴，解得，∴，
当时，，无解，
当时，，无解.
综上，或.
故选：C.
26．A
【解析】
依据题中新定义化简，再对选项逐一判断即可.
【详解】
依题意，=，
故，，即，函数的图象关于对称，A正确；
，由，复合而成，
时递增，此时单调递减，故在递减；
时递增，此时单调递增，故在递增，故B错误；
根据单调性知在时取得最小值，故C错误；
因为，根据单调性得，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是理解新定义并应用，化简，再研究函数性质即突破难点.复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.
27．C
【解析】
【分析】
先求得，然后将转化为来求得的解析式，由此求得的最小值.
【详解】
，
，
，
，，
依题意，且当时，，
所以，故当时，
取得最小值.
故选：C
28．A
【解析】
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
29．B
【解析】
首先设，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】
设，，
，
，
，
，在区间单调递减，函数的最大值是.
故选：B
【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数的解析式.
30．D
【解析】
【分析】
由题意可得，在区间上，，作函数的图象，如图所示，然后结合图像可求出的最小值
【详解】
根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：D.
【点睛】
此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
31．ACD
【解析】
将函数配方，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出的图像，结合对称性，可判断选项D真假
【详解】
，最小值为，
所以选项A正确；
的对称轴为，单调递增区间为，
所以选项B不正确；
令，
所以为偶函数，所以选项C正确；
令，
零点转化为 与的交点，
做出图像如下图所示：
图像关于对称，当 与有四个交点时，
两两分别关于对称，所以，
所以选项D正确.
故选ACD
【点睛】
本题以二次函数为背景，考查函数的图像，性质，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】
：当时，，即，
所以，所以是偶函数，故正确；
：当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
综上，在上是增函数，故正确；
：当时，，
当时，，
因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；
：令，
当时，，有2个解，故正确.
故选：ABD
33．ABC
【解析】
【分析】
利用的几何意义可判断A选项的正误；利用直线与圆相切求得，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；判断函数在上的单调性，可判断CD选项的正误.
【详解】
因为直线与圆相切，则，，可得.
对于A选项，的几何意义为直线上的点到原点的距离，
所以，的最小值即为原点到直线的距离，即为，A选项正确；
对于B选项，当，时，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B选项正确；
对于CD选项，因为
，
因为，令，任取，则，
，
，所以，
，
同理可知，，
所以，，即，故函数在上单调递减，
故函数在上无最小值，
因此，的最小值等于的最小值，C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：
（1）：表示点与点连线的斜率；
（2）：表示点到点的距离；
（3）：表示点到直线的距离的倍.
34．ABD
【解析】
化简得到，设，则，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，
设，则.
当时，在上单调递增，时，，故，正确；
当时，在上单调递增，时，，故，正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，故，错误；
当时，在上单调递增，时，，故，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的值域，根据换元利用单调性是解题的关键.
35．
【解析】
利用反比例函数的单调性可求得原函数的值域.
【详解】
因为函数在区间上为增函数，当时，，即.
因此，函数，的值域为.
故答案为：.
36．4
【解析】
【分析】
令=d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.
【详解】
令=d，由消去a得：，即，
而，，则，，，
依题意，解得.
故答案为：4
37．①②④
【解析】
【分析】
对①，根据题意得到函数为偶函数，从而判断①正确；对②，利用基本不等式得到函数的最小值为，从而判断②正确；对③，利用复合函数的单调性即可判断③错误；对④，根据③和偶函数性质即可判断④正确；对⑤，由②可知⑤错误.
【详解】
对①，，定义域为，
，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.
对②， ，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故②正确.
对③，时，，
令，设任意，
.
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，故③错误.
对④，因为函数在为减函数，在为增函数，
又因为函数为偶函数，
所以在，上是增函数，故④正确.
对⑤，由②知，函数的最小值为，故⑤错误.
故答案为：①②④
38．
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】
使得，
使得令，则原不等式转化为存在，
由折线函数，如图
只需，即，即的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
39．
【解析】
【分析】
讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.
【详解】
分以下三种情况讨论：
①若时，即当时，，
所以，函数在上单调递减，且，
当时，，
此时，函数无最小值；
②若时，即当时，，
当时，，
当时，.
，所以，，整理可得，
，解得（舍去）；
③当时，即当时，，
当时，，
当时，.
因为，所以，，整理可得，
，解得或（舍去）.
综上所述，实数的取值集合为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.
40．
【解析】
【分析】
易知是一个固定的数记为，得到，进而有，即，求得，利用函数的单调性求得其值域.
【详解】
因为为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，
．
易知在上为增函数，且，，
则在上的值域为．
故答案为：.
41．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；
（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，
所以，公司生产防护服的利润
；
（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；
因为，
令，因为，所以，
记，
任取，
则
因为，，所以，即，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
因此，即的最大值为；
所以只需，即.
【点睛】
本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.
42．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式；
（2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可.
【详解】
（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式；
（2）将问题转化为在区间内，求参数范围.
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法转化为求二次函数的值域即得；
（2）通过换元可得，恒成立，再利用函数的单调性及基本不等式求函数的最值即得.
(1)
当时，．
令，易知，于是求函数的值域等价转化为求函数在R上的值域．
∵的值域为，
∴函数的值域为．
(2)
设，∵，∴．
∵，恒成立，
∴，恒成立，
∴，恒成立．
令，，
易知在上单调递增，
∴，
令，，
∵，当且仅当时取等号，
∴．
∴，即实数a的取值范围是．
44．(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
(1)
因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
(2)
∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
(3)
∵∴，
则，当且仅当取等号，
∴，
∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，
①当，即时，在单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】
（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
45．（1）增区间：和；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质化简函数的表达式，根据二次函数的单调性进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；
（3）根据的正负性，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）当时，，
因为的对称轴为，当时，此时函数单调递增，
因为对称轴为，当时，此时函数单调递增，
所以增区间：和；
（2）时，，因为
所以为奇函数；
时，因为，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，
（3），
①若，则，；
②若，则
（i）当时，即，所以，
因为，所以舍去；
当时，，
（ii）当时，即当时，
，符合题意；
（iii）当时，即当时，.，所以无解，不符合题意，
综上：.
【点睛】
关键点睛：根据函数的对称轴和给定区间的位置关系进行分类讨论是解题的关键.
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