北师大九年级数学上册第一单元特殊平行四边形单元测试含解析答案

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北师大九年级数学上册特殊平行四边形单元测试含解析答案

一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（     ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
4．如图，在菱形中，，，则菱形的面积是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则的长为（    ）

A．2 B． C．4 D．
6．在平面中，下列说法正确的是（    ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
7．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
8．如图，已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的长是(    )

A．5cm B．cm
C．(20－10)cm D．(20＋10)cm
9．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（  ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
10．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AFBE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（    ）

A．AG=BE B．△ABG≌△BCE C．AE=DG D．∠AGD=∠DAG
11．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长是（ ）

A． B． C． D．
12．如图，矩形ABCD中，折叠矩形一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=,且CE:CF=3:4,则矩形ABCD的周长为（ ）

A．36cm B．3 C．72cm D．7

二、填空题
13．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若，则的度数为 度．

14．如图，平行四边形的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 ．

15．如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若矩形面积为，则矩形的面积为 ．

16．一个内角的平分线把矩形的一边分成和两部分，则矩形的周长为 ．
17．如图，在四边形中，，且，若再补充一个条件，如 度时，就能推出四边形是矩形．

18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，E是CD的中点，则OE的长等于 ．

19．如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20 cm，若过点A的对角线长为20 cm，则每个菱形的面积为 cm2.

20．把一张长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，其理由是 ．

21．如图，矩形中，于，点恰好是的中点，，则的长为 ．

22．如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当 时，四边形也为矩形．

23．如图，矩形的对角线、相交于点，且，，则边的长为 ．

24．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN＝ ．


三、解答题
25．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面积．

26．如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A,B，过线段AB的中点作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C,D．求证：四边形ACBD是矩形．

27．如图，矩形，过对角线的中点作的垂线交于，交于，连结、．

求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
28．如图，平分于交OB于E ，求CD的长．

29．如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．


参考答案：
1．D
【分析】由正方形的判定可知对角线相等的菱形是正方形．
【详解】A、四边相等的四边形是菱形，故原题说法错误；
B、四角相等的四边形是矩形；故原题说法错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原题说法错误；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，通常有两种方法：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
2．B
【分析】连接BD，利用正方形的面积等于对角线的积的一半计算即可．
【详解】如图，连接BD，
  
正方形ABCD中，，则BD=AC=2，
正方形的面积为=，
故选B．
3．D
【详解】试题分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，根据方法判定即可．
A、错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；
B、可判定为矩形，而不一定是菱形；
C、可判定为等腰梯形，而不是菱形；
D、正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形，
故选D．
考点：本题考查菱形的判定方法
点评：解答本题的关键是掌握好菱形的判定方法：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
4．C
【分析】作辅助线BE⊥AD于E点，可以得出BE的长度，再用面积公式即可得出答案．
【详解】作辅助线BE⊥AD于E点，由题意知∠DAB=60°，
则∠ABE=30°，
在直角三角形ABE中，BE=AB×sin∠DAB= ，
所以菱形面积=AD×BE= ，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形面积的求法，了解面积公式是解决本题的关键．
5．D
【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．
【详解】解：∵四边形AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，
由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，
又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，
又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，
∴EB=2，EC=4，
∴Rt△BCE中，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．
6．A
【分析】根据平行四边形,矩形,菱形和筝形的定义即可解题.
【详解】解：A. 四边相等的四边形是菱形,正确    
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此选项错误,
C. 四个角相等的四边形是矩形, 故此选项错误,
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形, 故此选项错误,
综上,选择A.
【点睛】本题考查了平行四边形和特殊的平行四边形的定义,属于简单题,熟悉特殊的平行四边形的定义是解题关键.
7．D
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形有关对角线的性质进行求解即可得.
【详解】A、矩形的对角线相等且互相平分，故不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直且互相平分，故不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故不符合题意；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，故符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.
8．C
【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解．
【详解】设BP的长为x，则PC=CQ=10-x
在Rt△ABP中，AP=,
在Rt△PCQ中，PQ=,
∵AP=PQ，
∴,
解得：x1=20−10，x2=20+10＞10（舍去）
∴BP的边长是20−10.
故选C.
【点睛】考查正方形和等边三角形的性质及应用．
9．D
【详解】试题分析：对菱形和平行四边形的性质进行比较从而得到最后答案．
根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现前三项两者均具有，
而最后一项只有菱形具有平行四边形不具有，
故选D．
考点：本题考查的是菱形的性质及平行四边形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直.
10．D
【分析】根据SAS求证△ABG≌△BCE，得到对应边相等即可判断
【详解】在△ABG和△BCE中，AB=AC
∵AC，BD为正方形的对角线
∴∠ABG=∠BCE=45°
AFBE，BD,
∠ABF+∠CBE=∠ABF+∠BAF=90°
∠CBE=∠BAF,
∴△ABG≌△BCE
AG=BE,AE=DG，故A、B、C正确
故选D.
【点睛】本题主要全等三角形的判定与性质以及正方形的基本性质，解题关键在于找出全等三角形.
11．D
【分析】根据矩形性质求出OC=OD，根据菱形判定得出四边形DECO是菱形，求出OD=OC=EC=DE=，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AC=5，
∴BD=AC=5，AO=OC=AC=，BO=OD=BD=，
∴DO=OC，CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是菱形，∴OD=OC=EC=DE=，
∴四边形CODE的周长为OD+OC+EC+DE=+++=10．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形性质和菱形判定和性质的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
12．C
【分析】由CE：CF=3：4．在Rt△EFC中可设CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用相似三角形的性质求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．
【详解】设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得：EF=DE=5k，∴DC=AB=8k．
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC．
∵∠B=∠C=90°，∴△ABF∽△FCE，∴AB：BF=FC：CE=4：3，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k．在Rt△AFE中由勾股定理得：，解得：k=2，则矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=72（cm）．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解答本题关键是根据相似三角形的判定与性质，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．
13．64
【分析】根据菱形的性质可以求得和，再应用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵BD是菱形ABCD的一条对角线，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：64．
【点睛】本题考查菱形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．
14．（答案不唯一）
【分析】根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可以添加邻边相等的条件．
【详解】解：条件：AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
15．4
【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，矩形AEFC的面积等于2个△ABC的面积，由此可得矩形AEFC的面积．
【详解】∵矩形ABCD的面积S=2S△ABC=4，S矩形AEFC= 2S△ABC；
∴S矩形AEFC=4.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，解决问题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形AEFC的面积等于2个△ABC的面积．
16．或
【分析】本题需分两种情况解答．即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分分一边为3cm和4cm；当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm．
【详解】分两种情况：
当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；
当矩形的角平分分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm．
【点睛】本题主要考查的是基本的矩形性质，属于基础题型．解答这个题目时一定要注意的是分两种情况作答即可．
17．
【分析】，，且，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定.
【详解】∵四边形ABCD中,AD∥BC，且AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵有一个角为的平行四边形是矩形，
∴添加∠A=就能推出四边形ABCD是矩形，
故答案为90.
【点睛】考查矩形的判定，常见的判定方法有：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
18．4
【分析】由在菱形ABCD中，AB=8，E是CD的中点，易求得AD的长，证得OE是△ACD的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．
【详解】解：在菱形ABCD中，AB=8，
∴AD=AB=8，OA=OC，
∵E是CD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE=AD=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得OE是△ACD的中位线是关键．
19．200
【分析】根据勾股定理，先求出菱形的另一条对角线的长度，再根据菱形的面积=×两条对角线之积求解．
【详解】如图，连接AD和EF交于点O.

∵AD＝20 cm，∴AO＝10 cm，
又∵AE＝20 cm，
∴EO＝cm，∴EF＝20cm，
∴每个菱形的面积＝EF·AD＝×20×20＝200 (cm2)，
故答案为200.
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键.
20．对折后，三个角是直角且一组邻边相等
【分析】根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片．
【详解】由已知，根据折叠原理，对折后可得：
所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，
所以可以裁出正方形纸片，
故答案为对折后，三个直角，且一组邻边相等，
【点睛】此题考查的知识点是正方形的判定，关键是由折叠原理得到四边形有三个直角，且一组邻边相等．
21．
【分析】根据矩形的性质和条件可证明△BCD∽△CDE，再利用相似三角形的性质可求得CD．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=4，∠EDC=∠BCD=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EDF+∠BDC=∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠BDC，
∴△BCD∽△CDE，
∴，
又E为AD中点，
∴DE=2，
∴，
解得CD=2，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据条件证明△BCD∽△CDE是解题的关键．
22．
【分析】求出∠A=∠D=90°,CD∥AB ,AP=4t,DQ=12-2t,由矩形的性质得出∠A=∠D=90°,CD∥AB ,得出AP=DQ时,四边形APQD是矩形,得出方程4t=12-2t ,解方程即可.
【详解】根据题意得: ∠A=∠D=90°,CD∥AB
则DQ=12-2t,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,CD∥AB,
∴当AP=DQ时,四边形APQD是矩形,
即4t=12-2t,
解得:t=2,
∴当t=2s时,四边形APQD是矩形;
故答案为2s.
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、解方程等知识;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
23．
【分析】根据矩形的性质求得OA=OB=4cm，再证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得AB的长.
【详解】∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°.
∵四边形ABCD是矩形，AC=8cm，
∴AC=BD=8cm，OA=OC=AC=4cm，OB=OD=BD=4cm.
∴OA=OB.
∴△AOB是等边三角形.
∵AB=4cm．
故答案为4cm．
【点睛】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键.
24．
【分析】连接BP作EF⊥BC于点F,由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形,根据边长为1,得到BE=1,可求EF,利用面积法得S△BPE+S△BPC=S△BEC,将面积公式代入即可.
【详解】解:连接BP作EF⊥BC于点F则∠EFB=90°,由正方形的性质可知∠EBF=45°,
∴△BEF为等腰直角三角形,
又根据正方形的边长为1,得到BE=BC=1,
在直角三角形BEF中,sin∠EBF=,即,BF=EF=BEsin45°=1×,
又PM⊥BD,PN⊥BC,
∴S△BPE+S△BPC=S△BEC,即BE×PM+×BC×PN=,
∵BE=BC,
PM+PN=EF=.

【点睛】本题考查了正方形性质和三角函数,中等难度,作辅助线,利用面积法将求线段和转换成求EF是解题关键.
25．（1）见解析；（2）32
【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；
（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=AD，EC=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠1=90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：在Rt△ABE中，AE=，
所以，S菱形ABCD=8×4=32．
【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．
26．证明见解析.
【详解】试题分析：线证明BA和CD互相平分，得四边形ADBC是平行四边形，再利用角平分线可知，∠DAC=90°.
试题解析：
证明：∵AD平分∠BAN，
∴∠DAN=∠BAD.
∵CD∥MN，∴∠CDA=∠DAN.
∴∠BAD=∠CDA.∴OD=OA.同理CO=OA.
∴CO=OD.∵AO=BO，
∴四边形ACBD是平行四边形.
∵AC,AD均为角平分线，
∴∠CAD=90°，∴四边形ACBD是矩形．
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，，则；
如图（4），已知平分，，则.

          (1)             (2)                 (3)                       (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
  如图（5），已知平分，且，则，.

(5)
27．（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）首先证明△EDO≌△FBO，则EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形DEBF是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判断；
（2）设AE=x，则BE=DE=3-x，在Rt△AEB中，根据勾股定理BE2=AE2+AB2，即可列方程求解．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
解：设，则，而，
在中，根据勾股定理，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及菱形的判定方法，以及勾股定理的应用，正确掌握菱形的判定定理是关键．
28．10cm
【详解】试题分析：
过点C作CF⊥OB于点F，由OC平分∠AOB，CD⊥OA可得CD=CF；由OC平分∠AOB，CE∥OA，可得∠EOC=∠DOC=∠ECO=15°，从而可得CE=OE=20cm，∠CEF=∠EOC+∠ECO=30°，结合CF⊥OB于点F可得CF=CE=10cm，由此即可得到CD=10cm.
试题解析：
如图，过点C作CF⊥OB于点F，
∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，
∴CD=CF，∠EOC=∠DOC=15°，
∵CE∥OA，
∴∠EOC=∠DOC=∠ECO=15°，
∴CE=OE=20cm，∠CEF=∠EOC+∠ECO=30°，
又∵CF⊥OB于点F，
∴CF=CE=10cm，
∴CD=10cm.

29．（1）证明见解析；（2）
【详解】分析：
（1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，结合ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形；
（2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，∠AEC=90°，由此在Rt△BCE中，可得CE=，这样在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=.
详解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∴四边形BECD是平行四边形．
∵AD=BC，AD =DE，
∴BC=DE．
∴平行四边形BECD是矩形．
（2）如下图，连接AC，
∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，
∴AB=BE=CD=2,BC=AD=4，∠AEC=90°，
∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE=，
∴在Rt△ACE中，AC=.

点睛：熟悉“平行四边形的性质与判定和矩形的判定方法”是正确解答本题的关键.