专题13 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

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专题13 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略

考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析 考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点四 求特殊角的三角函数值

典型例题


考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cos∠ACD=，
∴cosB=，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴cosB≠，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．
3．（2022·上海·九年级专题练习）在中，．下列四个选项，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，

根据勾股定理得：BC===3，
=，
=，
=，
=，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，要注意．

考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC

在Rt△BEC中，BC=
∵AD⊥BC，
∴×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，

故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（        ）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．
【详解】解：由圆周角定理得：，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正切三角函数、圆周角定理等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．
2．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____．

【答案】
【分析】连接，根据格点特点得出，，，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：

根据方格纸的特点可知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，正方形中，点是边的中点，，则______．

【答案】
【分析】依题意设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【详解】设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x， 
∴，
，
，
∴，
∴△CEM是直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意，确定△CEM是直角三角形以及熟练掌握正弦等于对边比斜边是解题的关键．

考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长
例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（    ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．
【详解】解：如图

∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___．

【答案】5
【分析】根据，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，，∠C＝90°，
∴，
设BC=5x，则AB=13x，
∵，
∴，解得：x=1或-1（舍去），
∴BC=5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________．
【答案】
【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，正切是该角的对边与邻边的比．利用正切函数得出两直角边的关系，再由勾股定理即可求出另一直角边的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
根据勾股定理：
，
（负值舍去）．
故答案为：．

【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．
3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．

【答案】
【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】∵∠B＝90°，
∴．
∵AB＝10，
∴AC＝14，
∴．
∴BC的长为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键．

考点四 求特殊角的三角函数值
例题：（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方，再计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）首先计算绝对值、零指数幂、二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】（1）解：


．
（2）解：


．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【变式训练】
1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：．
【答案】9
【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可．
【详解】解：原式

【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则．
2．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂法则，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义计算即可得解．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
3．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】先化简各个项，再计算即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据乘方、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂先进行化简．







课后训练


一、选择题
1．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：如图所示，，，，，，

∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2022·山东· 九年级阶段练习）在中，，，，则的值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数的定义求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
tan A=，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数，熟练掌握正切三角函数的定义：tan A=是解题的关键．
3．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴62+(4x)2＝(5x)2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍），
则BC＝4x＝8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键．
4．（2022·陕西·西安滨河学校三模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于A、B两点，顶点是点，连接、，则的值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据抛物线的平移得到平移后的抛物线的表达式，并转换为顶点式，得到平移后抛物线的顶点的坐标，并计算出平移后的抛物线与轴交点坐标，计算出AC的长度，即可得到答案．
【详解】抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
平移后的解析式为，
顶点的坐标为，
令，得，
解得：或，
点，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质和直角三角形的正弦，解题的关键是掌握二次函数的平移规则，即上加下减，左加右减 ．
5．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）如图，扇形中，，，点在上，连接，点 关于的对称点刚好落在上，则阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，过作于，先证是等边三角形，得到，，再利用阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积即可得解．
【详解】解：连接，过作于，如图所示：

由折叠可知：，
∴是等边三角形，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴阴影面积=；
故选：B．
【点睛】本题考查阴影部分面积，轴对称性质，掌握阴影部分面积的求法是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则＝____．
【答案】##0.5
【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得的值．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．

∵在Rt△ABC中，，，
∴，
∴．
故答案为∶．
【点睛】考查了直角三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
7．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）是的中线，点G是的重心，若，，则______．
【答案】4
【分析】根据题意作图图形，然后根据等腰三角形的性质可得，则有根据三角函数及勾股定理可得，进而根据三角形的重心可进行求解．
【详解】解：如图所示：

∵是的中线，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵点G是的重心，
∴；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角函数及三角形的重心，熟练掌握等腰三角形的性质、三角函数及三角形的重心是解题的关键．
8．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在中，，是斜边上的中线，，，则的值是______．
【答案】
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．（2022·四川乐山·九年级期末）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
10．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）如图，在中，，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交BC于点D，设，则________．

【答案】
【分析】根据勾股定理，结合已知条件，可求得，再运用角的余弦的定义求得．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了锐角余弦的定义，准确理解角的余弦的定义是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值的性质进行计算，再进行加减即可得结果；
（2）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质进行计算，再进行加减即可得结果．
【详解】（1）解：原式=
=
=；
（2）解：原式=
=
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
12．（2022·江苏无锡·九年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将，，代入，再计算乘法与加法；
（2）将，，代入，然后根据二次根式的性质，非0数的0指数幂等于1，乘积等于1的两个数互为倒数化简，最后有理数无理数分别合并．
【详解】（1）


；
（2）


．
【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数，实数的运算．解决问题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质，0指数幂定义，倒数的定义．
13．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
（1）
证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）
解：如图，

四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
14．（2021·四川绵阳·二模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，AC、BC与⊙O分别交于D、E，且CE＝BE，过点E作AC垂线，垂足为点M，直线ME与AB延长线交于点F．

(1)证明：MF与⊙O相切；
(2)若⊙O半径为5，cos∠ACB，求BF的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和全等三角形的性质可得AE是的平分线，在根据等腰三角形的性质和平行线的判定，得出，再根据得出，即可得；
（2）利用直角三角形的边角关系可求出，在中根据锐角三角函数可求出CM，进而求出AM=8，再由平行线得出，由对应边成比例求解即可得．
（1）
证明：如图所示，连接OE，AE，

∵AB是直径，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OE是半径，
∴MF是的切线；
（2）
解：由（1）可知，，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，


解得，．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
15．（2022·广东·深圳中学龙岗学校（集团）兰著学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，，点C是射线上的一个动点（点C不与点O、A重合）．把线段绕点C顺时针旋转，得到的对应线段为，点D是的中点，连结，设点C坐标为，的面积为S．

(1)求点A坐标；
(2)当点C在线段上时，请求出S与n的函数表达式；
(3)当以A，C，D为顶点的三角形与相似时，请直接写出满足条件的n的值为　　．
【答案】(1)点A坐标为
(2)
(3)或或
【分析】（1）在中，，得，即可求解；
（2）线段绕点C顺时针旋转，得到的对应线段为，，由点D是的中点，得，求出；
（3）当时，①，利用三角形的性质解得；②，利用三角形的性质解得；当时，①，利用三角形的性质解得（舍去）；②，利用三角形的性质解得．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴点A坐标为；
（2）解：线段绕点C顺时针旋转，得到的对应线段为，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）两三角形已经有一组直角相等，
当时，
①，
∴，
∴，解得；
②，
∴，
∴，解得；
当时，
①，
∴，
∴，解得（舍去）；
②，
∴，
∴，解得．
综上，或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，解答本题主要应用了三角形的面积公式，锐角三角函数定义，用含n的代数式表示线段长度，相似三角形的性质运用等知识，关键是分类讨论的思想方法．