【单元知识点归纳】（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 第十二章 全等三角形（知识归纳+题型突破）

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第十二章 全等三角形（知识归纳+题型突破）

1.了解全等图形与全等三角形的概念与性质．　
2.掌握三角形全等的判定方法．　
3.掌握角平分线的性质与判定．

一 全等图形
概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
全等图形特征：
①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.
二 全等三角形
概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’

对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’; 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’;
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
对应元素的规律:
(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；
三、 全等三角形的判定（重点）

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.
2.全等三角形周长、面积相等.
四、证题的思路（难点）

五、 角平分线的性质与判定
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；

数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB 
∴∠MOP=∠NOP
六、角平分线常考四种辅助线：
1.图中有角平分线，可向两边作垂线. 2.角平分线加垂线，三线合一试试看. 
3.角平分线平行线，等腰三角形来添.  4.也可将图对折看，对称以后关系出现.

题型一 全等图形识别
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解题的关键．
【巩固训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等图形的是（   ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．
【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；
B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；
C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；
D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．

【答案】（1）（4）（5）（6）．
【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
【详解】解：（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等．
故答案是：（1）（4）（5）（6）．
【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________．

【答案】
【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到．
【详解】解：根据题意得：
所以,
故答案为：
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．


题型二 全等三角形的概念和性质
例题：（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）下列说法中，正确的有（    ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据全等的定义和性质判断即可．
【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；
②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；
③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；
④若，则，，故④错误；
故正确的有1个．
故选：A
【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．
【巩固训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
【详解】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，，且，，则的度数为______．

【答案】/度
【分析】先根据平行线的性质得到，再由全等三角形的性质即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，且，，，求和的度数．

【答案】，
【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．
【详解】解：，
．

．
综上所述：，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题的关键．


题型三 添一个条件使两三角形全等
例题：（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，B，F，E，D四点共线，，．若要使，则需要添加的条件是_______（只需添加一个你认为合适的条件即可）．
  
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意知，添加的条件为，可证．
【详解】解：由题意知，添加的条件为，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键在于确定判定三角形全等的条件．
【巩固训练】
1．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，已知，要判定，则需要补充的一个条件为______（只需补充一个）．
  
【答案】（答案不唯一）
【分析】添加条件为，，根据即可推出两三角形全等．
【详解】解：添加条件为，
理由是：∵在和中，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
2．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点D，E分别在线段上，相交于点O，，要使，需添加一个条件是_____________（只需填一个即可）．
  
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．
【详解】∵，
∴当添加的条件为时，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：______________；要使用“”证明，应添加条件：_________________．

【答案】 （或） （或）
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．
【详解】解：已知，，
要使用“”， 添加的条件是直角边相等，
故答案为：（或）；
要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为：
（或）．
故答案为：（或）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．


题型四 三角形全等的判定方法
例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．
  
【答案】见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中

∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．
【巩固训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接根据证明即可．
（2）根据（1）得，然后证明即可．
【详解】（1）解： 证明：在和中，
                   
∴ ．
（2）解：由（1）知，
∴    ，      
在和中，
              
∴ ，       
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．
2．（2023春·全国·七年级期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，．

(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4，见解析
【分析】（1）根据判定即可；
（2）根据和点B为中点即可求出．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴
（2）解：∵，，
∴，，
∵点B为中点，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．
4．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由得，即，从而即可证得；
（2）由可得，，即可得到，从而即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，．

(1)求证：；
(2)试猜想与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据可证明；
（2）根据证明可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．


题型五 角平分线的性质与判定定理
例题：（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，中，，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是 cm．
  
【答案】3
【分析】过D作于E．根据角平分线性质求解即可．
【详解】解：过D作于E．如图，
  
∵是的平分线，，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．
【巩固训练】
1．（2023春·贵州·七年级统考期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．
  
【答案】2
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分线的性质可得，即可求出的长．
【详解】，
，
即．
，    
，
．
∵平分，
，
，
∴平分．
，
．
，
，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明平分是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．
  
(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；
（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．

(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明．
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得度数．
【详解】（1）证明：，，，
点D在的平分线上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键．
4．（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．
  
(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】（1）解：作于，如图，
  
又∵平分，，
∴，
即点到直线的距离为8cm；
（2）证明：∵平分，且于点，，
∴，
又，
∴，
∴点在的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．


题型六 几何动点中求使三角形全等的值
例题：（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 _____秒时，与全等．

【答案】1或或6
【分析】分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上．
【详解】解：与全等，
斜边斜边，
分四种情况：
当点在上，点在上，如图：

，
，
，
当点、都在上时，此时、重合，如图：

，
，
，
当点到上，点在上时，如图：

，
，
，不符合题意，
当点到点，点在上时，如图：

，
，
，
综上所述：点的运动时间等于或或秒时，与全等，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键
【巩固训练】
1．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段，于点A，，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发___________秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．

【答案】5
【分析】分两种情况考虑：当时与当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【详解】解：当时，，即，
解得：；
当时，米，
此时所用时间为10，，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段上有一点，使与全等．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则______．
  
【答案】或
【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为秒，
由题意可知，，，
，
，

①当时，，，
，解得：，
②当时，，，
，解得：，
综上可知，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
3．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5

（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10−2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．


题型七 三角形全等判定与性质综合问题
例题：（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，于，点在边上，连接．
  
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；
（2）根据三角形的面积的面积三角形的面积，即可求得的长度；
（3）根据线段之间的关系，即可得到．
【详解】（1）证明：，，
∴；
（2）解：，
，
又，，且的面积等于24，
，
；
（3）解：∵，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明，根据全等三角形的对应边相等解决问题．
【巩固训练】
1．（2023春·辽宁丹东·七年级校联考期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．

(1)求证：；
(2)连接，若，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用证明，得到，即可得证；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义，求出的度数，再根据，即可得解．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算．解题的关键是证明三角形全等．
2．（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，是经过顶点B的一条直线，，E、D分别是直线上两点，且．
 
(1)若直线经过的内部，且E、D在射线上．
【问题情景】如图1，若，，则之间的数量关系是______；
【问题解决】如图2，若，那么当______°时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)若直线经过的外部．
【拓展提升】如图3，，请写出关于三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
【答案】(1)【问题情景】；【问题解决】60，理由见解析；
(2)【拓展提升】，理由见解析．
【分析】（1）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴；
60，理由如下：
∵
∴．
又∵，
∴．
在和中，

∴．
∴，
∵
∴；
（2）．理由如下：
∵
∴．
又∵，
∴．
在和中，

∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．