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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练第十二章全等三角形章末检测卷(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练第十二章全等三角形章末检测卷(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·辽宁葫芦岛·八年级期末）下列说法正确的是（ ）.
A．形状相同的两个三角形全等；
B．面积相等的两个三角形全等；
C．等腰三角形一腰上的高线和中线重合；
D．三角形的一条中线将该三角形分成面积相等的两部分.
2．(本题4分)(2023·山西长治·七年级期末）如图，，点B，A，E在同一条直线上，则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．(本题4分)（2023·吉林长春·八年级期末）作∠AOB的角平分线的作图过程如下：
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边
4．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝DB
5．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
6．(本题4分)(2023·河南信阳·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HLB．SASC．SSSD．ASA
7．(本题4分)(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，若AD＝3，CD＝5，则CE的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
8．(本题4分)(2023·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3
9．(本题4分)（2023·全国·八年级单元测试）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．或
10．(本题4分)(2023·江苏·八年级）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2023·云南玉溪·八年级期末）已知，AB＝4，，则BC边的取值范围是______．
12．(本题5分)（2023·云南·川师大昆明附中安宁校区八年级期中）如图，点、、、在一条直线上，//，，，，则______．
13．(本题5分)(2023·辽宁大连·八年级期末）如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，PF⊥AB，垂足为F，PF＝3，则点P到AC的距离为 _____．
14．(本题5分)(2023·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①：②；③若，，则；④．其中正确的是_______．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
16．(本题8分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
17．(本题8分)（2023·广西南宁·八年级期中）如图，己知．求证：．
18．(本题8分)（2023·海南三亚·八年级期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P．
(1)求证：；
(2)求的度数．
19．(本题10分)(2023·江西省吉安市第二中学八年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
20．(本题10分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：点O为BF的中点．
21．(本题12分)(2023·福建福州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长，交AM于点F．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论．
22．(本题12分)（2023·辽宁朝阳·八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPD的度数；
（3）求AD的长．
23．(本题14分)(2023·山东滨州·八年级期末）【知识积累】长方形的四个角是直角，对边相等（小学学习过）．
【题目展示】如图1，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，A点的坐标是，B点的坐标是，四边形是长方形，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动，设点M的运动时间为．
(1)【问题解决】用含t的代数式表示的长度；
(2)若，求出此时t的值；
(3)如图2，当点M从点O开始运动时，点N同时从点B出发，以每秒x个单位的速度沿向点C运动，是否存在这样的y值，使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
全等三角形章末检测卷
考试范围：第12章；考试时间：120分钟；满分150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·辽宁葫芦岛·八年级期末）下列说法正确的是（ ）.
A．形状相同的两个三角形全等；
B．面积相等的两个三角形全等；
C．等腰三角形一腰上的高线和中线重合；
D．三角形的一条中线将该三角形分成面积相等的两部分.
答案：D
【解析】
分析：
根据全等三角形的性质即可判断选项A；举出反例，再根据三角形的面积公式求出两三角形的面积，即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一性质即可判断选项C；根据三角形的面积即可判断选项D．
【详解】
解：A、形状相同、大小也相同的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
B、△ABC和△DEF中，BC＝2，边BC上的高是1，EF＝1，边EF上的高是2，
此时两三角形的面积相等，都是＝1，但是两三角形不全等，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线与中线重合，而不是腰上的高线与中线重合，故本选项不符合题意；
D、根据等底等高的三角形的面积相等得出三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的两部分，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和全等三角形的判定定理，等腰三角形性质，熟记全等三角形的判定定理和三角形的面积公式，等腰三角形性质是解此题的关键．
2．(本题4分)(2023·山西长治·七年级期末）如图，，点B，A，E在同一条直线上，则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形性质，可得，，即可判断A，B，C选项，以及在中勾股定可求得，即可判断D选项．
【详解】
解：∵
∴
，故A正确
，故B不正确，
，故C不正确
∵点B，A，E在同一条直线上，
在中，
，故D不正确，
故选A
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．(本题4分)（2023·吉林长春·八年级期末）作∠AOB的角平分线的作图过程如下：
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边
答案：D
【解析】
分析：
连接CE，CD，可根据SSS证明△OCE≌△OCD，由此得到答案．
【详解】
解：连接CE，CD，
由题意知，OE=OD，CE=CD，
∵OC=OC，
∴可根据SSS证明△OCE≌△OCD，
故选：D．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定定理，熟记判定定理并应用是解题的关键．
4．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝DB
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】
解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
答案：C
【解析】
分析：
①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】
解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
6．(本题4分)(2023·河南信阳·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HLB．SASC．SSSD．ASA
答案：D
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，根据已知选择判断方法．
【详解】
因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选D
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．(本题4分)(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，若AD＝3，CD＝5，则CE的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
答案：D
【解析】
分析：
根据角平分线的性质得到DE＝AD＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝AD，
∵AD＝3，
∴DE＝3，
∴CE＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．(本题4分)(2023·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3
答案：C
【解析】
分析：
利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．
【详解】
在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，根据作法可知：
AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
综上，能判断射线AD平分∠BAC的是图1和图3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
9．(本题4分)（2023·全国·八年级单元测试）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．或
答案：A
【解析】
分析：
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
10．(本题4分)(2023·江苏·八年级）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
答案：A
【解析】
分析：
根据题目中的条件，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
解：在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
故选：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2023·云南玉溪·八年级期末）已知，AB＝4，，则BC边的取值范围是______．
答案：1＜BC＜7
【解析】
分析：
根据三角形全等的性质得AC=A'C'=3，然后根据三角形三边的关系求解．
【详解】
解：∵△ABC≌△A'B'C'
∴AC=A'C'=3，
∵AB＝4，
∴4-3＜BC＜4+3．即1＜BC＜7．
故答案为：1＜BC＜7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．也考查了三角形三边的关系．
12．(本题5分)（2023·云南·川师大昆明附中安宁校区八年级期中）如图，点、、、在一条直线上，//，，，，则______．
答案：6
【解析】
分析：
根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13．(本题5分)(2023·辽宁大连·八年级期末）如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，PF⊥AB，垂足为F，PF＝3，则点P到AC的距离为 _____．
答案：3
【解析】
分析：
运用角平分线的性质添加辅助线PH⊥AC于点H，PG⊥BC于点G，等量代换得到PH=PF，即可得出答案．
【详解】
如图，作PH⊥AC于点H，PG⊥BC于点G，
∵BD平分∠CBF，CE平分∠HCB
∴PG=PF，PG=PH
∴PH= PF
∵PF=3
∴PH=3
∴点P到AC的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】
三角形中有公共边的两个外角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等．
14．(本题5分)(2023·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①：②；③若，，则；④．其中正确的是_______．
答案：①②③
【解析】
分析：
先根据，，证明，再根据全等三角形求证后续结论．
【详解】
又
又
故①正确．
故②正确．
故③正确．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是找准证明三角形全等的条件．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
答案：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
分析：
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
16．(本题8分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
答案：(1)证明见解析
(2)2
【解析】
分析：
（1）由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出，即．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出，即得出，进而可求出．
（1）证明：∵，∴，．∵点B，C，D在同一条直线上，∴，∴．∵，∴，∴，即；
（2）∵，∴，，∴∴，∴．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
17．(本题8分)（2023·广西南宁·八年级期中）如图，己知．求证：．
答案：证明见解析.
【解析】
分析：
根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，进而根据ASA证明△ABC≌△DEF，即可得证．
【详解】
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F
∵
即，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握ASA证明三角形全等是解题的关键．
18．(本题8分)（2023·海南三亚·八年级期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P．
(1)求证：；
(2)求的度数．
答案：(1)见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）根据条件证明即可证明结论；
（2）根据即可得到结论
(1)
证明：∵，
∴
即：，
在和中
，
∴；
∴；
(2)
解：，理由如下：
∵ ，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查三角形的全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键
19．(本题10分)(2023·江西省吉安市第二中学八年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
．
（1）由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线；
（2）由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
(1)
解：由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，
延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线，如图所示：
(2)
解：如图所示：由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
【点睛】
本题考查了尺规作图，三角形得角平分线，中点，解题的关键是掌握这些知识点．
20．(本题10分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：点O为BF的中点．
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）证明△ACO≌△DEO即可得到O为BF的中点．
（1）∵ABDF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
21．(本题12分)(2023·福建福州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长，交AM于点F．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论．
答案：(1)见解析
(2)AF=BC，见解析
【解析】
分析：
(1)分析题意，结合利用尺规作角平分线等知识，即可得出正确的图形；
(2)根据等腰三角形的性质与三角形.外角的性质，可得到∠C=∠FAC， 进而可得AF∥BC，然后再根据全等三角形的判定定理，即可得到△AEF≌△CEB，接下来再由全等三角形的性质，即可得到AF与BC的数量关系．
(1)
解：如图所示：
(2)
AF=BC，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，
由作图可得∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E为AC中点，
∴AE= EC，
在△AEF和△CEB中，
∠ FAE=∠C，AE= CЕ，∠AEF=∠BEC，
△АЕF≌△CEB，
∴AF= BC．
【点睛】
此题考查了作角的平分线，全等三角形的判定及性质，正确掌握全等三角形的判定定理及角平分线的作图方法是解题的关键．
22．(本题12分)（2023·辽宁朝阳·八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPD的度数；
（3）求AD的长．
答案：（1）详见解析；（2）60°；（3）7．
【解析】
分析：
（1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAD，进而解答即可；
（3）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
又∵AE＝CD，
在△ABE与△CAD中， ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：由（1）得∠ABE＝∠CAD AD＝BE，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE
＝∠BAD+∠CAD
＝60°；
（3）解：∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵AD＝BE，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质及含30度角的直角三角形，解题突破口是根据全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAD．
23．(本题14分)(2023·山东滨州·八年级期末）【知识积累】长方形的四个角是直角，对边相等（小学学习过）．
【题目展示】如图1，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，A点的坐标是，B点的坐标是，四边形是长方形，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动，设点M的运动时间为．
(1)【问题解决】用含t的代数式表示的长度；
(2)若，求出此时t的值；
(3)如图2，当点M从点O开始运动时，点N同时从点B出发，以每秒x个单位的速度沿向点C运动，是否存在这样的y值，使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)12﹣2t
(2)t=3
(3)存在，x=2或x=
【解析】
分析：
（1）根据BM=OB-OM，先用含t的式子表示出OM，即可得出结果；
（2）根据OM=BM，列出关于t的方程，即可求解；
（3）分类讨论，当△AOM≌△MBN和△AOM≌△NBM时，分别列出方程求解即可．
(1)
∵点B的坐标为（12，0），
∴OB=12，
∵点M的速度是2cm/s，
∴ts后OM=2tcm，
∴MB=OB−OM=12−2t；
(2)
∵△AOM≌△CBM，
∴OM=BM，AO=BC，
∴12﹣2t，
∴t=3；
(3)
∵四边形AOBC是长方形，
∴∠B=∠AOB=90°，
∴当AO=MB，OM=BN时，△AOM≌△MBN，
∵点A的坐标为（0，8），
∴AO=8，
∴12−2t=8，2t=xt，
解得：t=2，x=2；
当AO=NB，OM=BM时，△AOM≌△NBM，
此时，点M为OB的中点，点N与点C重合，
∴2t=6，xt=8，
解得：t=3，x=，
综上所述，当t=2，x=2或t=3，x=时，△AOM与△MNB全等．
【点睛】
本题考查动点问题，全等三角形的判断和性质，利用等量关系列出方程是解题的关键．
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·辽宁葫芦岛·八年级期末）下列说法正确的是（ ）.
A．形状相同的两个三角形全等；
B．面积相等的两个三角形全等；
C．等腰三角形一腰上的高线和中线重合；
D．三角形的一条中线将该三角形分成面积相等的两部分.
2．(本题4分)(2023·山西长治·七年级期末）如图，，点B，A，E在同一条直线上，则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．(本题4分)（2023·吉林长春·八年级期末）作∠AOB的角平分线的作图过程如下：
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边
4．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝DB
5．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
6．(本题4分)(2023·河南信阳·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HLB．SASC．SSSD．ASA
7．(本题4分)(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，若AD＝3，CD＝5，则CE的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
8．(本题4分)(2023·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3
9．(本题4分)（2023·全国·八年级单元测试）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．或
10．(本题4分)(2023·江苏·八年级）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2023·云南玉溪·八年级期末）已知，AB＝4，，则BC边的取值范围是______．
12．(本题5分)（2023·云南·川师大昆明附中安宁校区八年级期中）如图，点、、、在一条直线上，//，，，，则______．
13．(本题5分)(2023·辽宁大连·八年级期末）如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，PF⊥AB，垂足为F，PF＝3，则点P到AC的距离为 _____．
14．(本题5分)(2023·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①：②；③若，，则；④．其中正确的是_______．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
16．(本题8分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
17．(本题8分)（2023·广西南宁·八年级期中）如图，己知．求证：．
18．(本题8分)（2023·海南三亚·八年级期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P．
(1)求证：；
(2)求的度数．
19．(本题10分)(2023·江西省吉安市第二中学八年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
20．(本题10分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：点O为BF的中点．
21．(本题12分)(2023·福建福州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长，交AM于点F．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论．
22．(本题12分)（2023·辽宁朝阳·八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPD的度数；
（3）求AD的长．
23．(本题14分)(2023·山东滨州·八年级期末）【知识积累】长方形的四个角是直角，对边相等（小学学习过）．
【题目展示】如图1，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，A点的坐标是，B点的坐标是，四边形是长方形，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动，设点M的运动时间为．
(1)【问题解决】用含t的代数式表示的长度；
(2)若，求出此时t的值；
(3)如图2，当点M从点O开始运动时，点N同时从点B出发，以每秒x个单位的速度沿向点C运动，是否存在这样的y值，使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
全等三角形章末检测卷
考试范围：第12章；考试时间：120分钟；满分150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·辽宁葫芦岛·八年级期末）下列说法正确的是（ ）.
A．形状相同的两个三角形全等；
B．面积相等的两个三角形全等；
C．等腰三角形一腰上的高线和中线重合；
D．三角形的一条中线将该三角形分成面积相等的两部分.
答案：D
【解析】
分析：
根据全等三角形的性质即可判断选项A；举出反例，再根据三角形的面积公式求出两三角形的面积，即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一性质即可判断选项C；根据三角形的面积即可判断选项D．
【详解】
解：A、形状相同、大小也相同的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
B、△ABC和△DEF中，BC＝2，边BC上的高是1，EF＝1，边EF上的高是2，
此时两三角形的面积相等，都是＝1，但是两三角形不全等，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线与中线重合，而不是腰上的高线与中线重合，故本选项不符合题意；
D、根据等底等高的三角形的面积相等得出三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的两部分，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和全等三角形的判定定理，等腰三角形性质，熟记全等三角形的判定定理和三角形的面积公式，等腰三角形性质是解此题的关键．
2．(本题4分)(2023·山西长治·七年级期末）如图，，点B，A，E在同一条直线上，则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形性质，可得，，即可判断A，B，C选项，以及在中勾股定可求得，即可判断D选项．
【详解】
解：∵
∴
，故A正确
，故B不正确，
，故C不正确
∵点B，A，E在同一条直线上，
在中，
，故D不正确，
故选A
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．(本题4分)（2023·吉林长春·八年级期末）作∠AOB的角平分线的作图过程如下：
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边
答案：D
【解析】
分析：
连接CE，CD，可根据SSS证明△OCE≌△OCD，由此得到答案．
【详解】
解：连接CE，CD，
由题意知，OE=OD，CE=CD，
∵OC=OC，
∴可根据SSS证明△OCE≌△OCD，
故选：D．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定定理，熟记判定定理并应用是解题的关键．
4．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝DB
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】
解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．(本题4分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
答案：C
【解析】
分析：
①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】
解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
6．(本题4分)(2023·河南信阳·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HLB．SASC．SSSD．ASA
答案：D
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，根据已知选择判断方法．
【详解】
因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选D
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．(本题4分)(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，若AD＝3，CD＝5，则CE的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
答案：D
【解析】
分析：
根据角平分线的性质得到DE＝AD＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝AD，
∵AD＝3，
∴DE＝3，
∴CE＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．(本题4分)(2023·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3
答案：C
【解析】
分析：
利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．
【详解】
在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，根据作法可知：
AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
综上，能判断射线AD平分∠BAC的是图1和图3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
9．(本题4分)（2023·全国·八年级单元测试）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．或
答案：A
【解析】
分析：
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
10．(本题4分)(2023·江苏·八年级）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
答案：A
【解析】
分析：
根据题目中的条件，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
解：在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
故选：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2023·云南玉溪·八年级期末）已知，AB＝4，，则BC边的取值范围是______．
答案：1＜BC＜7
【解析】
分析：
根据三角形全等的性质得AC=A'C'=3，然后根据三角形三边的关系求解．
【详解】
解：∵△ABC≌△A'B'C'
∴AC=A'C'=3，
∵AB＝4，
∴4-3＜BC＜4+3．即1＜BC＜7．
故答案为：1＜BC＜7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．也考查了三角形三边的关系．
12．(本题5分)（2023·云南·川师大昆明附中安宁校区八年级期中）如图，点、、、在一条直线上，//，，，，则______．
答案：6
【解析】
分析：
根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13．(本题5分)(2023·辽宁大连·八年级期末）如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，PF⊥AB，垂足为F，PF＝3，则点P到AC的距离为 _____．
答案：3
【解析】
分析：
运用角平分线的性质添加辅助线PH⊥AC于点H，PG⊥BC于点G，等量代换得到PH=PF，即可得出答案．
【详解】
如图，作PH⊥AC于点H，PG⊥BC于点G，
∵BD平分∠CBF，CE平分∠HCB
∴PG=PF，PG=PH
∴PH= PF
∵PF=3
∴PH=3
∴点P到AC的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】
三角形中有公共边的两个外角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等．
14．(本题5分)(2023·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①：②；③若，，则；④．其中正确的是_______．
答案：①②③
【解析】
分析：
先根据，，证明，再根据全等三角形求证后续结论．
【详解】
又
又
故①正确．
故②正确．
故③正确．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是找准证明三角形全等的条件．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
答案：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
分析：
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
16．(本题8分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
答案：(1)证明见解析
(2)2
【解析】
分析：
（1）由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出，即．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出，即得出，进而可求出．
（1）证明：∵，∴，．∵点B，C，D在同一条直线上，∴，∴．∵，∴，∴，即；
（2）∵，∴，，∴∴，∴．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
17．(本题8分)（2023·广西南宁·八年级期中）如图，己知．求证：．
答案：证明见解析.
【解析】
分析：
根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，进而根据ASA证明△ABC≌△DEF，即可得证．
【详解】
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F
∵
即，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握ASA证明三角形全等是解题的关键．
18．(本题8分)（2023·海南三亚·八年级期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P．
(1)求证：；
(2)求的度数．
答案：(1)见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）根据条件证明即可证明结论；
（2）根据即可得到结论
(1)
证明：∵，
∴
即：，
在和中
，
∴；
∴；
(2)
解：，理由如下：
∵ ，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查三角形的全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键
19．(本题10分)(2023·江西省吉安市第二中学八年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
．
（1）由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线；
（2）由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
(1)
解：由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，
延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线，如图所示：
(2)
解：如图所示：由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
【点睛】
本题考查了尺规作图，三角形得角平分线，中点，解题的关键是掌握这些知识点．
20．(本题10分)(2023·江苏·八年级课时练习）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：点O为BF的中点．
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）证明△ACO≌△DEO即可得到O为BF的中点．
（1）∵ABDF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
21．(本题12分)(2023·福建福州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长，交AM于点F．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论．
答案：(1)见解析
(2)AF=BC，见解析
【解析】
分析：
(1)分析题意，结合利用尺规作角平分线等知识，即可得出正确的图形；
(2)根据等腰三角形的性质与三角形.外角的性质，可得到∠C=∠FAC， 进而可得AF∥BC，然后再根据全等三角形的判定定理，即可得到△AEF≌△CEB，接下来再由全等三角形的性质，即可得到AF与BC的数量关系．
(1)
解：如图所示：
(2)
AF=BC，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，
由作图可得∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E为AC中点，
∴AE= EC，
在△AEF和△CEB中，
∠ FAE=∠C，AE= CЕ，∠AEF=∠BEC，
△АЕF≌△CEB，
∴AF= BC．
【点睛】
此题考查了作角的平分线，全等三角形的判定及性质，正确掌握全等三角形的判定定理及角平分线的作图方法是解题的关键．
22．(本题12分)（2023·辽宁朝阳·八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPD的度数；
（3）求AD的长．
答案：（1）详见解析；（2）60°；（3）7．
【解析】
分析：
（1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAD，进而解答即可；
（3）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
又∵AE＝CD，
在△ABE与△CAD中， ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：由（1）得∠ABE＝∠CAD AD＝BE，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE
＝∠BAD+∠CAD
＝60°；
（3）解：∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵AD＝BE，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质及含30度角的直角三角形，解题突破口是根据全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAD．
23．(本题14分)(2023·山东滨州·八年级期末）【知识积累】长方形的四个角是直角，对边相等（小学学习过）．
【题目展示】如图1，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，A点的坐标是，B点的坐标是，四边形是长方形，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动，设点M的运动时间为．
(1)【问题解决】用含t的代数式表示的长度；
(2)若，求出此时t的值；
(3)如图2，当点M从点O开始运动时，点N同时从点B出发，以每秒x个单位的速度沿向点C运动，是否存在这样的y值，使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)12﹣2t
(2)t=3
(3)存在，x=2或x=
【解析】
分析：
（1）根据BM=OB-OM，先用含t的式子表示出OM，即可得出结果；
（2）根据OM=BM，列出关于t的方程，即可求解；
（3）分类讨论，当△AOM≌△MBN和△AOM≌△NBM时，分别列出方程求解即可．
(1)
∵点B的坐标为（12，0），
∴OB=12，
∵点M的速度是2cm/s，
∴ts后OM=2tcm，
∴MB=OB−OM=12−2t；
(2)
∵△AOM≌△CBM，
∴OM=BM，AO=BC，
∴12﹣2t，
∴t=3；
(3)
∵四边形AOBC是长方形，
∴∠B=∠AOB=90°，
∴当AO=MB，OM=BN时，△AOM≌△MBN，
∵点A的坐标为（0，8），
∴AO=8，
∴12−2t=8，2t=xt，
解得：t=2，x=2；
当AO=NB，OM=BM时，△AOM≌△NBM，
此时，点M为OB的中点，点N与点C重合，
∴2t=6，xt=8，
解得：t=3，x=，
综上所述，当t=2，x=2或t=3，x=时，△AOM与△MNB全等．
【点睛】
本题考查动点问题，全等三角形的判断和性质，利用等量关系列出方程是解题的关键．
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