新高考数学二轮复习易错题专练易错点09 不等式（含解析）

易错点09 不等式

易错题【01】利用同向相加求范围出错

利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.

易错题【02】解分数不等式忽略分母不为零

解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如.

易错题【03】连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立

连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.

易错题【04】混淆单变量与双变量

(1) 恒成立的最小值大于零；

(2)恒成立；

(3) 使得成立的最大值大于零；

(4) 使得恒成立；

易错题【05】解含有参数的不等式分类不当致误

(1)解含有参数的不等式要注意判断是否需要对参数进行分类讨论,分类要满足互斥、无漏、最简.

(2)解形如的不等式,首先要对的符号进行讨论,当a的符号确定后再根据判别式的符号或两根的大小进行讨论.

 01

设f(x)＝ax2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________．

【警示】本题常见的错误解法是：由已知得

①＋②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,又由①可得－2≤－a＋b≤－1,③

②＋③得0≤2b≤3,∴－3≤－2b≤0,又f(－2)＝4a－2b,∴3≤4a－2b≤12,

∴f(－2)的取值范围是[3,12]．

【答案】

【问诊】正确解法是：由 得

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10,故5≤f(－2)≤10.

【叮嘱】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.

1. 已知实数x,y满足,,则(    )

A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy

【答案】C

【解析】∵,,∴两式相加,得,即1≤x≤4,故A错误；

∵,∴,解得,故B错误；∵,又,∴,故C正确；

∵,又且 ,

∴,故D错误.故选C.

2.已知,,则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.设,

所以,解得：,,

因为,,所以,

因为单调递增,所以.故选C.

 02

解不等式.

【警示】本题易错之处是误以为.

【问诊】,

所以的解集为.

【叮嘱】,且.

1．设集合,,则( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】集合,

,故选D.

2. 设,那么“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由不等式,可得,解得,当时,不一定成立,即充分性不成立；当时,成立,即必要性成立,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.

 03

已知x>0,y>0,且＋＝1,则x＋y的最小值是________．

【警示】本题错误解法是：∵x>0,y>0,∴1＝＋≥2,∴≥2,∴x＋y≥2＝4,

∴x＋y的最小值为4.

【答案】3＋2

【问诊】＋≥2取等号的条件是,即,x＋y≥2取等号的条件是与矛盾.正确解法为：∵x>0,y>0,∴x＋y＝(x＋y)(＋)

＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号),

∴当x＝＋1,y＝2＋时,(x＋y)min＝3＋2.

【叮嘱】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.

1.(2022届辽宁省东北育才学校高三上学期模拟)圆关于直线对称,则的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由圆可得标准方程为,因为圆关于直线对称,该直线经过圆心,即,,,

当且仅当,即时取等号,故选C.

2.(2022届河南省名校大联考高三上学期期中)已知正实数,,满足,则当与同时取得最大值时,(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由,可得,

则  ,

当且仅当时等号成立；又由,

当时,等号成立,所以当与同时取得最大值时,则有,

解得,此时.故选B.

  04

已知,,

(1)若对任意,恒有,求实数的取值范围；

(2)若对任意,恒有,求实数的取值范围；

【警示】本题易混淆单变量与双变量

【答案】(1)；(2)

【问诊】(1)设,因为时=>0,所以在上是增函数,由此可求得的值域是[0,],所以实数的取值范围是[0,].对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0.

 (2)由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.

【叮嘱】①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；

 ②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.

③设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即.

1．已知 ,在区间上存在三个不同的实数,使得以为边长的三角形是直角三角形,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因,故当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,故,又,所以,由题设可得,解之得,又由于,所以,故选D．

2.已知函数是定义域上的奇函数,且.

(1)求函数的解析式,判断函数在上的单调性并证明；

(2)令,若对任意都有,求实数的取值范围.

【解析】(1)根据题意得到,,从而得到,再解方程组即可；

(2)根据题意得到,设,得到,根据,再利用二次函数的性质得到,,从而得到,解不等式即可.

(1)

,又是奇函数,

,

, 解得,

此时,经检验满足题意,

(2)由题意知,令,,

由可知函数在上单调递减,在上单调递增,,

函数的对称轴方程为,函数在上单调递增,

当时,；当时,；

即,,

又对,都有恒成立,

即

解得,又,的取值范围是.

 05

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

【警示】本题错误解法为：原不等式化为a(x－)(x－1)<0.

∴当a>1时,不等式的解集为.

当a<1时,不等式的解集为.

【答案】当a<0时,不等式的解集为∪(1,＋∞)；

当a＝0时,不等式的解集为(1,＋∞)；

当0<a<1时,不等式的解集为；

当a＝1时,不等式的解集为；当a>1时,不等式的解集为.

【问诊】解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对a＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时,若a<0,忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论,特别是等根的讨论；(4)分类讨论后,最后对结论不进行整合．

正确解法：

当a＝0时,不等式的解集为{x|x>1}．

当a≠0时,不等式化为a(x－1)<0.

当a<0时,原不等式等价于(x－1)>0,不等式的解集为{x|x>1或x<}；

当0<a<1时,1<,不等式的解集为{x|1<x<}；

当a>1时,<1,不等式的解集为{x|<x<1}；

当a＝1时,不等式的解集为∅.

综上所述,当a<0时,不等式的解集为∪(1,＋∞)；

当a＝0时,不等式的解集为(1,＋∞)；

当0<a<1时,不等式的解集为；

当a＝1时,不等式的解集为 ；当a>1时,不等式的解集为.

【纠错笔记】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式,应对系数a分a>0,a＝0,a<0进行讨论,还要讨论各根的大小,最后根据不同情况分别写出不等式的解集．                      

1．已知函数．

(1)当时,求在上的值域；

(2)当时,解关于的不等式．

【解析】(1)当时,是开口向上,对称轴为的二次函数,又,

所以当时,函数单调递减；当时,函数单调递增；

所以,

又,,

因此在上的值域为.

(2)∵．

①当时,,即解集为；

②当时,且开口方向向下,

所以的解集为

③当时,若,即时,原不等式的解集为；

若,即,原不等式的解集为

若,即,原不等式的解集为

综上,当时,的解集为；

当时,的解集为；

当时,的解集为

当时,的解集为；

当时,的解集为．

2.设函数.

(1)若关于的不等式有实数解,求实数的取值范围；

(2)若不等式对于实数时恒成立,求实数的取值范围；

(3)解关于的不等式：.

【解析】(1)依题意,有实数解,即不等式有实数解,

当时,有实数解,则,

当时,取,则成立,即有实数解,于是得,

当时,二次函数的图象开口向下,要有解,当且仅当,从而得,

综上,,

所以实数的取值范围是；

(2)不等式对于实数时恒成立,即,

显然,函数在上递增,从而得,即,解得,

所以实数的取值范围是；

(3) 不等式,

当时,,

当时,不等式可化为,而,解得,

当时,不等式可化为,

当,即时,,

当,即时,或,

当,即时,或,

所以,当时,原不等式的解集为,

当时,原不等式的解集为,

当时,原不等式的解集为,

当时,原不等式的解集为.

错

1.已知,,则是的什么条件(    )

A．既不充分又不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

【答案】D

【解析】,,由于,解得：,,

所以是的充分不必要条件.故选D.

2．(2021届海南热带海洋学院附属中学高三月考)关于的不等式对恒成立的一个必要不充分条件是(    )

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【解析】关于的不等式对恒成立,则,根据题意知,选项能推出题干,题干推不出选项,故题干的范围是选项范围的子集,只有A选项符合题意.故选A.

3．(2022届重庆市第一中学高三上学期期中)若,则的最小值为(    )

A． B．1 C．2 D．4

【答案】D

【解析】由题意得,

则,

所以,即,所以,

当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为4.故选D

4．已知实数满足,,则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令,,则,则,

,,又,,

∴,故选B．

5．(2021届浙江省绍兴市高三上学期测试)已知,不等式在上恒成立,则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵,且,

∴,

∴,

∴,

∵上述不等式恒成立,

∴,即(否则取,则左边,矛盾),

此时不等式转化为,

∴,解得,

∴,故选D．

6．已知函数,若对任意,都有,则实数m的取值范围是(    )

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】由已知得,

令,因为,所以,所以,

所以,当时,,当时,,即,

所以对任意,,

所以对任意,都有,等价于,

即,解得或,所以实数m的取值范围是,

故选B.

7．(多选题)当,,时,恒成立,则的取值可能是(    )

A． B． C．1 D．2

【答案】AB

【解析】因为,,所以,当且仅当时,等号成立．因为．

若恒成立,则,解得．故选AB.

8．已知,,则的最大值为___________.

【答案】.

【解析】设,则

,设,

则原式,当且仅当时取“=”.

9．函数,a为参数,

(1)解关于x的不等式；

(2)当,最大值为M,最小值为m,若,求参数a的取值范围；

(3)若在区间上满足有两解,求a的取值范围

【解析】(1)由题意可得：,

当时,,不等式的解为或；

当时,不等式的解为；

当时,不等式的解为或；

综上：当时,不等式的解集为；

当时,不等式的解集为；

当时,不等式的解集为；

(2)由题意：,

即是开口向上,以为对称轴的二次函数,

当时,即时,

满足,即,解得；

当时,即时,有,可得,故a不存在；

综上可得参数a的取值范围；

(3)由题意：,可得且,

且,解得或,由因为的对称轴为,

故可得在上单调递减,在上单调递增,

故当或时,不可能有两解,

故,解得①

由有两解,可得有两解,由是开口向上,以为对称轴的二次函数可知,只需

②

联立①②求得：

故a的取值范围为.

10．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0,其中k∈R.

(1)当k变化时,试求不等式的解集A；

(2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B；若不能,请说明理由．

【解析】(1)当k＝0时,A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时,A＝{x|x<4或}；

当k＝2时,A＝{x|x≠4}；当k<0时,A＝{x|<x<4}．

(2)由(1)知：当k≥0时,集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时,集合B中的元素的个数有限,此时集合B为有限集．

因为＝－[(－k)＋]≤－4,当且仅当k＝－2时取等号,

所以当k＝－2时,集合B中的元素个数最少,

此时A＝{x|－4<x<4},故集合B＝{－3,－2,－1,0,1,2,3}．

11．已知函数()．

(1)若不等式的解集为,求的取值范围；

(2)当时,解不等式；

(3)若不等式的解集为,若,求的取值范围．

【解析】(1)①时,,不合题意,舍去；

     ②时,

.

综上：.

(2)即,所以,

①时,解集为：；

②时,,

因为,所以解集为：；

③时,,

因为,所以解集为：.

(3)因为不等式的解集为,且,

即对任意的,不等式恒成立,

即恒成立,因为,

所以,设,

所以,

当且仅当时取“=”.

所以的最大值为：,

所以.