新高考数学二轮复习易错题专练易错点02 函数的性质（含解析）

易错点02 函数的性质

易错题【01】不理解函数概念

在函数f：A→B中都是非空数集,且满足两允许,两不允许：允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素；允许多对一,不允许一对多.

易错题【02】研究函数单调性忽略定义域

研究函数的单调性切记定义域优先,分式形式的函数要保证分母不为零,对数型函数要保证底数大于零且不等于1,真数大于零.

易错题【03】研究函数奇偶性与单调性忽略其等价形式的应用

1.注意与函数奇偶性有关的几个结论：

(1)是偶函数；

(2)是奇函数；

(3)若函数在处有意义,则；

(4)是偶函数,则,是偶函数,则.

2. 增函数与减函数的等价形式

(1)若,且,在上是增函数；在上是减函数.

(2)若,且,则是增函数.

易错题【04】不会利用对称性与奇偶性推导函数的周期性

(1)函数满足(),若为奇函数,则其周期为,

若为偶函数,则其周期为.

(2)函数的图象关于直线和都对称,则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数.

 01

下列四个图像中,是函数图像的是(    )

A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)

【警示】本题出错的主要原因不明白函数不允许一对多.

【答案】C

【问诊】根据函数的定义,一个自变量值对应唯一一个函数值,或者多个自变量值对应唯一一个函数值,显然只有(2)不满足.故选C.

【叮嘱】注意区分函数图象与曲线的区别,曲线可以是一对多,但函数不允许一对多.

1.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数(    )

A．至少1个      B．至多1个    C．仅有1个   D．有0个、1个或多个

【答案】B

【解析】若1不在函数f(x)的定义域内,y=f(x)的图象与直线没有交点,若1在函数f(x)的定义域内,y=f(x)的图象与直线有1个交点,故选B.

2. 下列四个图像中,不是函数图像的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对于A,由于一个自变量对应两个,不表示函数,不是函数图像,所以A符合题意,对于BCD,由图像可知一个自变量对应唯一一个,所以表示的是函数图像,所以BCD不符合题意,故选A.

 02

(2022湖北省武汉市高三上学期月考)函数在区间上单调递增,则实数的取值范围为(    )．

A． B．

C． D．

【警示】本题出错注意原因是忽略在上.

【答案】C

【问诊】设,可得,则是减函数,

要使得函数为上的增函数,只需为减函数,且满足对于恒成立,所以,解得：,

所以实数的取值范围为,故选C.

【叮嘱】研究形如的单调性一定要注意.

1.函数的单调递增区间为____________．

【答案】

【解析】由得,所以递增区间为．

2.(2022届安徽省安庆市重点高中高三上学期月考)函数在单调递增,求a的取值范围(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令,二次函数抛物线的对称轴方程为,

由复合函数的单调性可知,.又在上恒成立,所以,即,所以,解可得,．故选C

 03

(2015新课标全国卷1)若函数为偶函数,则=

【警示】本题失分注意原因是不知道用求a的值,直接利用定义又不知道

分子有理化.

【答案】1

【解析】因为是偶函数,所以=

,所以.

【叮嘱】研究函数的奇偶性与单调性要注意等价形式的应用.

1．(2022届陕西省西安高三上学期期中)已知函数(,),且,则(    )

A． B．2 C．1 D．

【答案】C

【解析】令,

因为,

所以为奇函数,

所以,即,

又,所以,故选C.

2．(2022届北京市通州区高三上学期期中)已知函数的定义域为,,是偶函数,,有,则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由是偶函数可得关于直线对称因为,有,所以在上单调递增,因为,所以,,,无法比较与0的大小,故选B

 04

(202全国卷甲卷理数12)设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,当,时,．若(3),则　　

A． B． C． D．

【警示】不会利对称性推导周期性是本题失分的主要原因

【答案】D

【问诊】为奇函数,,且,

偶函数,,

,即,

．

令,则,

,．

当,时,．

(2),

,

又(3),,解得,

,,

当,时,,

．故选．

【叮嘱】掌握由对称性推导周期性的结论

1．(2022届江西省赣州市十七校高三上学期期中联考)已如的图像关于点对称,且对,都有成立,当时,,则(    )

A． B．2 C．0 D．

【答案】A

【解析】的图像关于点对称,所以关于原点对称,为奇函数．

由于,所以

,

所以是周期为4的周期函数．

所以．

,而,

∴即,．

2.(多选题)(2022届山东师范大学附属中学高三上学期月考)定义在的奇函数满足,当时,则以下结论正确的有(    )

A．的周期为6 B．的图象关于对称

C． D．的图象关于对称

【答案】ACD

【解析】因为满足,所以,故函数是周期为的周期函数,故A选项正确；、由于函数为的奇函数满足,所以,所以根据周期性得,所以,所以的图象关于对称,故B错误,D正确；对于C选项,结合周期性得,故正确.故选ACD

错

1．(2022北京市朝阳区高三上学期期中届)若函数为奇函数,则实数(    ).

A． B． C．0 D．1

【答案】D

【解析】因为函数为奇函数,定义域为,

所以,即,解得,经检验符合题意,故选D

2．(2022届广东省深圳实验学校、湖南省长沙市第一中学高三上学期联考)已知函数,若不等式在上有解,则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时,,,.

当时,,,.

所以为偶函数.又因为在为减函数,在为增函数.

所以.因为不等式在上有解,所以,即在上有解,

又因为在为减函数,在为增函数,

所以.故选C

3．已知偶函数的图象经过点,且当时,不等式恒成立,则使得成立的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意,是偶函数且经过点所以点也在图象上,即

当时,不等式恒成立,所以函数在上为减函数,因为,即,所以,即

解得：或

所以使得成立的取值范围为：.故选C.

4．(2022届新疆克拉玛依市高三第三次模拟)已知定义在R上的奇函数满足,当时,,若函数的所有零点为,当时,(    )

A．20 B．24 C．28 D．36

【答案】C

【解析】∵定义在上的奇函数满足,故图象关于对称,

∴,故, ∴,即周期为,又定义在上的奇函数,所以是函数一个对称中心,

又因为当时,,作出函数的草图,如下：

函数的所有零点即为与的交点的横坐标,

易知函数经过定点,且关于中心对称,

又,分别作出函数和的图象,则函数的图象在函数和的图象之间,如下图所示：

则与交点关于中心对称,由图像可知关于对称的点共有3对,同时还经过点,所以.故选C.

5．(2022届重庆市涪陵实验中学校高三上学期期中)已知的图象关于点对称,且对,都有成立,当时,,则(    )

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【解析】因为的图象关于点对称,

所以函数的图象关于点对称,即函数为奇函数,

所以,

又对,都有成立,

所以,

所以,

所以函数是周期为4的周期函数,

因为时,,

所以,故选B.

6．(2022届吉林省长春市重点高中高三上学期月考)已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞,a)单调递减,则a的取值范围是(    )

A．(－∞,－1] B．(－∞,2] C．[5,＋∞) D．[3,＋∞)

【答案】A

【解析】是增函数,在上递减,在递增,

因此在上递减,则有,解得．故选A．

7．(多选题)(2022届决胜新高考名校交流高三联考卷)是定义在上的偶函数,对,均有,当时,,则下列结论正确的是(    )

A．函数的一个周期为 B．

C．当时, D．函数在内有个零点

【答案】AC

【解析】是定义在上的偶函数,对,均有,故函数的周期为,故选项A正确；

,故选项B错误；

当时,,则,故选项C正确；易知,

于是函数在内有个零点,故选项D错误,故选AC．

8．(2022届广东省普通高中高三上学期11月阶段性检测)已知定义在上的函数满足,且,则(    )

A．为奇函数 B．的图象关于对称

C．为偶函数 D．是周期为4的函数

【答案】AD

【解析】因为,所以关于x=1对称.

因为,所以,所以关于对称.

对于A：由点关于x=1的对称点为,为的对称中心,且关于x=1对称,所以为的对称中心,即,所以为奇函数.故A正确；

对于B：因为,所以,所以的图象不关于对称.故B错误；

对于C：因为,令x+2代换x,得到①.

对于,令x+1代换x,得到②.

由①②得：,令-x代换x,得到,

与②结合得：,

所以为奇函数.故C错误；

对于D：对于,令x-1代换x,得到,

又因为,所以,

令2-x代换x,得到,

令x-2代换x,得到,

所以,

令x+2代换x,得到,即是周期为4的函数.故D正确.

故选AD

9．函数满足对任意,都有成立,则的取值范围是____________．

【答案】

【解析】由已知对任意,都有成立,即在R上是减函数,故需满足解得 即