易错点14 统计、概率、离散型随机变量及其分布列-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错分析
一、 互斥事件与对立事件关系模糊致错
1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为( )
A．相互独立事件 B．对立事件
C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件
【错解】选B，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是对立事件．
【错因】混淆互斥事件与对立事件概念
【正解】选D，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发
生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件．
2、某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。
①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C
【错解】选①或③或④或⑤
【错因】两类事件的概念不清。
【正解】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，本题中“至少订一种报”与“一种报也不订”不可能同时发生，但必有一个发生，所以选 = 2 \* GB3 ②。
二、使用概率加法公式忽略成立条件致错
3、抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B)．
【错解】因为P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2),P(B)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2),所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.
【错因】事件A、B不是互斥事件,使用加法公式错误．注意，在应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解概率问题时,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以转化为互斥事件,再用公式．
【正解】将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件C,出现“5”为事件D,则C与D两事件互斥,所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(3,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
三、求古典概型的概率基本事件重复或遗漏致错
3．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a∈{1,2,3}，b∈{0,1,2}，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
【错解】选C，f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程f′(x)＝0有两个相异实根，
Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a＞b，有a＝1，b＝0；a＝2，b＝1；a＝3，b＝0,1,2，
共有5种，总的情况有3×3＝9种，所以所求概率为eq \f(6,9)＝eq \f(2,3).
【错因】a＝2，b＝1或0，有两种情况，错解中遗漏了一种情况。
【正解】选B f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程f′(x)＝0有两个相异实根，
Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a＞b，有a＝1，b＝0；a＝2，b＝0,1；a＝3，b＝0,1,2，
共有6种，总的情况有3×3＝9种，所以所求概率为eq \f(6,9)＝eq \f(2,3).
4、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,5)
【错解】选A或B或C
【错因】用列举法列举基本事件时因重复或遗漏而错误
【正解】如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随 机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有
共15种．若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有,共3种,故其概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
5、箱子中有6件产品,其中4件正品,2件次品,每次随机取出1件检验,直到把所有次品检验出停止,则检验4次停止检验的概率为 .
【错解】.
【错因】忽略前4次全是正品的情况.
【正解】.
四、对条件概率概念理解不透致错
6．已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(9,44) C.eq \f(9,11) D.eq \f(7,9)
【错解】选B，共有12只灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，共有种，则第1次抽到螺口灯泡，第2次抽到卡口灯泡，共有种，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为。
【错因】没有理解条件概率，错解中误当成古典概型去求。注意，条件概率：设A，B是条件S下的两个随机事件，，则称在事件A发生的条件下事件B发生的概率为条件概率，记作，，其中表示事件A与事件B同时发生构造的事件．
【正解】选C，设事件A为第1次抽到螺口灯泡，事件B为第2次抽到卡口灯泡，则在第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3×9,12×11),\f(3,12))＝eq \f(9,11).
7．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(2,7) C.eq \f(4,7) D.eq \f(1,2)
【错解】选D，若从第一个袋中取的的是白球，则，若从第一个袋中取的的是黑球，则，则两次均取到白球的概率为.
【错因】对条件概率概念理解不透致错。
【正解】选B 记Ai表示第i次取到白球(i＝1,2)，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2|A1)＝eq \f(4,7).由乘法公式，得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(1,2)×eq \f(4,7)＝eq \f(2,7).
8、假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，则其至少有1个男孩的概率为 ．
【错解1】此家庭有3个孩子共有（男，男，女），（女，女，男），（男，男，男），（女，女，女）4种可能，故其中有1名女孩条件下至少有1个男孩的概率为．
【错因】基本事件空间认识有误，此家庭中3个孩子出生有先后顺序，应包含8种可能；同时条件概率求解时若采用缩小事件空间用古典概型求解时事件总数应为7，而不是8．因为（男，男，男）中不包含其中有1个女孩．
【正解】此家庭共有3个孩子，包含基本事件有（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为．
【错解2】记事件A表示“其中有1名女孩”，B表示“至少有1个男孩”，
则．
【错因】其中有1名女孩共有6种可能，即至少有1名是女孩，错解中误理解为有且只有1名女孩．
【正解2】．
五、求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1致错
8、若随机变量X满足,则 .
【错解】因为,所以
=.
【错因】没有求出a的值
【正解】因为满足,所以
=,所以,所以=.
9、某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。
【错解】随机变量可取1，2，3，4，则，，
，，
∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为
【错因】因为，主要是对事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均没通过，而第四次可能通过也有可能不通过。
【正解】随机变量可取1，2，3，4，则，，
，，
∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为
六、混淆超几何分布和二项分布的概念致错
10、某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从超几何分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．D．
【错解】AD，对于A，B选项，由超几何分布的概念可知A正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
【错因】由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故A错，B对。
【正解】由超几何分布的概念可知B正确；对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
11、某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙，种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求．
【错解】根据题意可知X服从二项分布，每块地种甲的概率为，故，．
【错因】产生错误的主要原因是没有真正掌握二项分布与超几何分布的概念而将它们混为一谈，本题中选地种植甲或乙品种是“不重复”试验，故X应服从超几何分布．
【正解】X可能的取值为0，1，2，3，4，且．
七、分不清独立重复试验与相互独立事件致错
12、甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(1,2)，假设两人击中目标与否相互之间没有影响，每人各次击中目标与否相互之间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________．
【错解】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好
有3次击中目标”，由题意知事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)))3＝.
【错因】独立重复试验与相互独立事件混淆
【正解】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好
有3次击中目标”，由题意知事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,3)))2×Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)))3×eq \f(1,2)＝eq \f(2,27).
八、独立性检验问题中对的值理解不准确致错
13．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表．参照附表，能得到的正确结论是( )
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【错解】C
【错因】不理解的含义
【正解】选A 由列联表中的数据可得χ2＝eq \f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.822＞6.635＝x0.010，
故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A.
14、在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量的观测值．在犯错误的概率不超过0．001的前提下,下面说法正确的是（）下面临界值表供参考
A．由于随机变量的观测值,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001
B．由于随机变量的观测值,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001
C．由于随机变量的观测值,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001
D．由于随机变量的观测值,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001
【错解】B
【错因】不理解的含义
【正解】由题意知,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量的观测值,其中,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”.故选A.
九. 对于综合性问题事件分拆混乱致错
15、某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”．甲,乙,丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7,在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲,乙,丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)
【错解】(1)设甲,乙,丙至少两人合格为事件A,
P(A)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.402.
(2)设三人都合格为事件B,P(B)＝0.9×0.8×0.7＝0.504.
【错因】事件分拆错误．“至少两人合格”要分析为“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合格”“乙丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四个事件之和；三人课程考核合格要写成六个独立事件的积．
【正解】记“甲理论考核合格”为事件A1,“乙理论考核合格”为事件A2,“丙理论考核合格”为事件A3,记eq \x\t(Ai)为Ai的对立事件,i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1,“乙实验考核合格”为事件B2,“丙实验考核合格”为事件B3.
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C,
P(C)＝P(A1A2eq \x\t(A3)＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3＋A1A2A3)＝P(A1A2eq \x\t(A3))＋P(A1eq \x\t(A2)A3)
＋P(eq \x\t(A1)A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902.
(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D,
P(D)＝P[(A1B1)·(A2B2)·(A3B3)]＝P(A1B1)·P(A2B2)·P(A3B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9
＝0.254 016≈0.254.
所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.
易错题通关
1.一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A.与B.与
C.与D.以上都不对
【答案】B
【解析】射手进行射击时，事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于”，事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.故选：B.
2．某校要从高一、高二、高三共2 023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 023名学生中剔除23名，再从剩下的2 000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性( )
A．都相等且为eq \f(50,2 023) B．都相等且为eq \f(1,40)
C．不完全相等 D．均不相等
【答案】A
【解析】根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，所以每个个体被抽到的概率都等于eq \f(50,2 023).
3．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B
【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差．
4．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.在这些用户中，用电量落在区间内的户数为（ ）
A．48B．52C．60D．70
【答案】B
【解析】由频率分布直方图的性质，可得，
解得，所以用电量落在区间内的频率为，
用电量落在区间内的户数为户.故选C.
5．(多选)某篮球职业联赛中，运动员甲在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表(不包含罚球)：
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率，则下述结论正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
【答案】ABC
【解析】由题意可知，P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，P(B)＝eq \f(18,100)＝0.18，事件“A＋B”与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，所以P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.
6．某校为了解学生体能素质，随机抽取了名学生，进行体能测试.并将这名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（ ）
A．这名学生中成绩在内的人数占比为
B．这名学生中成绩在内的人数有人
C．这名学生成绩的中位数为
D．这名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】C
【解析】根据此频率分布直方图，成绩在内的频率为，所以A正确；这名学生中成绩在内的人数为所以B正确；根据此频率分布直方图，，，可得这名学生成绩的中位数，所以C错误﹔根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：所以D正确.
7．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”．他用无意义音节(由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示)．若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为( )
艾宾浩斯遗忘曲线
A．0.43 B．0.39 C．0.26 D．0.15
【答案】B
【解析】根据艾宾浩斯遗忘曲线，得100个英语单词一天后忘记了74个，还记得26个，则该学生恰有1个单词不会的概率P＝eq \f(C\\al(1,74)C\\al(1,26),C\\al(2,100))≈0.39.故选B.
8．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取（ ）
A．份B．份C．份D．份
【答案】C
【详解】因为，所以，，
因此，应从分以下的试卷中应抽取份.
9．某种包装的大米质量ξ（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米3000袋．大米质量在以上的袋数大约为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】C
【详解】因大米质量，且，则，
所以大米质量在以上的袋数大约为.
10．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(2,7) C.eq \f(4,7) D.eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】 记Ai表示第i次取到白球(i＝1,2)，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2|A1)＝eq \f(4,7).由乘法公式，得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(1,2)×eq \f(4,7)＝eq \f(2,7).
11．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设甲获得冠军为，比赛进行了三局为，则，，所以.
所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为.
12．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．事件与事件B相互独立
C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，所以A错误；因为，
，所以，即，故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
13．已知两个随机变量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.1
【答案】A
【详解】由题设，即，又，故.
14．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则P(B|A)＝( )
A.eq \f(7,16) B.eq \f(7,8) C.eq \f(3,7) D.eq \f(6,7)
【答案】D
【解析】由题意知事件A“甲和乙至少一人选择庐山”包含n(A)＝Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)＋1＝7种情况，事件AB“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山”包含n(AB)＝Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)＝6种情况，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(6,7).
15．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，，，下列说法错误的是（ ）
A．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
B．相关系数越接近，变量，相关性越强
C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若表示女大学生的身高，表示体重，则表示女大学生的身高解释了的体重变化
【答案】A
【详解】对于A：回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数或相关系数判定，故不正确；
对于B：根据相关系数越接近，变量相关性越强，故正确；
对于C：相关指数越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；
对于D：根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故正确；
16．下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知，是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越小；
④在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.
A．①③B．①②C．②④D．③④
【答案】B
【详解】对于①，在回归直线方程 中， 当解释变量 每增加一个单位时, 预报变量平均增加 0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即:作为总离差, 并使之达到最小；这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方, 所以这种使 “离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量 与 , 对它们的随机变量 的观测值 来说，越小，则“与 有 关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为, 故④错误.
17．已知由样本数据点集合，，2，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A．变量与具有正相关关系B．去除后的回归方程为
C．去除后的估计值增加速度变慢D．去除后相应于样本点的残差为
【答案】AC
【详解】因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确；将代入回归直线方程为，解得，则样本中心为，去掉两个数据点和后，由于，故 样本中心还是，
又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以，解得，
所以去除后的回归方程为，故选项不正确；因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故选项正确；因为，所以，故选项不正确．
18．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
【答案】C
【解析】超几何分布的概念为：设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品，则不合格品的个数X是一个离散随机变量，若n>M，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得的概率是：，，假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得的概率是：，，根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C对。A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，，，，，，，，
X的分布列为：
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，，
，
，
，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
，，，，，显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故，故D不满足超几何分布；故选：C
19．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
【答案】eq \f(7,12)
【解析】∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,6)，∴P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(B))＝eq \f(5,6).又A，B为相互独立事件，∴P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(5,6)＝eq \f(5,12).∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝1－eq \f(5,12)＝eq \f(7,12).
20．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)：
现已知其经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.36x＋eq \(a,\s\up6(^))，则根据此经验回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为__________分．(四舍五入取整数)
【答案】73
【解析】eq \x\t(x)＝eq \f(60＋65＋70＋75＋80,5)＝70，eq \x\t(y)＝eq \f(62＋64＋66＋68＋70,5)＝66，所以66＝0.36×70＋eq \(a,\s\up6(^))，解得eq \(a,\s\up6(^))＝40.8，即经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.36x＋40.8.当x＝90时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73(分)．
21．x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的决定系数为Req \\al(2,1)，用eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))拟合时的决定系数为Req \\al(2,2)，则Req \\al(2,1)，Req \\al(2,2)中较大的是________．
【答案】Req \\al(2,1)
【解析】由题图知，用y＝c1ec2x拟合的效果比eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))拟合的效果要好，所以Req \\al(2,1)>Req \\al(2,2)，故较大者为Req \\al(2,1).
22．已知离散型随机变量X的分布列为
则常数q＝________.
【答案】1－eq \f(\r(2),2)
【解析】由分布列的性质，得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－eq \f(\r(2),2)或q＝1＋eq \f(\r(2),2)(舍去)．
23．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100【答案】8
【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(110,102)，所以正态曲线关于X＝110对称，因为P(10024．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________.
【答案】
【解析】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，.
25．设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是________.
【答案】
【解析】设A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，则，．而所求的概率为，由于，故．
26、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
【答案】0.72
【解析】设事件“种子的发芽”，事件“幼苗成活”，据题意知，，，故由知，，又由于，故，即为这粒种子能成长为幼苗的概率．
27．一个口袋里装有大小相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个，现从中任意取出4个小球．
(1)求其中恰有2个小球颜色相同的概率；
(2)设变量X为取出的四个小球中红球的个数，求X的分布列、数学期望和方差．
【解析】(1)若2个颜色相同的小球为红球，此时概率为，若2个颜色相同的小球为黄球，此时概率为，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率为
(2)变量X的可能取值为1,2,3
，，，
则X的分布列为：
则数学期望为，方差为
28．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：
由题意可得，所以，，
，，所以的分布列为：
（2），.
，，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
29．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中，．
【详解】（1）依题意，的观测值，
故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．
（2）依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为，的取值有0，1，2，3，
则，，
，，则的分布列为：
所以的数学期望．
30．某高校数学系为了控制大一学生上课使用手机，针对上课使用手机情况，进行量化比，若发现上课使用手机则扣除其对应的积分，根据调查发现每次被扣分数与本系一大学生每周上课使用手机人数的关系如下表所示：
（1）试根据以上数据，建立y关于x的回归直线方程（结果保留一位小数）；
参考公式：线性回归方程中，.
（2）根据上述回归直线方程分析：每次扣分为多少时（精确到整数分）该系大一新生被扣分的总数最大；
（3）若学校规定，大一新生每学期（按20周上课计算）因为上课使用手机被扣分总数不超过1000分，则该系大一被定为控制手机合格，那么，每周上课使用手机至少扣多少分时（扣分不低于5分，精确到整数），数学系才能被定为控制手机合格？（参考数据：）
【解析】（1）由表中数据可得，，
，，
所以，所以，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）设大一每周扣分总数为，则由题意
因为函数对称轴方程为,由题意， 时，有最大值，
即每次扣分为6时，该系大一新生被扣分的总数最大；
（3）设每周上课使用手机扣x分,则数学系大一学生每学期扣分为，
令，即，
解得或，
由题意，可知每周至少扣分11分时，数学系才能被定为控制手机合格.
1
2
3
4
p
0.6
0.28
0.096
0.0216
1
2
3
4
p
0.6
0.28
0.096
0.024
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
α
0.05
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
X
1
2
3
4
5
6
7
P
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
q2
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
良好及以下
优秀
合计
男
450
200
650
女
150
100
250
合计
600
300
900
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
P
每次被扣分数x（单位：分）
0
2
5
8
10
每周上课使用手机人数y（单位：次）
50
25
20
15
10