新高考数学二轮复习易错题专练易错点03 指数函数与对数函数及函数与方程（含解析）

易错点03  指数函数与对数函数及函数与方程

易错题【01】研究对数型函数忽略定义域

研究函数的性质，或求解与有关的函数与方程及不等式问题，不少同学常因忽略的隐含条件出现错误。

易错题【02】不会利用中间量比较大小

在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小，若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式(对数式)但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是，有时也可借助等中间量来比较大小.

易错题【03】不会构造函数比较大小

比较两个式子的大小，若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小。

易错题【04】确定函数零点所在区间，或零点个数或已知函数零点情况求参数满足条件，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，故提醒同学们研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”。

 01

若在上是减函数，则的取值范围是     

【警示】本题出错的主要原因是忽略定义域，不会由得出.

【答案】

【问诊】因为由，所以，此时在上是减函数，由复合函数单调性得，由，解得，所以的取值范围是。

【叮嘱】研究对数型函数的性质，一定不要忽略真数大于零的限制。

1. 函数在单调递增，求a的取值范围(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，二次函数抛物线的对称轴方程为，由复合函数的单调性可知，.又在上恒成立，所以，即，

所以，解可得，．故选C

2．(2021湖北武汉市第一中学高三月考)函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为(    )．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设，可得，则是减函数，

要使得函数为上的增函数，只需为减函数，且满足对于恒成立，所以，解得：，

所以实数的取值范围为，故选C.

 02

(2019全国Ⅰ卷理T3)已知，则(   )

A． B． C． D．

【警示】比较指数式与对数式的大小要重视利用中间量比较大小。

【答案】A

【问诊】由题意，可知，

，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．

【叮嘱】比较数与式的大小，当不能直接利用函数单调性时，要注意使用中间量。

1.(2021新高考2卷T7)已知，，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】，即.故选C.

2.(2020全国Ⅲ文T10)设，则 ()

A．               B．           C．        D．

【答案】A

【解析】因为，，

所以，故选A．

 03

(2021全国卷乙卷理T12)设，，，则　　

A． B． C． D．

【警示】不会观察式子的结构通过构造函数求解。

【答案】B

【问诊】解法一：，，，

令，，

令，则，

，

，在上单调递增，

(1)，，，

同理令，

再令，则，

，

，在上单调递减，

(1)，，，．故选：．

解法二：由，则排除AD,结合选项BC，只需判断a,c的大小，故设，∴

，又∵

∴，∴，∴在上单增，∴，

∴，∴，故选B

【叮嘱】比较几个复杂式子的大小，常通过构造函数，利用函数性质求解。

1.(2020全国Ⅰ理T12)若，则 ()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则为增函数，∵，

∴，

∴，∴．

∴，

当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．

2.(2020全国Ⅱ理T11)若，则 ()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得：，令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，

，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定，故选A．

 04

(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零

点，则的取值范围是

A．   B．  C． D．

【警示】不会利用图象求解，导致解题失败.

【答案】C

【问诊】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．

【叮嘱】求解与零点个数有关问题，常利用函数图象的直观性求解。

1.(2021河南大学附属中学高三月考)定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的函数的所有零点之和为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，，由于函数为奇函数，所以作出函数图象如图所示，

由图象可知，即有5个零点，其中有2个关于直线对称，还有2个关于直线对称，所以4个零点的和为零，第5个零点是直线与函数交点的横坐标，即方程的解，

解得，故选C

2.(2021天津市第四十七中学高三月考)已知函数，(其中e是自然对数的底数)，若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，

即必有两个不相等的实根，不妨设

，则，

方程或有三个不等实根，且，

作出图象如图所示：

那么，可得，，

所以，

构造新函数，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以,

所以的最大值为.

错

1．(2021江苏省泰兴中学高三期中)已知a=，，则a，b，c的大小关系为(    )

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

【答案】B

【解析】因为在上为增函数，且，

所以，得，即，

因为在上为增函数，且，

所以，得，即，

因为在上为减函数，，

所以，得，即，

因为，故选B．

2．(2021山东烟台高三期中)设，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

，所以，故选D.

3.(2020江西省信丰中学高三月考)若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解不等式，即，解得，

内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

而外层函数在定义域上为减函数，

由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，

由于函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选C.

4．(2021河南高三月考)设，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，∵，∴，

设，则，

则在区间上，，为增函数，在区间上，，为减函数，

∴，即，∴，

又∵，∴，∴，∴.故选D．

5.(2021黑龙江高三期中)已知，，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，则，

在上单调递增，，即，，

，即；令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

(当且仅当时取等号)，，

即(当且仅当时取等号)，，即；

综上所述：.故选D.

6.(2021四川攀枝花高三月考)定义在上的函数满足，且，给出如下四个结论：①的值域为；②当时，；③图象的对称轴为直线；④方程恰有个实数解，其中正确的结论个数是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得，所以是周期为的函数，

作出函数的图象如图所示：

由图知：或时，，当时，，根据周期性可得的值域为，故①正确；

，当时，，

，因为是周期为的函数，

所以，故②正确；

由图象以及周期性可知：、为函数的对称轴，所以图象的对称轴为直线，故③不正确；

方程恰有个实数解，可得与图象有个交点，

当时，，而，所以当时，方程无实根，

当时，由图知与图象有个交点，

所以与图象有个交点，即方程恰有个实数解，

当时，，此时与图象没有交点，故④不正确；

所以①②正确，正确的有个，故选B.

7．(2021吉林·高三月考)已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，可得，因为最多有两个实根，若恰有个不同实数根，则恰有三个实根，作出的图象，如图

由或可得：或或，且，

由即，，

由可得，

由即，，

由可得，

由即，，

由恒成立，

综上所述：，实数的取值范围为，故选A.

8．(多选题)已知函数，，则下列说法正确的是(    )

A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是

B．若函数的值域为，则实数

C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是

D．若，则不等式的解集为

【答案】AC

【解析】对于A，由题意知对恒成立，由于当时，不等式不恒成立，所以．当时，由解得，所以A正确；

对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，

则函数的最小值为4，则当时，

，解得，所以B错误；

对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；

对于D，若，则不等式等价于，

则，解得，所以D不正确．故选AC．

9.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是(    )

A．点是函数的零点

B．，，使

C．是的极大值点

D．的取值范围是

【答案】BC

【解析】当时，，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，且；

当时，，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，

且恒成立，画出函数图象如下：

对A，由函数图象可得0是函数的零点，故A错误；

对B，由图可得，故，，使，故B正确；

对C，由图可得是的极大值点，故C正确；

对D，方程等价于或，

由图可得有1个实数根，所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根，则由图可得或，故D错误.故选BC.

10.(2021天津静海一中高三月考)已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】由题设，上，故值域为且单调递增；

上，故值域为且单调递减；

∴在上值域为且单调递减；在上值域为且单调递增；

要使与轴有3个不同的交点，即与有3个不同交点，它们的图象如下：

∴由图知：要使函数图象有3个交点，则与在上至少有2个交点，

由，，则，

此时，若与相切时，切点为，

∴，可得，

当过时，有，得，∴.