奥数五年级下册 第9讲：长方体与正方体的体积 课件+教案+作业
展开（ 五年级 ） 备课教员：*** | ||||||||||||||||||
第九讲 长方体与正方体的体积 | ||||||||||||||||||
一、教学目标：
| 知识目标 | 1. 知道长方体、正方体体积公式的推导过程。 2. 学会解决实际生活中有关长方体和正方体体积 的计算问题。 | ||||||||||||||||
能力目标 | 1. 经历长方体、正方体体积计算公式的探究过程。 2. 通过实验操作、讨论归纳等活动发展学生的空 间观念。 | |||||||||||||||||
情感目标 | 在活动中使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣。 | |||||||||||||||||
二、教学重点： | 正确、熟练地运用长方体和正方体的体积公式。 | |||||||||||||||||
三、教学难点： | 理解体积公式，正确计算长方体与正方体的体积。 | |||||||||||||||||
四、教学准备： | PPT、1立方厘米的小正方体木块若干 | |||||||||||||||||
五、教学过程： 第一课时（50分钟） 一、导入（5分) 【设计意图：通过学生自己动手操作，理解体积的概念，了解长方体与正方体的体积计算公式。】 师：同学们，大家已经认识了体积和体积单位。现在请大家看屏幕上的这个长 方体，（出示PPT）它是用1立方厘米的小正方体木块摆成的，你们能数出 它的体积吗？ 生：…… 师：是的，我们换一种方法试试看。大家看，一行有几个木块？ 生：…… 师：有几行呢？ 生：…… 师：大家用每行的个数乘行数，得出是多少？ 生：…… 师：那么一共有几层呢？大家再用刚刚求出的积乘层数，看看得出的是多少？ 生：…… 师：是的，与我们刚刚数出来的答案是一样的。现在四个人为一组，大家手上 都有正方体小木块，自己动手摆出一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的 长方体，然后告诉老师它的体积是多少。 生：…… 师：你是怎么求出它的体积的？ 生1：数出了的。 生2：用长乘宽乘高。 师：是的，这就是我们刚才用每行的个数×行数×层数求出的结果。那么同学 们再来做一做这个练习，求出它们的体积。（PPT出示题目） 生：…… 师：大家仔细观察一下刚刚小正方体的数量与长、宽、高有什么关系？ 生：…… 师：每行的个数就是长，行数就是宽，层数就是高。长方体的体积=长×宽×高。 （PPT上出示图示）或者我们用a表示长，b表示宽，h表示高，V表示长方 体的体积，那么也可以表示为V=a×b×h（或V=abh）。 【探究新知，引入新课：学生们已经学过了体积及体积单位，对体积的知识有一定的了解，这节课将深入地学习求长方体和正方体的体积及体积的应用。】 【板书课题：长方体与正方体的体积】 | ||||||||||||||||||
二、探索发现授课（40分） （一）例题1：（10分） 从长为15厘米，宽为12厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为3厘米的正方形，然后沿线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
讲解重点：知道长方体的高就是被剪去的正方形的边长，长就是长方形的长剪 去2个正方形的边长的差，宽也是长方形的宽剪去2个正方形的边 长的差。 （请一位学生读题） 师：同学们能从题中找出什么已知条件？ 生：一块长方形的硬纸板的四角被剪去了边长为3厘米的正方形。 师：是的。那么减掉之后的纸板能拼成一个什么图形呢？ 生：一个长方体。 师：是完整的长方体吗？ 生：不是，没有盖的。 师：问题是让我们求什么呢？ 生：求容器的体积。 师：那么长方体的体积公式是什么？ 生：长×宽×高 师：你知道这个长方体的长、宽、高吗？ 生：长是15-2×3=9（厘米），宽是12-2×3=6（厘米），高是…… 师：大家开动自己的大脑，找找看，哪条边是纸板折叠后长方体的高呢？ 生：小正方形的边长。 师：是的。我们将它折叠之后，会发现，剪下正方形的那条短边就是长方体的 高，那么高是多少呢？ 生：3厘米。 师：好。那么请一位同学将求这个长方体体积的过程板书出来，其他同学在草 稿纸上做。 生： 板书： （15-2×3）×（12-2×3）×3=162（立方厘米） 答：这个容器的体积是162立方厘米。
练习1：（5分） 有一块正方形铁皮，如图所示，从四个顶点各剪下一个边长为3.5分米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的长方体铁盒（铁皮厚度忽略不计），这个铁皮盒的体积是多少立方分米？
分析： 找出这个长方体铁盒的长、宽、高，长、宽为正方形边长减去2个正方形后剩下的长度，高为剪下的小正方形的边长。 板书： （11-3.5×2）×（11-3.5×2）×3.5=56（立方分米） 答：这个铁皮盒的体积是56立方分米。
（二）例题2：（10分） 一个长方体的鱼缸，长8分米，宽4.5分米，高6分米，已知每立方分米水重1千克，这个鱼缸最多能装多少千克水？ 讲解重点：熟练运用体积公式解决问题，知道从题中找出已知条件求体积。 （请一位学生读题） 师：你知道题目是要求什么吗？ 生：这个鱼缸最多能装多少千克水。 师：已知每立方分米的水重1千克，那么要求出能装的水的重量，我们要先求 出什么呢？ 生：鱼缸的体积。 师：如何求鱼缸的体积呢？ 生：用长方体体积公式，求出体积为8×4.5×6=216（立方分米） 师：求出体积之后呢？ 生：216×1=216（千克），求出总的能装水的重量。 师：非常好，同学们做一做练习1。 板书： 8×4.5×6×1=216（千克） 答：这个鱼缸最多能装216千克水。
练习2：（5分） 一个长方体铁块，长10分米，宽5分米，高4分米，每立方分米铁块重7.8千克，这个铁块重多少千克？ 分析： 求出铁块的体积，然后乘每立方分米铁块的重量，求出总重量。 板书： 10×5×4=200（立方分米） 7.8×200=1560（千克） 答：这个铁块重1560千克。
三、小结：（5分） 长方体的体积=长×宽×高（或V=a×b×h） 正方体的长、宽、高都相等，体积=棱长×棱长×棱长（或V=a×a×a）。 | ||||||||||||||||||
第二课时（50分） 一、导入（3分） 【设计意图：通过设置悬念，尝试解决、交流讨论，发现长方体与正方体之间有一个共同的求体积公式，即底面积×高。】 师：同学们，你们会做这道题吗？（出示PPT） 生：…… 师：已知底面积为12平方厘米，高为5厘米，我们学的都是长、宽、高，该怎 么办呢？ 生：…… 师：我们来仔细分析题目，同学们想想，底面积是什么意思呢？ 生：…… 师：是的，就是指长方体底下的面。那么长方体底下这个面的面积是怎么求呢？ 生：…… 师：是的，那么其实我们求长方体的体积只需要用底面积乘高即可求出（板书： 长方体=底面积×高）。我们可以用字母s表示底面积，h表示高，体积用 V表示，那么可以将这个公式写成V=sh。这个公式对正方体同样适用。同 学们课后再去思考思考。 | ||||||||||||||||||
二、探索发现授课（42分） （一）例题3：（10分） 在一个棱长为13分米的正方体的前后、左右、上下各个面的中心位置各挖去一个棱长为3分米的正方体后，现在这个物体的体积是多少？
讲解重点：这个物体的体积等于大正方体体积减去6个小正方体的体积。 （请一位学生读题） 师：这个物体看着复杂吗？ 生：…… 师：大家不要被吓到，我们来看这个物体，从正方体的前后、左右、上下各个 面的中心位置各挖去一个小正方体，一共挖掉几个正方体？ 生：6个。 师：大正方体被挖掉6个小正方体之后的，大正方体的体积少了多少呢？ 生：少了6个小正方体的体积。 师：是的，那么该怎么求它的体积呢？ 生：用大正方体的体积减去6个小正方体的体积。 师：嗯，那么请一位同学来板书，其他同学做在草稿纸上，做完之后对照一下 自己做的和黑板上的，有不同意见的可以提出来。 生： 板书： 13×13×13=2197（立方分米） 3×3×3×6=162（立方分米） 2197-162=2035（立方分米） 答：现在这个物体的体积是2035立方分米。 师：我们这一题挖去的几个小正方体是没有挖去共同部分的，如果挖去的正方 体的棱长的2倍大于大正方体的棱长，我们要重新考虑。同学们以后做题 的时候自己要留心。
练习3：（5分） 在一个长为9厘米、宽为7厘米、高为6厘米的长方体上面挖去一个棱长为5厘米的正方体后，剩下这个物体的体积是多少？
分析： 用长方体的体积减去被挖去的正方体的体积，即剩下物体的体积。 板书： 9×7×6-5×5×5=253（立方厘米） 答：剩下这个物体的体积是253立方厘米。
（二）例题4：（12分） 有一只长方体纸箱，底面是边长为60厘米的正方形，高80厘米，要装棱长是2分米的正方体纸盒。这只纸箱最多可以装这样的纸盒多少个？ 讲解重点：长方体的棱长都是正方体棱长的整倍数，那么长方体纸箱能装满正 方体纸盒。如果不是整倍数，要减去一定数量，使其变成整倍数。 （请一位学生读题） 师：读完题目之后，你知道题目让我们求什么吗？ 生：…… 师：往纸箱内装纸盒，是纸盒的体积占位置，纸盒多大，就要占多大的纸箱的 位置。题中已经告诉我们长方体纸箱和正方体纸盒的棱长，同学仔细观察 长方体的棱长与正方体的棱长，看看它们有什么关系？ 生：长方体棱长都是正方体棱长的倍数。 师：是的，那么纸箱正好被纸盒装满。该怎么求装的纸盒的个数呢？ 生：…… 师：请一位同学说说你的解题思路，其他同学有不同意见的可以提出来。 板书： 2分米=20厘米 60×60×80÷（20×20×20）=36（个） 答：这只纸箱最多可以装这样的纸盒36个。
练习4：（5分） 有一个长、宽、高分别是12分米、7分米、6分米的长方体盒子，在它里面摆棱长为2分米的小正方体，最多能放几个这样的小正方体？（盒子的厚度忽略不计） 分析： 长方体的宽不是正方体棱长的倍数，因此要将7分米减1变成正方体棱长的倍数，然后用宽减1后的长方体的体积除以正方体的体积求出能装的个数。剩下的（12×1×6）立方分米的这部分空间无法放下正方体，因此舍去。 板书： 12×（7-1）×6÷（2×2×2）=54（个） 答：最多能放54个这样的小正方体。
例题5：（选讲） 有两个长方体水缸，甲水缸长6分米，宽5分米，高7分米；乙水缸长4分米，宽3分米，高5分米。两个水缸内的水高分别是6分米和2.5分米，甲倒一些水给乙，使两缸的水一样高，求水现在水的高度。 讲解重点：根据两水缸底面积的倍数关系，得出倒入水高度变化的倍数关系。 （请一位学生读题） 师：你从题中能得出哪些信息？ 生：甲水缸长6分米，宽5分米，高7分米，水深6分米；乙水缸长4分米， 宽3分米，高5分米，水深2.5分米。 师：那么让我们求什么呢？ 生：甲倒一些水给乙后，使两水缸的水一样高，求现在水的高度。 师：问题看起来很难，但其实没那么复杂，我们慢慢分析。同学们能求出两个 水缸的底面积吗？ 生：甲水缸的底面积：6×5=30（平方分米）；乙水缸底面积：4×3=12（平方 分米）。 师：那么甲水缸的底面积是乙水缸底面积的几倍呢? 生：30÷12=2.5，是2.5倍。 师：甲水缸的底面积是乙水缸底面积的2.5倍，如果两个水缸的水高相等，那 么甲水缸中水的体积是乙水缸中的几倍？ 生：2.5倍。 师：是的。我们将两个水缸中的水放到一起，那么水的总体积是多少？ 生：6×5×6+4×3×2.5=210（立方分米） 师：现在我们将这些水分别倒入两个水缸中，水的总体积是210立方分米，甲 水缸中的水是乙水缸中的2.5倍。题目就变成了和倍问题。那么同学们自 己尝试将答案求出来。 生： 板书： 6×5=30（平方分米） 4×3=12（平方分米） 30÷12=2.5 6×5×6+4×3×2.5=210（立方分米） 210÷（1+2.5）=60（立方分米） 60÷12=5（分米） 答：现在水高5分米。 师：做这一类问题，我们要仔细分析数量之间的关系，找出解题的突破口。
练习5：（选做） 一堆黄土如图所示，已知A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是A比B处高的4米，现把A处的土推向B处，使两处一样高。A处下降了多少？
分析： 找出A、B两部分土堆的底面积之间的倍数关系，和就是A比B多出来的那堆土，将问题转化为和倍问题来做。 板书： 15÷25=0.6 4×25÷（1+0.6）=62.5（立方米） 4-62.5÷25=1.5（米） 答：A处下降了1.5米。
三、总结：（5分） 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长方体、正方体体积=底面积×高 容积：是指容器所能容纳物体的体积。 容积单位：1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米
四、随堂练习：
方形，然后沿线段折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
板书： （11-2×2）×（7-2×2）×2 =7×3×2 =42（立方厘米）
用水泵向外排水，每分钟排水2.5立方米，24小时内能把池中的水排完吗？ 板书： 50×35×20÷10=3500（立方米） 2.5×60×24=3600（立方米） 3600立方米＞3500立方米 答：24小时能把池中的水排完。 3. 一个零件的形状如图所示，求它的体积。（单位：厘米）
板书： 10×9×4-2×3×9=360-54=306（立方厘米） 答：它的体积是306立方厘米。 4. 有一个长、宽、高分别是40厘米、24厘米、20厘米的长方体木块，最多能 锯成多少个棱长为4厘米的正方体小木块？ 板书： 40÷4=10（个） 24÷4=6（个） 20÷4=5（个） 10×6×5=300（个） 答：最多能锯成300个。 5. 一个长方体水箱，长为80厘米，宽为40厘米，高为60厘米，箱内水面离 箱口9厘米。箱内共有多少升水？如果把这些水倒进另一个底面是正方形的 长方体水箱内，底面边长是40厘米。要使两个水箱的水面一样高，水高是 多少厘米？ 板书： 底面积：80×40=3200（平方厘米） 40×40=1600（平方厘米） 3200÷1600=2 高相等，长方体水箱内水的体积是正方体水箱内的2倍 163200÷（1+2）÷1600=34（厘米）
答：箱内共有163.2升水。水高是34厘米。 | ||||||||||||||||||
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